9-23随机变量(夏梓豪)

【主要知识点】

1．随机变量的概念

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量常用希腊字母ξ、η等表示。

对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫

做离散型随机变量。

注：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(a 、b 是常数)也是随机变量。

2．离散性随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量ε可能取得值为： X1，X2，…，X3，…，

ε取每一个值Xi （I=1，2，…）的概率为P （P xi ==)ε，则称表

为随机变量的概率分布，简称的分布列。

两条基本性质：①,2,1(0=≥i p i …)；②P 1+P 2+…=1。 3．独立

相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件。

独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的。

公式

(1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A·B ）=P （A ）·P （B ）；

推广：若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P(A 1·A 2…A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(n )。 (2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：P n (k)=C k

n P k (1－P)n-k 。

4．随机变量的均值和方差

（1）随机变量的均值 ++=2211p x p x E ε…；反映随机变量取值的平均水平。

（2）离散型随机变量的方差：

+-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2

)(ε…；反映随机变量取值的稳定

与波动，集中与离散的程度。

基本性质：b aE b a E +=+εε)(；εεD a b a D 2

)(=+。

5．几种特殊的分布列

（1）两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变

量⎩

⎨⎧=. 0,

1乙结果发生甲结果发生η，来描述这个随机试验的结果。如果甲结果发生的概率为P ，则乙

结果发生的概率必定为1－P ，所以两点分布的分布列为：

（2）超几何分布 重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p ，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n 次试验成功且前n －1次试验均失败”。所以()()1

n p 1p n P --⨯==ξ，

其分布列为：

（3）二项分布

如果我们设在每次试验中成功的概率都为P ，则在n 次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n 次试验中恰好成功k 次的概率为：

()().p 1p C k P k

n k

k n

--==ξ

率

,2,1,0,1()(=-==-k p q q p C k P k

n k k n n …),n 。期望E ε=np ，方差D ε=npq 。

6．正态分布

正态分布密度函数：2

22)(21)(σμπσ

--

=

x e

x f ，均值为E ε=μ，方差为2σε=D 。

正态曲线具有以下性质：

（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交。 （2）曲线关于直线x =μ对称。 （3）曲线在x =μ时位于最高点。 （4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。

（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R ，但实际上ξ取区间(μ-3σ，μ+3σ)外的数值的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ-3σ，μ+3σ)，这即实用中的三倍标准差规则，也叫3σ规则。在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。

【例题讲解】

题型1：独立的概念及应用

例1．(2003,江苏、河南,12分)有三种产品,合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验。

(1)求恰有一件不合格的概率；

(2)求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）；

解析：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ， (1)P(A)=0.90，P(B)=P(C)=0.95，则P(A )=0.10,P(B )=P(C )=0.05。 因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为：

P （A·B·C ）+P （A·B ·C ）+P （A ·B·C ）

=P （A ）·P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （C ）+P(A )·P(B)·P(C) =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176 答：恰有一件不合格的概率为0.176. (2)解法一：至少有两件不合格的概率为：

P （A·

B ·

C ）+P （A ·B·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ） =0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05≈0.012. 答：至少有两件不合格的概率为0.012. 解法二：三件产品都合格的概率为：

P （A·B·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.90×0.95×0.95≈0.812.

由(1)知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以，至少有两件不合格的概率为1-[P （A·B·C ）+0.176]=1-（0.812+0.176）=0.012.

答：至少有两件不合格的概率为0.012.