高考数学一轮总复习 第十一章 第5节 数学归纳法课件

考向二 用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明： 1＋n2≤1＋12＋13＋…＋21n≤12＋n(n∈N*)． 思路点拨 利用假设后，要注意不等式的放大和缩小． [证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1＋12，右边＝12＋1， ∴32≤1＋12≤32，即命题成立．
(2)假设当 n＝k 时命题成立，即 1＋2k≤1＋12＋13＋…＋21k≤12＋k， 则当 n＝k＋1 时， 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k >1＋2k＋2k·2k＋1 2k＝1＋k＋2 1.
[基础自测]
1．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，
n∈N＋)，在验证 n＝1 成立时，左边需计算的项是( )
百度文库A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
[解析] 观察等式左边的特征易知选C. [答案] C
2．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋…
[典例透析]
考向一 用数学归纳法证明等式 例 1 已知 n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝ n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n. 思路点拨 等式的左边有 2n 项，右边有 n 项，左边的分母 是从 1 到 2n 的连续正整数，末项与 n 有关，右边的分母是从 n ＋1 到 n＋n 的连续正整数，首、末项都与 n 有关．
为 k＋2. [答案] B
3．已知 f(n)＝1n＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12，则(
)
A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13
B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14
C．f(n)中共有 n2－n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13
第十一章 复数、算法、推理与 证明
第5节 数学归纳法
1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
[要点梳理] 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤 进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，推 出当__n_＝__k_＋__1__时命题也成立．
则当 n＝k＋1 时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3 ＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝2kk＋2k1＋32k＋＋13 ＝22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2k＋k＋11＋1， 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
－
1 2k＋1
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1
＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1
＝
k＋11＋1＋
k＋11＋2＋…
＋k＋11＋k＋
1 k＋1＋k＋1
＝右边，
所以当n＝k＋1时等式也成立． 综合(1)(2)知对一切n∈N* ，等式都成立． 拓展提高 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其 关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项， 初始值n0是几； (2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分 利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步 骤，从而使问题得以证明．
－1n＝2n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶
数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1 时等式成立
B．n＝k＋2 时等式成立
C．n＝2k＋2 时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 [解析] 因为假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)，故下一个偶数
活学活用 1 用数学归纳法证明：
对任意的
n
∈
N*
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
1 2n－12n＋1
＝
2nn＋1. [证明]
(1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13，
右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当 n＝k 时等式成立，即
1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1，
5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋2n－1 1<n(n>1)”， 由 n＝k(k>1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项的 项数是________．
[解析] n＝k 时，左边＝1＋12＋…＋2k－1 1， 当 n＝k＋1 时， 左边＝1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋…＋2k＋11－1. 所以左边应增加的项的项数为 2k. [答案] 2k
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后 面的所有正整数都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
质疑探究：数学归纳法两个步骤有什么关系？ 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第 一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不 可，否则就会导致错误． (1)第一步中， 验算n＝n0中的n0不一定为1，根据题目要 求，有时可为2或3等． (2)第二步中，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要 用到归纳假设，掌握“一凑假设，二凑结论”的技巧．
D．f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14
[解析] 从n到n2共有n2－n＋1个数， 所以f(n)中共有n2－n＋1项. [答案] D
4．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1) ＝f(k)＋________.
[解析] 易得f(k＋1)＝f(k)＋π. [答案] π
[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12， 右边＝12，等式成立； (2)假设当 n＝k 时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k， 那么当 n＝k＋1 时，
左
边
＝
1
－
1 2
＋
1 3
－
1 4
＋
…
＋
1 2k－1
－
1 2k
＋
1 2k＋1－1
又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k <12＋k＋2k·21k＝12＋(k＋1)， 即 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立．