近世代数课件--第三章 环与域

2012-9-19
§３除环、域
除环的性质：
１、除环无零因子。
因为
a 0, a b 0 a a b b 0
1
２、除环Ｒ的不等零的元对于乘法来说作成一个群Ｒ＊
称为除环Ｒ的乘法群。
注：除环由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的 桥梁。
§３除环、域
方程ax=b和ya=b各有一个唯一解是a-1b和ba-1. 但是a-1b不一定等于ba-1，而在域中，则有a-1b＝ba-1 所以在域中可以用
1 如 A 1
0 1 0, B 0 1
1 0 1
但ＡＢ＝０
§２交换律、单位元、零因子、整环
定理 在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之 一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。
a 0, ab ac b c a 0, ba ca b c
证明：因为Ｒ没有零因子，所以由 a 0 和
a b a c a b a c 0 a (b c ) 0
得 b c 0 即 b c 消去律成立。
§２交换律、单位元、零因子、整环
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a 0
所以由消去律知若 a 0 则 b 0 所以环Ｒ没有零因子。
( a 1 , b1 ) ( a 2 , b 2 ) ( a 1 a 2 , b1 b 2 ) ( a 1 , b1 )( a 2 , b 2 ) ( a 1 a 2 , b1 b 2 )
R是一个环，用 R 表示整数环，则
设Ｒ的某一个元a的阶是有限整数n，b是Ｒ的另一个非零元，
则(na)b=a(nb)=0,由
a 0
R是无零因子环知nb=0。
所以a的阶不超过b的阶，b的阶不超过a的阶，所以
a的阶＝b的阶.
§４无零因子环的特征
定义 一个无无零子环Ｒ的非零元的相同的（加法）
阶叫做环Ｒ的特征。
定理２若无零因子环Ｒ的特征是一个有限数n，则n 一定是素数. 证明：假如n不是素数，n=n1n2，那么对于Ｒ的一个非
[ a ] 0, [ b ] 0
但 [ a ][ b ] [ a b ] [ n ] [0 ]
所以n非平凡因子均为Ｒ的零因子。
§２交换律、单位元、零因子、整环
例３ 高等代数中一个数域Ｆ上一切n阶方阵对于矩阵的 加法和乘法来说做成一个有单位元的环， 则当 n 2 时有非0矩阵乘积为０矩阵，所以有零因子。
1
R
也是交换环，R若有单位元1 ，则R 也有单位元 1
是1的象。
§ 5 子环、环的同态
例3 设R是整数环， 是模n的剩余类环，则 R : a [a]
显然是R到 R 的一个同态满射。
注：R是无零因子环，R 是一个有零因子。
§ 5 子环、环的同态
例4 R={所有整数对(a,b)}，对于代数运算
用符号
i 1
n
ai
即：
i 1
n
a i a1 a 2 a n
加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示
则有运算规则： 0 a a 0 a
a a a a 0
( a ) a a c b c b a
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§1加群、环的定义
(a b) a b, (a b) a b
规定:
n na a a a ( n ) a ( n a ), 0 a 0
m a na (m n)a
m na m n a
0 a a 0 0 （0为Ｒ中零元） n(a b) na nb
ee ' e e '
所以性质成立。
注一个环Ｒ中的单位元用1表示，且规定 a 1
0
§２交换律、单位元、零因子、整环
定义 一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如
ab ba 1
逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。
证明：设a有两个逆元b和b’，则
b a b ' b ( b a ') b 1 b ( b a ) b ' 1b ' b '
推论 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去 律也成立。
§２交换律、单位元、零因子、整环
定义 一个环Ｒ叫做一个整环，若 １、乘法适合交换律： a b b a ２、Ｒ有单位元１:
1a a1 a
3、Ｒ没有零因子： a b 0 a 0 或 b 0 其中a,b为Ｒ中任意元素。 例如整数环是一个整环。
则有：
( a )b a ( b ) a b
( a )( b ) a b
§1加群、环的定义
定义 一个集合Ｒ叫做环，假如 1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来 说作成一个交换群； ２、Ｒ对于一个叫做乘法的运算来说是闭的； a ３、关于乘法满足结合律： ( b c ) ( a b ) c
a (b c ) a b a c
４、关于乘法与加法满足分配律：
(b c ) b a b c
则有运算规则：
(a b )c a c b c c (a b ) ca cb
§1加群、环的定义
0 a a 0 0 （0为Ｒ中零元）
( a )b a ( b ) a b
' *
[ x] [ x ]
'
所以Ｆ＊是一个乘法群，则Ｆ是一个域。
注：在该域中，一个非零元a有p[a]=[0]。
证明：因为p[a]=[a]+[a]+…+[a]=[pa]=[0].
分析原因：是因为Ｆ中除零元外，其余元的阶（加法） 均为p是一个有限数。
§４无零因子环的特征
定理１ 在一个无零因子环中所有不等于零的元的阶（对 于加法来说）都一样。 证明：如果每个非零元的阶都是无限大，则结论成立。假
b a
表示a-1b和ba-1。
则有以下结论：
１、
b a c d
c d
当且仅当ad=bc时成立；
ad bc bd
２、
b
a
a c ac ３、 b d db
§３除环、域
例３Ｒ＝｛所有复数对 ( , ) ｝。这里规定
( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 1 2 , 1 2 )
ea a e a
其中a为Ｒ中任意元。
注：不是所有环都有单位元，如下例。
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§２交换律、单位元、零因子、整环
例１Ｒ＝｛所有偶数｝，Ｒ对于普通数的加法和乘法作成 一个环，但Ｒ没有单位元。 单位元的唯一性：一个环Ｒ如果有单位元则其单位元是唯 一的。
证明：设Ｒ有两个单位元e和e’则有
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§1加群、环的定义
规定：
n n a aa a
则有：
a a
m
m
n
a
mn
(a ) a
n
mn
§２交换律、单位元、零因子、整环
定义 一个环Ｒ叫做交换环，假如
ab ba
其中a,b为Ｒ中任意元。 所以有：a b ( a b )
n n n
定义 一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有
[ a ] 0, [ b ] [0 ] 时有
[ a ][ b ] [ 0 ]
*
即
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[ a ], [ b ] F [ a ][ b ] F
*
§４无零因子环的特征
３、p不整除a，但p整除a(x-x’)时，则p整除x-x’，即有
[ a ][ x ] [ a ][ x ], [ a ] F
p
b .
p
§ 5 子环、环的同态
定义 一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如
S本身对于R的代数运算来说作成一个环。
一个除环R的一个子集S叫做R的一个子除环，假如S
本身对于R的代数运算来说作成一个除环。
同样可以规定子整环、子域概念。
结论：一个环的非空子集S作成子环的充要条件是：
a, b S a b S , ab S
§ 5 子环、环的同态
R 定理1 设R是一个环， 是一个不空子集，且有一个加法和
一个乘法运算，若存在一个R到 R 的满射，使得R与 R
对于一对加法和一对乘法来说同态，则 R 也是一个环。
定理2 设R和 R 是两个环，并且R与 R 同态，则R的零元的
象是R 的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，R是交 换环则 而且
§３除环、域
例１Ｒ只包括一个元a加法和乘法规定为：
a a a, aa a
则Ｒ是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。 例２全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成 一个环，显然对于任意一个非０有理数a，都有逆元a-1。 定义 一个环Ｒ叫做一个除环，若
１、Ｒ至少包含一个不等于零的元； ２、Ｒ有一个单位元； ３、Ｒ每一个不等零的元都逆元。 定义 一个交换除环叫做一个域。
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
§２交换律、单位元、零因子、整环
例２ Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法 如下：
[ a ] [b ] [ a b ] [ a ][ b ] [ a b ]
可以验证Ｒ是一个环，称为模n的剩余类环。 若n不是素数，则 n a b , n a , n b
( a )( b ) a b
a ( b1 b 2 b n ) a b1 a b 2 a b n
ab
i i 1 j 1
m
n
j
a 1 b1 a 1 b n a m b1 a m b n
(na ) b a (nb ) n (ab )
( i , 0 )(0 ,1) (0 ,1)( i , 0 ).
§３除环、域
环的分类：
环 交换环 有单位元环 无零因子环
整环
域
除环
§４无零因子环的特征
讨论规则：
m个 a 0 ma a a a 0
例１设p是一个素数，则模p的所有剩余类Ｆ构成一个环，则 可以证明Ｆ是一个域。 证明：只需证明Ｆ的所有非零元Ｆ＊作成一个乘群。 １、结合律成立，则数的乘法结合律知； ２、由于p是素数，所以p不整除a，p不整除b时一定有 p不整除ab,所以
( 1 , 1 )( 2 , 2 ) ( 1
2
1 2 , 1 2 1
2
)
则Ｒ是一个除环，但不是交换环。
因为对于非零元 ( , ) 均有逆元
(


