用向量方法证明几何问题

则BC=AC-AB
∴(AC-AB)²=（AC）²+(AB)²- 2AB· AC=(BC)² ∵a⊥b,所以AB· AC=0 ∴b²＋a²=c² 即∣AB∣²＋∣AC∣²＝∣BC∣²
向量的基本概念
（用向量方法证明数量关系或平行问题） 例 题1 ：
已知：四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线BD 所在的直线上,BE=DF
求证：四边形AECF是平行四边形。
证：∵四边形AECF是平行四边形 ∴AB=DC;AB∥DC ∵BE=FD;且在一条直线上 ∴AE=AB+BE=FD+DC=FC
几 何 法
AH=HD=BF=FC ∴EH=AE+AH=CG+CF=FG 同理得EH=HG=EF=FG 即四边形EFGH是菱形
向 量 法
用向量法证明几何问题的步骤：
（1）化几何语言为向量语言
（2）用向量方法证明 （3）还原为几何题 技巧：找三角形 关键：将有关线段转换为向量
练习1 已知：三角形ABC中，D为AB的中点，E为AC
A D E B O C
∴BO=OD;AO=OC 又∵BE=DF
F
向 量 法
证:∵四边形ABCD是平行四边形
且AE∥FC ∴四边形AECF是平行四边形
∴EO=EF
∴四边形AECF是平行四边形
几 何 法
例 题2：
已知：在矩形ABCD中，E、F、G与H是AB、BC、 CD和DA的中点。求证：四边形EFGH是菱形。 证：∵ABCD是矩形 ∴AB＝CD；BC＝DA ∵E、F、G与H是AB、 BC、 CD和DA的中点 ∴AE=CG=EB=GD; AH=HD=BF=FC ∴EH=HG=EF=FG (勾股定理) 即四边形EFGH是菱形 证：∵ABCD是矩形 ∴AB＝CD；BC＝DA ∵E、F、G与H是AB、 BC、 CD和DA的中点 ∴AE=CG=EB=GD;
A
∵E为AC中点
的中点，
1 求证：DE∥BC, DE= 2 BC （三角形中位线问题） 证：延长DE至点E，使DE=EF，联结CF
∴AE=EC
D
B
E
F
又∵DE=EF，∠AED=∠CEF ∴△AED≌△CEF（S.A.S） ∴AD=CF, ∠ADE=∠F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
∴AB∥CF,即BD∥CF
又∵AD=BD ∴BD=CF ∴四边形DBCF为平行四边形
练习2
几 何 法
向 量 法
练习3
可以利用向量的方法来证明两直线垂直吗？如果可以，需要用到向量的什么知识？请你总结，并举例。 可以；
例：
练习4 探究并证明三角形的高交与一点。
练习5
我们已经学过了勾股定理，以及了解了证明勾股定理的几何方法，你能用向量的方法来证明 它吗？ 证：在三角形ABC中,两直角边设为a=AB,b=AC斜边设为c=BC则
几 何 法
向量法
∴BC=DF=2DE且DE∥BC 得证
如图，已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P， 使NP=BN，在CM延长线上取 点Q， 使MQ=CM。 求证：P、A、Q三点共线。 证:∵M、N为△ABC两边AB、AC的中点 证：∵M、N为△ABC两边 → → AB、AC的中点 → ∴AN=NC;MA=BM ∴NA=NC;MA=MB → → ∵NP=BN;MQ=CM ∵NP=BN;QM=CM ∠PNA=∠CNB → → → → → → ∠AMQ=∠CMB ∴BC=BN+NC=AN+NP=AP ∴∆PNA≌∆BNC → ∆AMQ≌∆BNC 同理QA=BC ∴∠PAC=∠ACB ∴易证∆PNA≌∆BNC ∆AMQ≌∆BNC ∠Q=∠QCB ∴∠PAC=∠ACB ∴AP∥BC;AQ∥BC ∠Q=∠QCB ∵过一点只有一条线与 → → → 已知直线平行 ∴AP∥BC;AQ∥BC ∴P、A、Q三点共线 ∵过一点只有一条线与已知直线平行 ∴P、A、Q三点共线