数学物理方法(傅里叶变换法)

dV


1
4a




(r)
14

1 r

(r

at
)eik
(
r

r
)
dk1dk2
dk3

dV

应用延迟定理
U (r,t)

1
4a
t



(r) (| r r | at)dV
| r r |

1
4a



(r) (| r r | at)dV
x at
( )d
达朗贝尔公式
2
2a xat
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx) 0( x )
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t, k) (k)ek2a2t
r at
的面积元,此即泊松公式.
15
三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式
求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为
球心,以at为半径作球面
S
r at
然后拿初始扰动 (r), (r)
按泊松公式在球面
S
r at
上积分
,波动以速度a传播,只有跟点r
相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到r
此问题的解为(第六章习题7答案)
U (t; k ) 1 t F ( ; k )[eika(t ) eika(t ) ]d 2aik 0
进行傅里叶逆变换可得

u(r,t)
1
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是
离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于
无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是
连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积
分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。
例1 求解无限长弦的自由振动
2
2a ik
再进行傅里叶逆变换
U (r, t) [ (k) 1 (eikat eikat )

2

(k)
1 2a
1 ik
(eikat

e ik at
)]eikr dk1dk2dk3
1
4a
(r)[


a
4
2
(eikat

eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
初始扰动只限于区域T0,如图,取一定点r,与T0
最小距离为d,最大距离为D,当t<d/a,
S
r at
跟
T0不相交,按泊松公式u(r,t)=0,表示扰动的前锋
T0 d
Dr
没有到达r,当d/a<t<D/a,
S
r at
跟T0
相交,
u(r, t )

0
扰动到达r,当t>D/a,
S
r at
包围了T0,但跟T0不相交,u(r,t)=0,表明
2
2a ik
故 U (t, k) 1 (k)eikat 1 1 (k)eikat
2
2a ik
1 (k )eikat 1 1 (k )eikat
2
2a ik
对u作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：
3
u( x, t) 1 [( x at) ( x at)] 1
N0 x/ 2a t ez2 dz
x/2a t
被积函数是偶函数,故
w(x,t) N0
2

x/ 2a t ez2 dz
0
误差函数
记做erfx,则w可写为:
x
w(x,t) N0erf ( 2a
) t
所求的解如下:
11
u( x, t )

N0
w(x,t)

N0 1 erf
(x 2a
t
)
记做erfcx,则有
u( x, t )

N0erf
c
x 2a
t

右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
分布情况,曲线1对应于某个较早的时 刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚 的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很
余误差函数
u( x, t )
硅Baidu Nhomakorabea
片
表
3
面
2 1
O
t
x
明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线)
10
第一个积分中令 z (x ) / 2a t , dz d / 2a t
第二个积分中令 z ( x) / 2a t , dz d / 2a t
则有 w(x, t) N0 x/2a t ez2 dz N0
ez2 dz

x/2a t
ut a2uxx f (x, t)( x ) u |t0 0
解： 作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：
U k 2a2U F (t; k)

U |t0 0
5
e 用 k 2a2t 同乘方程各项，可得：
d U (t, k)ek2a2t F (t; k)ek2a2t
uutx
a2uxx |x0 0

0
u |t0 0 (x 0) (x 0)
0是单位面积硅片 表层原有杂质总量.
7
解: 没有杂质穿过硅片表面,即: ux |x0 0 第二类齐次边界条件
这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题
ut a2uxx 0
13
1
4a

(r)[

1
4 2
1 ik
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
1
4a t
(r)[


1
4 2
1 ik
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
uut|x0a2uNxx0 0
u |t0 0
9
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令 u(x,t) N0 w(x,t)
则化为关于w的定解问题:
wt w |
a2 x0
wxx u |x

