动态博弈分析经典实例

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工作竞赛
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图 2 . 1 . 3 描述了工会的无差异曲线，若令 L 不变， 当 w 提高时工会的福利就会增加，于是较高的无 差异曲线代表了工会较高的效用水平。
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表现在图 2 .1.3 的无差异曲线上就是，工 会希望选择一个工资水平w ，由此得到的 结果(w , L *(w))处于可能达到的最高的无差 异线上。 这一最优化问题的解为 w*，这样一个工资 要求将使得工会通过(w*,L*(w*)) 的无差异 曲线与 L*(w)相切于该点，如图 2 . 1 . 4 所 示。 从而， (w*,L*(w*))就是这一工资与就业博 弈的逆向归纳解。

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图 2 . 1 . 2 把 L *（w）表示为 w 的函数（但坐标 轴经过旋转，以便于和以后的数据相比较），并表 示出它和企业每条等利润线交于其最高点。
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若令L 保持不变， w 降低时企业的利润就会提高， 于是较低的等利润曲线代表了较高的利润水平。
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回顾在古诺博弈的纳什均衡中，每一企业的产量为 ( a –c)/3，也就是说，斯塔克尔贝里博弈中逆向归 纳解的总产量 3 (a –c) / 4 ，比古诺博弈中纳什均 衡的总产量 2 (a-c)/3 要高，从而斯塔克尔贝里博 弈相应的市场出清价格就比较低。 不过在斯塔克尔贝里博弈中，企业 1 完全可以选择 古诺均衡产量(a-c)/3，这时企业 2 的最优反应同样 是古诺均衡的产量，也就是说在斯塔克尔贝里博弈 中，企业 1 完全可以使利润水平达到古诺均衡的水 平，而却选择了其他产量，那么企业 1 在斯塔克尔 贝里博弈中的利润一定高于其在古诺博弈中的利润。 但斯塔克尔贝里博弈中的市场出清价格降低了，从 而总利润水平也会下降，那么和古诺博弈的结果相 比，在斯塔克尔贝里博弈中，企业 1 利润的增加必 定意味着企业 2 福利的恶化。
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序贯谈判
我们首先分析一个三阶段谈判模型，然后 我们讨论鲁宾斯坦（ 1982 ）模型，其中 博弈的（潜在）阶段数是无限的。 在所有两个模型中，都可马上得到谈判结 果 ― 不可能发生持久的谈判（如罢工）。

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对银行的挤提
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两个投资者在日期 1 和日期 2 的收益情况（作为他 们在那时提款决策的函数），可以用下面的两个标准 式博弈表示。注意这里日期 1 的标准式博弈是不规范 的：如果在日期 1 两个投资者都选择不提款，则没有 与之对应的收益，这时投资者要继续进行日期 2 的博 弈。
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我们从后往前分析此博弈。先考虑日期 2 的标准式博弈。 由于 R > D （并且由此可得 2R - D > R ) , “提款”严格优于“不提款”，那么这一博 弈有惟一的纳什均衡：两个投资者都将提 款，最终收益为（ R , R ）。 由于不存在贴现，我们可以直接用这一收 益替入日期 1 的标准式博弈双方都不提款 时的情况如图2.2-7-14
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现在考虑无限期的情况。 博弈时序和前面的描述完全一致，只是第（ 3 ) 阶段给出的外生解决方案被其后的无限步讨价还 价（ 3a ）、（ 3b ）、（ 4a ）、（ 4b ) 等等所 代替：奇数步由参与人 1 出条件，偶数步由参与 人 2 出条件，直至一方接受条件，讨价还价结束。 和前面分析过的所有应用一样，我们希望能够从 后向前推出这一无限步博弈的逆向归纳解。但是， 由于博弈可能会无限地进行下去，因此并不存在 我们借以入手分析的最后一步行动。
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工会的效用函数为 U ( w , L ) ，其中 w 为 工会向企业开出的工资水平， L 为就业人 数。 假定 U ( w , L ）是 w 和 L 的增函数。企业 的利润函数为 ， 其中 R (L)为企业雇佣 L 名工人可以取得的 收入（在最优的生产和产品市场决策下）， 假定 R (L)是增函数，并且为凹函数 （ concave ).

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这种低效率对实践中企业对雇佣工人数量保持的 绝对控制权提出了质疑。允许工人和企业就工资 相互讨价还价，但企业仍对雇佣工人数量绝对控 制，也会得到相似的低效率解。 埃斯皮诺萨和里（ Espinosa & Rhee , 1989 ) 基 于如下事实为这一质疑提供了一个解释：企业和 工会之间经常会进行定期或不定期的重复谈判 （在美国经常是每三年一次），在这样的重复博 弈中，可能会存在一个均衡，使得工会的选择 w 和企业的选择 L 都在图 2 . 1 . 5 所示的阴影部分 以内，即使在每一次性谈判中，这样的w和 L 都 不是逆向归纳解。
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幸而下面的发现（首先由谢克德和萨顿 （ shaked & sutton , 1984 ）所运用），使 我们可以把无限博弈截开，并应用对有限 博弈分析的逻辑进行分析： 从第三阶段开始的博弈（如果能进行到这 一阶段）与（从第一阶段开始的）整个过 程的博弈是相同的 ― 两种情况下，都是由 参与人 1 首先提出条件，其后两个参与人 轮流出价，直至有一方接受条件谈判结束。
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有工会企业的工资和就业

在里昂惕夫（ 1946 ）模型中，讨论了一 个企业和一个垄断的工会组织（即作为企 业劳动力惟一供给者的工会组织）的相互 关系：工会对工资水平说一不二，但企业 却可以自主决定就业人数（在更符合现实 情况的模型中，企业和工会间就工资水平 讨价还价，但企业仍自主决定就业，得到 的定性结果与本模型相似）。

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动态博弈分析
经典实例
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斯塔克尔贝里双头垄断模型




斯塔克尔贝里（ 1934 ）提出一个双头垄断的动态模型， 其中一个支配企业（领导者）首先行动，然后从属企业 （追随者）行动。 比如在美国汽车产业发展史中的某些阶段，通用汽车就 扮演过这种领导者的角色（这一例子把模型直接扩展到 允许不止一个追随企业，如福特、克莱斯勒等等）。 根据斯塔克尔贝里的假定，模型中的企业选择其产量， 这一点和古诺模型是一致的（只不过古诺模型中企业是 同时行动的，不同于这里的序贯行动）。 至于在类似于贝特兰德模型中企业（同时地）选择价格 的假定下，如何构建相似的序贯行动模型，请读者自己 练习。