中考数学解答重难专题专题三 第25题综合与实践

5. 请你在图①中过点P作一条直线平分平行四边形ABCD的面积；在图②中过点M
作一条直线平分矩形ABCD的面积；在图③中作出两条直线(要求其中一条直线必
须过点 N)四等分正方形ABCD的面积．
解：作图如解图①，直线PO为所要求作的直线；
第5题图
作图如解图②，直线MO为所要求作的直线；作
图如解图③，直线NO，QO为所要求作的直线．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是
AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点， 则PM－PO的最大值为___2_13____．
(4)异侧线段差最大值问题
第4题图
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
解决思路：将异侧点转化为同侧即可解决．
，2∠DAB＝45°，则△OEF
(2)利用垂线段最短及轴对称性质
问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得 PMN转化在同一条直线上，想到作点P 关于OB的对称点P′，即求P′N＋MN的最小值，因此只要P′M⊥OA.利用垂线段最 短求解．
12. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作 等边△PBC，则AP的值为___6_____．
第12题图
第13题图
13. 如图，在△ABE中，BE＝，AE＝2，以AB为边向三角形外作正方形ABCD， 连接DE.则DE的最大值为___3___2__．
(2)费马点问题
2．求线段AP的最大值问题
当上图中AP取最大值时，利用旋转可得AP＝A′P，AB＝A′C＝a，且AC＝b，因 为等腰△APA′中，∠APA′＝α为定值，所以AA′取最大值时，AP也取得最大值， 而AA′≤AC＋A′C＝AB＋AC＝a＋b，所以A、C、A′三点共线时，AA′取得最大 值为a＋b，再在等腰△APA′中计算AP最大值即可．
大题小做
一、利用垂线段最短解决线段最值问题 问题：如图，点P为线段BC上一动点，当点P运动到何处时，AP最短． 解决思路：过点A作AP⊥BC交BC于点P，点P即为所求．
第1题图
1. 在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点P为AB上一点，则PC的最小
12
值是____5____．
二、利用“将军饮马”解决线段最值问题
(3)同侧线段差最大值问题 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|第的3值题图最大． 解决思路：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点 共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l 的交点即为点P.
第4题图
解：作图如解图(作法不唯一)．
图①
图②
提分要点
对于过一点M作直线平分图形面积的问题，需掌握：不论点在所给图形内部或者
边上，借助图形的中心点解决问题： ①对于任何图形，只要能找到它的中心点O，那么过点O、M的直线将这个图形分 成面积相等的两部分； ②对于正n(n≥3)边形，点O为它的中心点，若直线OM与另一条过O点的直线l能四 等分它的周长，则直线OM与直线l四等分所给正n边形的面积； ③对于菱形和圆，方法②同样适用.
模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点) (1)异侧线段和最小值问题 问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 解决思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交 直线l 于点P，点P即为所求．
2. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD 边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的 最小值为___2__3___．
5. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD 上的动点，则|PA－PB|的最大值为____4____．
第5题图
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
(1)利用轴对称性 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得 △PMN周长最小． 解决思路：要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段 最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
专题三 第25题综合与实践
注：综合与实践为每年25题必考，均为3问，分值为12分．第(1)、(2)问均为 问题提出、问题探究，一般考查简单作图或计算，第(3)问为解决实际问题， 并且要结合前两问的结论解决问题．
类型一 面积平分问题
(2017、2013、2010.25)
【类型解读】面积平分问题近10年涉及3次，题目所给图形：若在第(1)、(2)问 涉及则结合常见图形，如等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形，第(3)问涉 及则结合一般四边形. 考查点：图形面积平分和四等分问题．考查形式：过图 形上一点或图形内一点作直线平分图形的面积．
＝S △A CM＝12S △A B C， ∴直线DE平分△ABC的面积．
第2题解图
提分要点 如图②，过点D作DE∥AC，利用“等积法”将四边形ABCD的面积转化为△ABE的 面积．
图②
3. 如图，四边形ABCD是某商业用地示意图．现准备过点A修一条笔直的道路(其占 地面积不计)，使其平分四边形ABCD的面积．请你在图中作出这条路所在的直线， 写出作法，并说明理由．
第3题图
解：如解图，连接AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，连接AE， 交DC于点F，取BE的中点P，作直线AP，则直线AP即为所求． 理由如下： ∵DE∥AC，则S△ACD＝S△ACE， ∴S△ABE＝S四边形ABCD， ∵直线AP平分△ABE的面积， ∴直线AP平分四边形ABCD的面积．
第3题解图
二、借助对称中心平分图形面积
提分要点 ①平行四边形、矩形、菱形、正方形均为中心对称图形，过它们的中心(对角线的 交点)的任意一条直线均可将它们的面积分成相等的两部分；两条对角线能四等分 它们的面积． ②圆、正多边形的面积平分问题，可以结合图形的轴对称性或中心对称性并引用 上述方法解决．
4. 请你在图①中作出一条直线，使它将平行四边 形 ABCD分成面积相等的两部分；在图②中作出 两条直线，使它们将⊙O的面积四等分．
问题：如图①，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA＋PB＋PC的 最小值．
解决思路：如图①，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得△EDC，连接PD、BE， 则PA＋PB＋PC＝ED＋PB＋PD≥BE，故B、P、D、E四点共线时，PA＋PB＋ PC取得最小值，且PA＋PB＋PC的最小值为BE.
