微分方程建模学习

微分方程建模

一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：

1•根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它 们各自的变化区间； 2•列方程。可以在合理假设的前提下，禾U 用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义， 根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导 数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有 现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）

；

3.解微分方程；

4•对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结 果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。

下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。

一. 增长模型

在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律： 任一单位时间

的增量都与该量自身当时的大小成正比。 运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长

模型。

1. 马尔萨斯人口模型

严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。 但在人口基数很大的情况下，

突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，

相对于全体数量而言， 这种改变量是极

其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。 这样，我们就可

以采用微分方程的工具来研究这一问题。

最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯 （Malthus ） （ 1766—1834）。他根据百余

年的人口资料，经过潜心研究，在

1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。

他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比， 且比例系数为常数。

于是，设t 时刻的人口总数为 y （t ），则单位时间人口的增长量即为

y(t t) y(t)

t

令t 0 ,可得微分方程

根据基本假设，有

y(t t) y(t)

r y(t)

（r 为比例系数）

dy dt

这就是著名的马尔萨斯人口方程。 若假设t t o 时的人口总数为y o ，则不难求得该方程的特

即任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长。人们曾用这个公式对 六十余年世界的人口资料进行了检验，发现计算结果与人口的实际情况竟然是惊人的吻合!

2. 放射性元素衰变模型

放射性元素的质量随时间的推移而逐渐减少(负增长) ，这种现象称为衰变。由物理学

定律知，放射性元素任一时刻的衰变速度与该时刻放射性元素的质量成正比。 根据这一原理，

我们也可以通过微分方程研究放射性元素衰变的规律。

设放射性元素t 时刻的质量m m(t)，则其衰变速度就是 也，于是可得

dt

dm

m

(4.3)

dt

其中 0是比例常数，可由该元素的半衰期(质量蜕变到一半所需要的时间)确定； 前

置负号表明放射性元素的质量 m 是随时刻t 递减的。

如果在初始时刻(t 0)放射性元素的质量 m m 0，则可求得该方程的特解为

m(t) m ° e t

(4.4)

这说明放射性元素的质量也是随时刻按指数规律递减的。

为了能将求得的放射性元素衰变规律应用于实际， 还必须确定上式中的比例常数 。这

时，我们可以假设放射性元素的半衰期为

T ,从而有

m °

T

m ° e 2

ln 2

解之，得

——，于是反映放射性元素衰变规律的( 4.4)式又可以表示为

T

m(t) m ° e T

(4.5)

并由此可解得

丄

T , m °

t In (4.6)

In 2 m(t)

它所反映的是放射性元素由初始时刻的质量 m 0衰减到m(t)所需要的时间。

放射性元素的衰变规律常被考古、 地质方面的专家用于测定文物和地质的年代， 其中最

(4.1)

解为

y o

e r(t

t o )

(4.2)

1700 — 1961 达二百

常用的是14C (碳-12的同位素)测定法。这种方法的原理是：大气层在宇宙射线不断的轰

击下所产生的中子与氮气作用生成了具有放射性的 14

C ，并进一步氧化为二氧化碳，二氧化

碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物， 于是放射性碳就被带到了各种动植物的体。

对于

具有放射性的

14

C 来说，不论是存在于空气中还是生物体，它都在不断地蜕变。由于活着的

生物通过新代不断地摄取

14

C ，因而使得生物体的14C 与空气中的14

C 有相同的百分含量;

旦生物死亡之后，随着新代的停止，尸体的14

C 就会不断地蜕变而逐渐减少， 因此根据

14

C 蜕变减

少量的变化情况并利用（4.6 ）式，就可以判定生物死亡的时间。

F 面，我们就来看一个运用 14

C 测定法确定年代的具体实例:

1972年8月，出土了马王堆一号墓（注：出土时因墓中女尸历经千年而未腐曾经轰动 世界）。经测定，出土的木炭标本中 14

C 的平均原子蜕变速度为

29.78次/分，而新砍伐烧成

的木炭中

14

C 的平均原子蜕变速度为

38.37次/分；如果

14

C 的半衰期取为5568年（注：14

C

的半衰期在各种资料中说法不一，分别有 5568年、5580年和5730年不等），那么，怎样才

能根据以上数据确定这座墓葬的大致年代呢?

（4.6）式作进一步的修改:

从而有

上面两式相除，得

在确定衰变时间的公式（4.6）中，由于

m 0和m （t ）表示的分别是该墓下葬时和出土时

木炭标本中

14

C 的含量，而测量到的是标本中 14

C 的平均原子蜕变速度，所有我们还要对

对（4.4）式求导，得

m (t)

t

m °e

m(t)

m(0)

m(0)

m o

代入（4.6），得

曰 是

m m(t)

(0) m 0 m(t)

t 丄a

In 2 m(t)

(4.7)

衰变时间由（4.6）式根据14C 含量的变化情况确定就转化为由（4.7）式根据14C 衰变速 度的变化情况来确定，这就给实际操作带来了很大的方便。

在本例中，T 5568年，m （t ） 29.78次/分，m （0）虽然表示的是下葬时所烧制的木 炭中

14

C 的衰变速度，但考虑到宇宙射线的强度在数千年的变化不会很大,

因而可以假设现

代生物体中

14

C 的衰变速度与马王堆墓葬时代生物体中

14

C 的衰变速度相同，即可以用新砍

伐烧成的木炭中

14

C 的平均原子蜕变速度 38.37次/分替代m （0）。代入（4.7）可求得

t 工 ln^ 逢"酒 2036 (年) In 2 m (t) In 2 29.78