,

)
但是(i,0)(0,1)=(0,i),(0,1)(i,0)=(0,-i)所以 这个环是四元数除环。
0
2 2
2
零元a有 但是
( n1 a )( n 2 a ) ( n1 n 2 ) a n a 0
与Ｒ是无零因子环矛盾，所以n是素数。
n , 0 a 1n
§４无零因子环的特征
推论 整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。 结论：在一个特征为p的交换环中有
(a b)
p
a
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§ 5 子环、环的同态
一个除环的非空子集S作成子除环的充要条件是： 1、 S包含一个不等于零的元； 2、 a , b S
a b S , ab S
1
a, b S , b 0 ab
S
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例1 R本身是环R的子环。由0一个元作成的集合也是 R的子环。 例2 一个环R可以同每一个元交换的元作成一个子环， 叫作环R的中心。
所以性质成立。 注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除１和-1外 其余元都滑逆元。
§２交换律、单位元、零因子、整环
用a-1表示a的逆元，且规定
a
n
(a
1
)
n
则对任何整数都有 a m a n a m n
(a ) a
m n
mn
定义 若在一个环Ｒ里
a 0, b 0 但 ab 0
第三章 环与域



加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想 剩余类环、同态与理想 最大理想 商域
§1加群、环的定义
定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运 算叫做加法，并且用称号+表示。 因此在加群里n个元 a 1 , a 2 , , a n 的和有意义，这个和