广东省佛山市第一中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题(附解析)

2018-2019学年广东省佛山一中高一（下）第一次段考数学试卷

（4月份）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）cos（﹣2370°）＝（）

A．B．﹣C．﹣D．

2．（5分）在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则C ＝（）

A．90°B．120°C．135°D．150°

3．（5分）已知△ABC中，a＝1，，A＝30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）

A．B．

C．D．

5．（5分）若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）

A．B．C．﹣D．﹣

6．（5分）已知平面向量＝（1，3），＝（x，﹣3），且∥，则|+2|＝（）A．10B．C．5D．

7．（5分）已知，点C（﹣1，0），D（4，5），则向量在方向上的投影为（）

A．B．C．D．

8．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）

A．2B．C．D．

9．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

10．（5分）已知向量≠，||≠0，若对任意的t∈R，|﹣t|≥|﹣|恒成立，则必有（）A．⊥B．⊥（﹣）

C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）

11．（5分）设O在△ABC的内部，且，△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）

A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1

12．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝．若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，平面四边形OACB面积的最大值是（）

A．B．C．3D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．（5分）已知数列{a n}满足递推关系：，，则a2019＝．14．（5分）已知锐角α，β满足，则β等于．15．（5分）给出下列六个命题：

①若λ∈R，则（λ）•＝•（λ）；

②≠0，若•＝•，则＝；

③若，，均为非零向量，则（•）＝（•）；

④若∥，∥，则；

⑤若＝，则A、B、C、D必为平行四边形的四个顶点；

⑥若||＞||，且，同向，则＞．

其中正确的命题序号是．

16．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若＝m+n（m，n∈R），则m+n ＝．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量，．

（1）设与的夹角为θ，求cosθ的值；

（2）若与垂直，求实数λ的值..

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，c＝3，且满足（2a﹣c）⋅cos B＝b⋅cos C，

（1）求B；

（2）求b及△ABC的面积．

19．（12分）已知向量＝（cos x，﹣1），＝（sin x，﹣）．

（1）当⊥时，求sin2x．

（2）当∥时，求tan（2x﹣）．

20．（12分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．

（Ⅰ）求sin∠BDC的值；

（Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？

21．（12分）已知＝（sin x，cos x），＝（sin x，sin x），函数f（x）＝•．（1）求f（x）的对称轴方程；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）如图所示，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB＝1，，AC＝CD，AC⊥CD，记∠ABC＝θ．

（1）若θ＝45°，求对角线BD的长度

（2）当θ变化时，求对角线BD长度的最大值．

2018-2019学年广东省佛山一中高一（下）第一次段考数

学试卷（4月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：cos（﹣2370°）＝cos（6×360°+210°）＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣．

故选：C．

2．【解答】解：由正弦定理知＝2R，

∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，

∵sin A：sin B：sin C＝3：5：7，

∴a：b：c＝3：5：7，

设a＝3t，b＝5t，c＝7t，

∴cos C＝＝＝﹣，

∵0°＜C＜180°，

∴C＝120°．

故选：B．

3．【解答】解：由题意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，

由得，sin B＝＝＝，

又b＞a，0°＜B＜180°，

则B＝60°或B＝120°，

故选：D．

4．【解答】解：由题意可知A＝2，T＝4（﹣）＝π，ω＝2，

因为：当x＝时取得最大值2，