导数及其应用教学设计

导数及其应用教学设计

课题：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一、情景导入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大值等问题最一般、最有效的工具导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二、知识探究探究一：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢??气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?43?r3?如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3V4?⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?(dm)气球的平均膨胀率为r(1)?r(0)?(dm/L)1?0⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?(dm)气

球的平均膨胀率为r(2)?r(1)?(dm/L)2?1r(V2)?r(V1)可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?探究二：高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t存在函数关系h(t)=-++10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算：0?t?和1?t?2的平均速度h()?h(0)在0?t?这段时间里，v??(m/s)；?0h(2)?h(1)在1?t?2这段时间里，v(m/s)2?165探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-++10的图像，结合图形可知，h(65)?h(0)，所以v?49h(65)?h(0)65这段时间里的?0(s/m)，虽然运动员在0?t?6549?049平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态探究：平均变化率1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,x2?x12．若设?x?x2?x1,?y?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))则平均变化率为?yf(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)??x2?x1?x?x?yf(x2)?f(x

1)表示什么??直线AB的斜率思考：观察函数f(x)的图象：平均变化率3、函数f(x)从x0到x0＋△x的平均变化率怎么表示？三、典例分析f(x0+Vx)-f(x0)Vx则2?y?．?x2解：?2??y??(?1??x)?(?1??x)，?y?(?1??x)2?(?1??x)?2∴??3??x?x?x例2、求y?x在x?x0附近的平均变化率2?y(x0??x)2?x0?解：?y?(x0??x)?x0，所以?x?x222x0?2x0?x??x2?x0??2x0??x?x所以y?x在x?x0附近的平均变化率为2x0??x例3、求函数y＝5x2＋6在区间[2，2＋△x]内的平均变化率例4、某盏路灯距离地面高8m，一个身高的人从路灯的正底下出发，以/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.解：略四．课堂练习1．质点运动规律为s?t?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为．2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.25?3?t3.过曲线y=f(x)=x3上两点P 和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=时割线的斜率.五．回顾总结1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率六．布置作业课后记:2222课题:导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一、复习引入1、函数平均变化

率：?yf(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)xx2?x1?x2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线(割线)的斜率3、在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的二、知识探究1、引例：计算运动员在0?t?65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-++10的图像，结合图形可知，h(65)?h(0)，所以v?49h(65)?h(0)?0(s/m)，65?049虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情49况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．2、．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t?2时的瞬时速度是多少？考察t?2附近的情况：①、思考：当?t 趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？②、结论：当?t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值?．③、从物理的角度看，时间?t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t?2时的瞬时速度是?/s④、为了表述方便，我们用limh(2??t)?h(2)??表示“当