圆锥曲线定点定值问题课件
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线的定值定点问题
沙县一中 陈丽娟 2018.4.23
1
命题规律：
圆锥曲线中的定值与定点问题是 高考常考问题，往往作为试卷的 压轴题之一，试题难度较大.本考 点主要考查化归和数形结合的思 想，常常与向量、平面几何结合， 对考生的代数恒等变形能力、计 算能力有较高的要求。
2
问题一 定值问题
3
[例 1]
解：(1)由题意可得 OP⊥OM， 所以OP·OM ＝0，即 x2－4y＝0， 所以动点 P 的轨迹 W 的方程为 x2＝4y.
13
(2)过点 E(0，－4)的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A，B，点 A 关
于 y 轴的对称点为 C，求证：直线 BC 过定点，并求定点坐标．
解 (2)依题直线 l 的斜率存在．设其方程为 y＝kx－4，
不妨设直线 OA：y=x,
x2 将 y=x 代入 4
y2
1
，解得
x=
2 5
5,
2 所以点 O 到直线 AB 的距离为 d= 5
5,
5
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m，
y kx m,
联立方程组
x
2
4y2
4，
消去 y 得 (1 4k 2 )x 2 8kmx 4m2 4 0
由△>0 得 m2 4k 2 1
设 Ax1, y1 , Bx2 , y2 ,
x1
x2
8km 1 4k 2
, x1x2
4m2 4 , 1 4k 2
6
因为 OA⊥OB，所以 即 化为
所以
整理得
。
所以点 O 到直线 AB 的距离
4 (1 k2) 5
2
5.
1 k2
5
综上可知，点 O 到直线 AB 的距离为定值
＋14x22＝x14x2＝4，
所以，直线 BC 恒过定点(0,4)．
17
解法三：由对称性可知，若直线 BC 恒过定
思路三：转化为在y轴上求一点R，
点，则定点在使y 轴得上B,，C,设R三BC点过共定线点 R（0,m）
则∥
Y
因为 (x2，y2-m), =(－x1，y1-A m)
C
所以 x2(y1-m)+x1(y2-m)=0
1 4k 2 k 2 4 5 4(k 2 1) 4(k 2 1) 4
25
d .
5
25
综上可知，点O到直线AB的距离为定值
. 5 10
规律小结
圆锥曲线中定值问题的常用解法
将该问题涉及的几何量转化为代数式或三角 问题，在求解推理过程中，将参数消去，定 值显现。
11
问题二 定点问题
12
[例 2] 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x，y)，M(x，－4)， 以线段 PM 为直径的圆经过原点 O. (1)求动点 P 的轨迹 W 的方程； (2)过点 E(0，－4)的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A，B，点 A 关 于 y 轴的对称点为 C，求证：直线 BC 过定点，并求定点坐标．
解：（1）由 e
3 2
得
c a
3 2。
由顶点 M,N 的距离为 5 ，得 a2 b2 5 ；
又思由 a路2 一 b：2 设c出2 ，直解线得 aAB的2,b方 1程，，
所以椭圆 C 的求方程出为点x4O2 到y2直 1线. AB的距离
4
（2）当直线 AB 的斜率不存在时，△ABC为等腰直角三角形，
x
y kx, 联立方程组 x2 4 y2
4 ，解得
x0 2
4 1 4k 2
,
OA 2
x02 (1 k 2 )
4(k 2 1) 1 4k 2 ,
同理，OB 2
4(k 2 1) k2 4
,
d OA • OB , AB
1 OA 2 OB 2 1
1
d 2 OA 2 • OB 2 OA 2 OB 2
A
＝4xx221－＋xx212(x－x2)＋14x22
＝x2－4 x1x－x22－4x1x2＋14x22
＝x2－4 x1x＋x14x2.
即 y＝x2－4 x1x＋4，
所以，直线 BC 恒过定点(0,4)．
Y
B O E
C X
15
思考：能否找到定点所在位置？
由对称性可知，若直线 BC 恒过定点， Y
A
R
x2y1+x1y2-m(x1+x2)=0
Hale Waihona Puke Baidu
B
O
X
x14x2(x1x2)mx1x20
E
所以，直线BC恒过定点(0,4)．
18
规律小结
圆锥曲线中定点问题的两种常用解 法
(1)分离参数法：在含有参数的曲线方程里， 把参数从含有参数的项里分离出来，并令其 系数为零，可以求出定点坐标。
7
(2)过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A,B 两
点，试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，若是请求出这个定值，
若不是请说明理由.
