经济数学微积分-吴传生10-3

λ t x A ( 1 e ) 腐败数量与时间t的函数关系为
t 0时，x 0代入得 CA
７．在其他方面的应用
例 11 关于汽车维修成本问题 某汽车公司在长期运营中发现每辆汽车的总维 修成本 y 随汽车大修的时间间隔 x 的变化率等于总 维修成本的 2 倍与大修的时间间隔之比减去常数 81 与大修时间间隔的平方之比.已知当大修时间间 隔 x=1(年)时，总维修成本 y=27.5(百元).试求每 辆汽车的总维修成本 y 与大修的时间间隔 x 的函数 关系，并问每辆汽车多少年大修一次，可使每辆汽 车的总维修成本最低？
(这里取e 2.7128)
６．关于商品存储过程中的基本衰减问题
例 10 设在冷库中存储的某蔬菜有 A(吨)，已发现其 中有些开始腐败，其腐败率为未腐败的 倍 (0 1)，设腐败的数量为 x(吨)，则显然它是时间 t 的函数，试求此函数.
dx 解： 由 ( A x ) 解此微分方程得 dt dx dt 即A x Ce t A x
从而可得通解为
x( t )
C 2ekt
1 C 2e
kt


1 Ce
kt
(C为任意常数 )
２．分析产量、收入、成本及利润之间的函 数关系
例 4 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养 1000 条. 在时刻 t 的鱼数 y 是时间 t 的函数 y=y(t) ，其变化 率与鱼数 y 和 1000-y 的乘积成正比.现已知池塘内放养 鱼 100 条，3 个月后池塘内有鱼 250 条，求 t 月后池塘 内鱼数 y(t) 的公式.问 6 个月后池塘中有鱼多少？
t = 0 时，国民收入为 5(亿元)，国民债务为 0.1(亿 元).试求国民收入及国民债务与时间 t 的函数关系.
dy 1 解： 由已知 dt 10
1 所以得国民收入函数 y t c 10
由t 0时y 5得c 5，于是国民收入函数为
1 y t 5 10
Baidu Nhomakorabea
dD 1 1 1 又由已知 y ( t 5) dt 20 20 10
即t月后鱼数与时间的函数关系为
y 1 3 1000 y 9
t 3
即y
1000 3 9 3
2
t 3
t 3
当放养6个月后鱼塘中鱼数
1000 3 y 500(条 ) 2 93
例 5 已知某厂的纯利润 L 对广告费 x 的变化率与 常数 A 和纯利润 L 之差成正比，当 x=0 时 L=Lo. 试求纯利润 L 与广告费 x 之间的关系.
ce
( b d ) t
ac ce ( bd ) t p bd
由p(0) p0代入上式，得 c p0 p
故所求价格 p与时间t的函数关系为
p ( p0 p )e ( bd ) t p
显然当 t , p p, 即价格趋于平衡价格 .
0
t
1 1 1 dx( t ) kdt x( t ) x( t )
x( t ) ln α kt C 1 (C 1为 任 意 常 数 ) a x( t )
x( t ) ekt C1 C 2 ekt (C 2为任意常数) x( t )
t 3
解此方程得
3 3 y e 5t c1 ,由t 0时y 0解 出c1 0 10
t
即销售成本与时间t的函数关系为
3 y e 5t . 10
t 3
３．关于国民收入、储蓄与投资关系
例 7 在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入 y， 国民储蓄 S 和投资 I 均是时间 t 的函数.且储蓄额 S 为
例 12 某汽车公司的小汽车运行成本 y 及小汽车的转 卖值 S 均是时间 t 的函数.若随时间的增长，小汽车 的运行成本的变化率及转卖值的变化率分别为：
dy 2 dS 1 ; S .已知 t=0 时 y=0，而转卖值 dt S dt 3
S=4.5(万元/辆).试求小汽车的运行成本及转卖值各 自与时间的关系.
dp ( D S ) ，其中α 为大于 0 的常数，试求价格 p dt
其通解为p e
dp 解 由已知 (D S) 0 dt dp 即 (c dp a bp) (a c ) (b d ) p dt dp 即 (b d ) p (a c ) dt
p ( t )dt
这里p(t ) (b d ), q(t ) (a c )
p ( t )dt ( q( t )e dt c )
所 以p ce
α ( b d ) t
α (a c ) α ( b d ) t α ( b d ) t e e α (b d )
所以纯利润与广告费的函数关系为
L A ( A L0 )e kx
例 6 某商场销售成本 y 和存储费用 s 均是时间 t 的函数，随时间 t 的增长, 销售成本的变化率等于 存储费用的倒数与常数 5 的和；而存储费用的变
1 化率为存储费用的 ，若当 t=0 时，销售成本 3
y=0 ，存储费用 S=10. 试求销售成本与时间 t 的函 数关系及存储费用与时间 t 的函数关系.
