Bochner-Riesz算子的极大交换子的加权Lipschitz估计

Ｂ （） ） ｕ （） ） 厂（ ＝ｓｐ ，（ ｊ ． Ｉ ，
ｔ ＞０
和
Байду номын сангаас
Ｂ．ｔ（） ｕ Ｂ，） ） ２（） ＝ｓｐ（ｂ，（ 【 厂 Ｉ ｔ ．
收稿 日期 ： ０ １１ —０ ２ １ —０２ 修 回 日期 ： ０ ２０ — ７ ２ １— １１
基 金 项 目： 国 家 自然 科 学 基 金 （０７ １３ ０ ６０ ５； 西 省 自然 基 金（０８ ｚ Ｏ５ ） １８ １７ ；１９ １ １）江 ２０ Ｇ ｓ ０ １；江 西 省 教 育 厅 基 金（ Ｊ ０９ １ ＧＪ １３７
高校应用数学学报 ２ １ ， ７ １： ６１３ ０ ２ ２ （） ９ —０
Ｂ ｃｎｒ ｉ ｚ ｏｈ ｅ Ｒｅ 算子 的 大交换 子 的加 — ｓ 极
权 Ｌｐｃｉ 估 计 ｉｓｈｔ ｚ
李 亚 楠 ， 陈冬 香
（ 江西师范大学 数 学与信息科学学院，南昌 ３ ０ ２ ） ３ ０ ２
摘 要： 首先建 立 了 ｏｈｅ．ｉ ｚ Ｂ ｃｎｒ ｅ 算子Ｂ 与加权Ｌｐｃｉ 函数ｂ Ｒｓ ｝ ｉｓ ｔ ｈｚ 生成的极 大交换
本文 的主要结果为：
定理 ． ￣ ｏ ｎ —ｉｚ 大交 子 上 义， ∈ Ｉ ￣ ＝ 一鲁其中 １ ｉ ｃ ｅＲ ｓ １ Ｂ ｈ ｒ ｅ极 换 Ｂ如 定 且 Ａ（ ｌ Ｒ ）ｑ ， ， ＞
ｎ １ －
—
，
１＜Ｐ ｑ 。 如果６∈Ｌｐ 。， ｉｐ
，
，
则存在正常数Ｃ 使得 ，
ｌ ，ｆ （）Ｌ（ ） Ｃ ｌ Ｉ Ｉ ） （ ｘＩ ｌ ￣ ｌ ） Ｉ ｒ ｂ ＩＩ （ ． ／￣
§ 一些 预备知 识和主 要结 果 ２
Ｈ ｒｙＬｔｌ ｏ ｄ ａｄ ．ｉ ｅ ｏ 极大函数Ｍ ￣ｓａｐ ｔｗ ｈ ｒ 极大函数Ｍｓａ 定义如下 ： ｈｒ ｐ
Ｍ ∈ ， ） ） Ｂ Ｉ『 高／ Ｉｌ Ｄ Ｂ
Ｍｒ） ｓｆ＝ ｈ（ ａ￣ ｐ
其中
Ｉ 一 ． ，≈ 厂 Ｂ （ ）
／ ￣Ｊ （ ｙ ｓ － Ｉ）‘ － ／ｌ Ｔ Ｙ！ ｄ
／（ ， Ｂ） ｌ一 ，
，
称 一 个 局 部 可 积 函数， （）属 于 加 权．ｐｃｉ ￣数 空 间，即， Ｌ ｓｈｔ ｉ ｚ （）∈ Ｌｐ 空 间，如 果对 ｉ 于１ Ｐ ∞， ＜ １且 ∈ 。（ ） 有下面不等式成立， ０＜ 。Ｒ” ，
了许多有价值 的结果， 但至今 仍有一些基本 的问题 还有待进一步研 究． 有关Ｂ ｃｎ ｒ ｅｚ 子 ｏ ｈ ｅ— ｓ算 Ｒｉ 相 关性质 的进一步研究必将推动这一领域的发展 ． １９ 年 陆善镇在ｆ ２ 中定义 ＴＢ ｃ ｎ ｒ ｉ ｚ ９５ １１ — ｏｈ ｅ— ｅ 极大算子及其极大交换子 ， Ｒ ｓ 其定义如下：
子 ｓ ａｐ 大 函 数 的 点 态 估 计 ． 用 该 点 态 估 计 证 明 了Ｂ ｃ ｎｒＲ ｅｚ 子 的 极 大 交 ｈｒ极 应 ｏｈ ｅ． ｉ 算 ｓ