思路二：转化为求直角三角形斜边上的高
OA • OB 分析： d AB ，
d2
OA 2 • OB 2 AB 2
OA 2 • OB 2 OA 2 OB 2
C
则定点在 y 轴上。
R
B
EO
X
思路二：转化为证明直线BC与y轴交点为定点
16
（2）解法二：由对称性可知，若直线 BC
恒过定点，则定点在 y 轴上。
Y
直线 BC 为 y－y2＝xy22－＋yx11(x－x2)，
A
C
令 x=0,
BR
则 y＝xy22－ ＋yx11(－x2)＋y2
EO
X
＝-
x2－x1 x2‘ 4
由yx＝2＝k4xy－，4，
A
消 y，整理得 x2－4kx＋16＝0，
Y C
则 Δ＝16k2－64＞0，即|k|＞2.
B
O
X
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(－x1，y1)．
E
x1＋x2＝4k，x1x2＝16.
思路一：写出直线BC方程，证明其过定点
14
直线∴yB＝Cxy为22－ ＋yyx－11(yx2－＝xxy222)－＋＋yxy121(x－x2)，
，
1 d2
1 OA 2
1 OB 2
，
点A为射线OA与椭圆交点 8
解法二： （2）当直线 OA 的斜率不存在时，
OA • OB OA 2, OB 1, d
2
5
AB
5
同理，当直线OA的斜率为0时，d 2 5 5
9
解法二：若直线 OA 斜率存在且不为 0，
设直线
OA：y=kx,则直线
OB：
y
1 k
如图，设椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)离心率 e＝
3 2
，顶点
M，N 的距离为 5 ，O 为坐标原点。
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A,B 两点，
试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，若是请求出这个定值，若不
是请说明理由.
沙县一中 陈丽娟 2018.4.23
1
命题规律：
圆锥曲线中的定值与定点问题是 高考常考问题，往往作为试卷的 压轴题之一，试题难度较大.本考 点主要考查化归和数形结合的思 想，常常与向量、平面几何结合， 对考生的代数恒等变形能力、计 算能力有较高的要求。
2
问题一 定值问题
3
[例 1]
解：(1)由题意可得 OP⊥OM， 所以OP·OM ＝0，即 x2－4y＝0， 所以动点 P 的轨迹 W 的方程为 x2＝4y.
13
(2)过点 E(0，－4)的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A，B，点 A 关
于 y 轴的对称点为 C，求证：直线 BC 过定点，并求定点坐标．
解 (2)依题直线 l 的斜率存在．设其方程为 y＝kx－4，
不妨设直线 OA：y=x,
x2 将 y=x 代入 4
y2
1
，解得
x=
2 5
5,
2 所以点 O 到直线 AB 的距离为 d= 5
5,
5
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m，
y kx m,
联立方程组
x
2
4y2
4，
消去 y 得 (1 4k 2 )x 2 8kmx 4m2 4 0
由△>0 得 m2 4k 2 1
设 Ax1, y1 , Bx2 , y2 ,
x1
x2
8km 1 4k 2
, x1x2
4m2 4 , 1 4k 2
6
因为 OA⊥OB，所以 即 化为
所以
整理得
。
所以点 O 到直线 AB 的距离
4 (1 k2) 5
2
5.
1 k2
5
综上可知，点 O 到直线 AB 的距离为定值
＋14x22＝x14x2＝4，
所以，直线 BC 恒过定点(0,4)．
17
解法三：由对称性可知，若直线 BC 恒过定
思路三：转化为在y轴上求一点R，
点，则定点在使y 轴得上B,，C,设R三BC点过共定线点 R（0,m）
则∥
Y
因为 (x2，y2-m), =(－x1，y1-A m)
C
所以 x2(y1-m)+x1(y2-m)=0
1 4k 2 k 2 4 5 4(k 2 1) 4(k 2 1) 4
25
d .