0
0 N0

0
w |t0 u |t0 N0 N0
进行傅里叶逆变换可得：
u(x, t) F 1[U (t, k )] (k )ek2a2teikxdk
1

[



(
)e
ik
d
]e

k
2
a
2t
e
ik
x
dk
2
4
交换积分次序
u(x,t) 1

( )[
ek 2a2teik (x )dk]d
dt
对t积分一次，并考虑零初始值可得：
U (t; k) ek2a2t t F ( ; k)ek2a2 d 0 t f ( , )eik ek e 2a2t k2a2 dd 0
进行傅里叶逆变换
u(x,t) 1
2
t 0
2

积分公式： e 2k2 ek dk ( / a)e 2 / 4 2
令 a t , i(x ) 利用上述公式可得


u(x,t) ( )
1
e
(
x )2 4a2t
d
2a t

例3 求解无限长细杆的有源热传导问题
t

f
(
,
)
1
e

( x )2 4a2 (t
)

dd
0
2a (t )

例4 限定源扩散
在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可
以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已
有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入
硅片，这里求解的是半无界空间x>0中的定解问题:
| r r |
出现 (| r r | at)
对
r 的积分只要在球面
S
r at
上进行
S
r at
以r为球心(矢径r),半径为at
U (r,t) 1 (r) dS 1 (r) dS
4a t Sart at
4 a Sart at
dS
为球面
S
这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即
wt a2wxx 0
w
|t
0


N0 N0
( (
x x

0) 0)
引用例2结果可得
w(x,t)
0
N0
1
2a t
e d
(
x ) 4a2t
2

0
N0
1
2a t
e d
(
x )2 4a2t
O
即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,
即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.
例5 恒定表面浓度扩散 在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体 中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由
于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求 是半无界空间x>0中的定解问题
第十三章 积分变换法
拉普拉斯变换求解常微分方程，变换后，常微分方程变成了 代数方程，求解后再进行逆变化就得到了常微分方程的解。 积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程 得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后， 再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换 还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往 往不能。 本章主要介绍傅里叶变换法、拉普拉斯变换在求解偏微分 方程中的应用。
1
4a

(r)[

1
4 2
1 ik
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
利用5.3例1的结果
U (r,t)

1
4a
t




(r)

1 r

(
r

at
)eik
(
r
r
)
dk1dk2
dk3

例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
utt u |t

0
a23u 0
(r),Ut
|t
0


(r
)
12
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题
U k 2a2U 0 U |t0 (k),U |t0 (k)
这个方程的解为
U (t, k) 1 (k)(eikat eikat ) 1 1 (k)(eikat eikat )
utt u |t

0
a2u

xx 0( x
(x),ut |t (x)
)
解： 应用傅里叶变换，即用 eikx / 2 同乘方程和定解条件
中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则
2
定解问题变换成：U k 2a2U 0
U |t0 (x),U |t0 (x)

f
(
,
)ek 2a2
(t
e) ik
dd
eikxdk
交换积分次序可得：
u(x,t)
t 0

f ( , )
1

2


e

k
2a
2
(t

)eik
(
x
)
dk

dd
6
并利用积分公式可得最后的结果为：
u(x,t)
扰动已经过去.
16
例7 推迟势 求解三维无界空间中的受迫振动
utt a23u f (r, t) u |t0 0, ut |t0 0
解 做傅里叶变换,变为非齐次常微分方程的初始值问题
U k 2a2U F (t; k) U |t0 0,U |t0 0
ux |x0 0
u |t0

0 0
( (
x x

0) 0)
(x (x
0) 0)
则 ut a2uxx 0
u |t0 20 (x)(- x )
u |t0 20 (x)
引用例2结果可得
u(x,t)

20

( )
其中 (x)，(x) 分别是 (x), (x) 的傅里叶变换，这样原来
的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：
U (t, k) A(k)eikat B(k)eikat
代入初始条件可得：A(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
B(k) 1 (k) 1 1 (k)
1
2a t
e
(
x ) 4a2t
2

d

0 2 ex2 /4a2t
高斯函数
2a t
8
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
u( x, t )
硅1
的分布情况,曲线1对应于较早的时刻
片 表
2
2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓 面
3
x
度趋于均匀,曲线下的面积为 0