模型三 “两点两线”型(两动点＋两定点)
问题：点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四 边形PQNM周长最小． 解决思路：要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最 小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想 到作点P关于OA的对称点，作点Q关于OB的对称点．
第5题图
图①
图②
图③
提分要点
若一个不规则图形可以分为两个规则图形，则连接两个规则图形中心的直线平分
这个不规则图形的面积.
6. 如图，在矩形一个角上剪去一个小正方形，得到一个六边形ABCDEF，请你作
一条直线平分六边形ABCDEF的面积． 解：如解图，直线MN将六边形ABCDEF分成面积相等的
两部分(解法不唯一)．
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为AB上一动点，Q是BC 上一动点，则AQ＋PQ的最小值为___2__3___．
第8题图
第9题图
9. 如图，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别 是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是___5_2_2___．
大题小做
一、借助三角形中线平分图形面积
提分要点 三角形一边的中线平分该三角形的面积． 1. 如图，在△ABC中过点A作一条直线，将三角形的面积平 解分：．如解图，取BC的中点M，过点A、M作直线，则直线AM平 分△ABC的面积．
第1题图
第1题解图
提分要点 过三角形边上一点(非顶点)的直线平分面积：如图①，点D为边AB上一点，选择点 D所在边距离较近的顶点A作三角形的中线AE，连接DE，作AM∥DE交BC于点M， 连接DM，DM即为所求.
大值为________．
4. 如图，在4 四3边形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝12，则四边形ABCD面积的最
大值为________．
60
第3题图
第4题图
类型三 线段最值问题
(2018、2016、2015.25)
【类型解读】线段最值问题近10年考查3次，考查形式为利用轴对称的性质 和两点之间线段最短，求线段的最小值、三角形或四边形周长的最小值．
11. 已知Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，D、E、F分别是三边AB、 24
BC、CA上的点，则DE＋EF＋FD的最小值为___5_____．
第11题图
三、利用旋转的性质解决线段最值问题
(1)利用旋转的性质求线段最值 1．利用旋转将所求线段长转化到特殊三角形中求解 (1)如图①，已知a、b，△BPC为等边三角形，求AP⇒△ABP绕点P旋转60°得等 边△AA′P； (2)如图②，已知a、b、∠BPC＝90°，求AP⇒△ABP绕点P旋转90°得等腰 Rt△AA′P； (3)如图③，已知a、b、∠BPC＝α，求AP⇒△ABP绕点P旋转α得等腰△AA′P.
(2)同侧线段和最小值问题
第2题图
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．
解决思路：将两定点同侧转化为异侧问题，作点B关于直线l的对称点B′，连接
AB′交直线l于点P，点P即为所求．
3. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，P为AB上的一个动
点，若AB＝2.则PE＋PC的最小值为____1_3___.
AE为中线→S△ABE＝S△ACE AM∥DE→S△AOD＝S△EOM
→S△BDM＝S四边形ACMD
2. 如图，点D是△ABC边AC上的一定点，取BC的中点M， 连接DM，过点A作AE∥DM交BC于点E，作直线DE.求证： 直线DE平分△ABC的面积．
图① 第2题图
证明：如解图，连接AM， ∵M是BC的中点，∴S△ABM＝S△ACM＝12S△ABC， ∵AE∥DM，∴S△DAE＝S△MAE， ∴S△DEC＝S△ACE－S△DAE＝S△ACE－S△AME
6. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，CB⊥AB，CD⊥AD且AB＝AD＝ 3，点E、F分别在BC、CD边上，那么△AEF的周长最小值为____6__3____．
第6题图
第7题图
7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB
上的点，连接OE、OF、EF.若AB＝7，BC＝5 周长的最小值为_________1_32．2
第6题图
第6题解图
类型二 面积最值问题
(2012、2011.25)
【类型解读】面积最值问题(不涉及辅助圆)近10年考查2次，此类问题多涉及图 形变换．
1. 已知△ABC两边a＝8，b＝12，且夹角为30°，则此三角形的面积为___2_4____．
2. 3.
已如知 图三，角平形行两四边边长形分AB别CD为中4，，A6，B＝则2此，三对角角形线的BD最＝大2面，积则为四_边__形_1_A2_B_C__D_面．积的最
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别 是边BC、CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为_2__5_＋__1_0_．
第10题图
模型四 “三动点”型 问题：在△ABC中，在AB，AC，BC上分别找一点D，E，F，使得△DEF的周长 最小．
解决思路：将点D视为定点，先作出△DEF周长最小值对应的线段DD′，而后再研 究DD′随着点D的位置变化过程中的最小值．无论点D位置在何处，点C所对线段 D′D″的张角不变，即∠D′CD″的大小不变，为2∠ACB，因 此，为使得D′D″最小，只需CD′＝CD″＝CD最小即可，显然当CD⊥AB时，垂线 段最小，从而△DEF的周长最小．