5
25
综上可知，点O到直线AB的距离为定值
. 5 10
规律小结
圆锥曲线中定值问题的常用解法
将该问题涉及的几何量转化为代数式或三角 问题，在求解推理过程中，将参数消去，定 值显现。
11
问题二 定点问题
12
[例 2] 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x，y)，M(x，－4)， 以线段 PM 为直径的圆经过原点 O. (1)求动点 P 的轨迹 W 的方程； (2)过点 E(0，－4)的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A，B，点 A 关 于 y 轴的对称点为 C，求证：直线 BC 过定点，并求定点坐标．
解：（1）由 e
3 2
得
c a
3 2。
由顶点 M,N 的距离为 5 ，得 a2 b2 5 ；
又思由 a路2 一 b：2 设c出2 ，直解线得 aAB的2,b方 1程，，
所以椭圆 C 的求方程出为点x4O2 到y2直 1线. AB的距离
4
（2）当直线 AB 的斜率不存在时，△ABC为等腰直角三角形，
x
y kx, 联立方程组 x2 4 y2
4 ，解得
x0 2
4 1 4k 2
,
OA 2
x02 (1 k 2 )
4(k 2 1) 1 4k 2 ,
同理，OB 2
4(k 2 1) k2 4
,
d OA • OB , AB
1 OA 2 OB 2 1
1
d 2 OA 2 • OB 2 OA 2 OB 2
A
＝4xx221－＋xx212(x－x2)＋14x22
＝x2－4 x1x－x22－4x1x2＋14x22
＝x2－4 x1x＋x14x2.
即 y＝x2－4 x1x＋4，
所以，直线 BC 恒过定点(0,4)．
Y
B O E
C X
15
思考：能否找到定点所在位置？
由对称性可知，若直线 BC 恒过定点， Y
A
R
x2y1+x1y2-m(x1+x2)=0
Hale Waihona Puke Baidu
B
O
X
x14x2(x1x2)mx1x20
E
所以，直线BC恒过定点(0,4)．
18
规律小结
圆锥曲线中定点问题的两种常用解 法
(1)分离参数法：在含有参数的曲线方程里， 把参数从含有参数的项里分离出来，并令其 系数为零，可以求出定点坐标。
7
(2)过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A,B 两
点，试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，若是请求出这个定值，
若不是请说明理由.
思路二：转化为求直角三角形斜边上的高
OA • OB 分析： d AB ，
d2
OA 2 • OB 2 AB 2
OA 2 • OB 2 OA 2 OB 2
C
则定点在 y 轴上。
R
B
EO
X
思路二：转化为证明直线BC与y轴交点为定点
16
（2）解法二：由对称性可知，若直线 BC
恒过定点，则定点在 y 轴上。
Y
直线 BC 为 y－y2＝xy22－＋yx11(x－x2)，
A
C
令 x=0,
BR
则 y＝xy22－ ＋yx11(－x2)＋y2
EO
X
＝-
x2－x1 x2‘ 4
由yx＝2＝k4xy－，4，
A
消 y，整理得 x2－4kx＋16＝0，
Y C
则 Δ＝16k2－64＞0，即|k|＞2.
B
O
X
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(－x1，y1)．
E
x1＋x2＝4k，x1x2＝16.
思路一：写出直线BC方程，证明其过定点
14
直线∴yB＝Cxy为22－ ＋yyx－11(yx2－＝xxy222)－＋＋yxy121(x－x2)，
，
1 d2
1 OA 2
1 OB 2
，
点A为射线OA与椭圆交点 8
解法二： （2）当直线 OA 的斜率不存在时，
OA • OB OA 2, OB 1, d
2
5
AB
5
同理，当直线OA的斜率为0时，d 2 5 5
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解法二：若直线 OA 斜率存在且不为 0，
设直线
OA：y=kx,则直线
OB：
y
1 k
如图，设椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)离心率 e＝
3 2
，顶点
M，N 的距离为 5 ，O 为坐标原点。
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A,B 两点，
试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，若是请求出这个定值，若不
是请说明理由.