换子是Ｌ （） ＰＩ－ ） Ｐｔ 到Ｌ （１ 上的有界算子， ∈Ａ１ １ ｔ ￣ 其中 ， ＜Ｐ＜∞．
关键 词 ： Ｂ ｃ ｎ ｒ ｉ ｚ 子 ； ｉｓｈｔ函 数 ； 大函数 ； ｏ ｈ ｅ— ｅ 算 Ｒ ｓ Ｌｐｃ ｉ ｚ 极 交换 子 中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１４２
李亚楠等： ｏｈ ｅ— ｉ ｚ Ｂ ｃ ｎ ｖ ｅ 算子 的极 大交换子的加权Ｌｐ ｃ ｉ 估计 Ｒ ｓ ｉｓｈｔ ｚ
９ ７
１９ ９６年陆和胡在［４中研究ＴＢ ｃｎｒ ｉ ｚ ３］ — ｏｈ ｅ． ｅ 极大算子在Ｌ （ ￣（ ＜Ｐ＜∞） － ｓ Ｒ ＰＲ １ ） 上的有界性． １９ 午 Ｙ ｎ ￣Ｌ ９Ｔ ， ａｇ ｕ在［ 中研究ＴＢ ｃｎｒ ｉ ｚ 和 ５ 】 ｏｈ ｅ— ｅ 极大交换子在Ｈ ｒ－ ｐ空间上的有界性． ０３ Ｒ ｓ ｅ． ｅ ｚｙ ｔ ２０ 年， 陆和刘在［ 中研究ＴＢ ｃｎｒ ｉ ｚ 子的极大交换子的Ｌ Ｌ ｇ ） ６ 】 ｏｈ ｅ－ ｅ ； ． ｓ算 Ｒ （ｏＬ ￣端点估计和加权弱估 计． ０４ 刘在【研究ＴＢ ｃｎｒ ｉ ｚ ２０年， ７ ］ ｏｈ ｅ－ ｅ 交换子在ＴｉｅＬｚｒｉ空间上的有界性． ０６ 刘 － ｓ Ｒ ｒ ｌｉ ｋ ｂ， ｏ ｎ ． ２０年， 在 ［ 中研究 ＴＢ ｃｎｒ ｉｓ算 子极大 多线 性交换子在Ｈａｄ 空间和Ｈｅｚ ａｄ 空 间上 的有界 ８ ］ ｏｈ ｅ－ ｅｚ Ｒ ｒｙ ｒ型Ｈ ｒｙ 性． ０８ Ｈ ￥Ｇ 在文［建立了一类奇异积分交换子和分数次积分交换子的双权Ｌ ｓ ｉ 估 ２０年， ｕ ￣ ｕ ｌ ９ 】 ｉｃｔ ｐ ｈｚ 计． 受文［的启发， ９ ］ 本文主要研究Ｂ ｃｎｒ ｉ ｚ ｏｈｅ－ ｅ 极大交换子的双权Ｌｐｅｉ 估计． Ｒ ｓ ｉ ｈｔ ｓ ｚ
ｌ ＝ Ｉ ｓ （ ｌ一Ｉ）ｘ ∞ ， ｆｔ－） ， ｌ Ｉ ）Ｂ（Ｐ石 Ｐ ￣ ＜ ｔ ｄ ｘ
其 中上确界 取遍所有 的球Ｂ ． ｃ Ｒ 令Ｌ 的Ｌｐ 空间． ｉ８ 下面给 出极大函数与ｓ ａｐ ｈ ｒ极大 函数 的变形 ：
文献标识码： Ａ
文章编号： ００４２（０２０．０６０８ １０—４４２１）１ ９．０ ０
§ 引 言 １
多重Ｆ ｕｉ 积 分和Ｂ ｃ ｎ ｒ ｉ ｚ ｏｒ ｒ ｅ ｏ ｈ ｅ— ｅ 平均 ，是多元Ｆ ｕ ｉ 分析 的一个重要分支 ． Ｒ ｓ ｏｒｒ ｅ 这个领域 的开 创 性工作是ＳＲ ｃ ｎ ｒ ．ｏ ｈ ｅ于二十世纪三十年代提 出的． 近年来 国内外很多学者相继在这一领域作 出
定义１ 设Ｂ （ （ ＝（一 ２ ） （ 和 （ ＝ ～ （）当 ＞０ 记 ． １ ） ） １ ｔ ∈ ｚ 季， 时， ，∈ ，） ）
Ｂ， ）） ２， ＝／［ ） ６） （一 ）ｙｙ （ （ ６ 一（］ ｙ （ｄ． （ ｆ）
ｔＲ ｎ ，
Ｂ ｃｎｒ ｉ ｚ ｏｈ ｅ— ｅ 平均极大算子及其极大交换子分别定义如下： Ｒ ｓ