由已知 p ln 3 x dp
dx 即 x ln 3 dp dx ln 3dp 分离变量解此微分方程 x
两边积分得
ln x p ln 3 ln C
p ln 3
x Ce
再由p 0, x 1200得，C 1200
x 1200 3
y ce 由t 0时y 5得c 5 即国民函数为 y 5e
3 t 10
3 t 10
而储蓄函数和投资函数为
1 SI e 2
3 t 10
４．关于国民收入与国民债务问题
例 8 某地区在一个已知的时期内国民收入 y 的增长
1 1 率为 ，国民债务 D 的增长率为国民收入的 ，若 10 20
1 又由x 1时y 27.5，解出C 2
即总维修成本 y与大修的时间间隔 x的函数关系为
27 1 2 y x x 2 27 令y 2 x 0解得x 3 x
因y 54 1 0, 故x 3时 ，y有 最 小 值 . 3 x
即每辆汽车 3年 大 修 一 次 可 使 总 维 成 修本 最 低.
1 1 dy1 1 C1 y1 , I1 y1 , (C1 I1 y1 )，当 t=0 3 4 dt 2 时， y0 3(亿元).若此地区流动收入的均衡值 y 5 (亿元),试求流动收入函数.
1 1 dy1 1 解：C1 y1 , I1 y1 , (C1 I1 y1 ) 3 4 dt 2
解：
dy 1 5 dt S 由已知 dS 1 S 3 dt
t 3
(1) ( 2)
解(2)得 S ce .由t 0时S 10解出c 10
于是存储费用与时间t的函数关系为
t 3
S 10e
将上式代入方程 (1)得
dy 1 e 5 dt 10
1 2 1 解此方程得 D t t c1 400 4
由t 0时D 0.1得c1 0.1，故国民债务函数为
1 2 1 1 D t t 400 4 10
５．关于流动收入、流动消费和流动投资问题
例 9 某地区考察消费-投资-收入的关系时，得知消 费、投资均是收入的线性函数，而收入对时间的变 化率正比于过度需求.若C1 , I1 , y1分别表示在时刻 t 时，消费、投资、收入与它们各自均衡值C , I , y 的 偏差.若由统计资料分析得知
例 3 (逻辑斯谛曲线)在商品销售预测中，时刻 t 的 销售量用 x=x(t)表示，如果商品销售的增长速率
dx( t ) 正比于销售量 x(t)及与销售接近饱和水平的 dt 程度 x( t ) 之乘积( 为饱和水平)求销售量函数
x(t).
ax
解： 据题意，可建立微分方程
dx( t ) kx( t )( x( t )), 其中k为比例因子 dt dx( t ) 分离变量 : kdt x( t )( x( t ))
解：
dL k ( A L) 由题意列出方程 dx L X 0 L0 dL 分离变量 kdx , 两边积分 A L 1 kx ln( A L) kx ln C1 , A L Ce (其中C ) C1 L A Ce kx
由初始条件 L x 0 L0解得C A L0
解： 由已知 dy 2 y 81 2
dx
x
x
dy 2 81 改写为 y 2 dx x x
代入通解公式
2 dx 81 x ye ( 2 e dx C ) x 2 ln x 27 即：y e ( 3 C ) x 2 27 x ( 3 C) x 27 Cx 2 x 2 dx x
第三节 一阶微分方程在经济学中
的综合应用
一、微分方程在经济中的应用
二、小结
一、微分方程在经济中的应用
１．分析商品的市场价格与需求量(供应量) 之间的函数关系
例 1 某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为 p ln 3 . 若该商品的最大需求量为 1200(即 p=0 时，x=1200) (p 的单位为元，x 的单位为千克)试求需求量 x 与 价格 p 的函数关系，并求当价格为 1 元时市场上 对该商品的需求量. 解 p dx
解：
dy 由已知 ky(1000 y ), y t 0 100, y t 3 250 dt 解此微分方程
y ce1000 kt 1000 y 将 y t 0 100, y t 3 250代入得
100 c 1000 100 250 3000k ce 1000 250 1 ln 3 解得C , k 9 3000
p
当价格为 1元 时 ， 市 场 上 对 该 商 的 品需 求 量 为 x 1200 31 400(公 斤)
例 2 设某种商品，它的价格主要由供求关系决定， 设供给量 S 与需求量 D 均是依赖于价格的线性函数 S a bp (a , b, c , d为常数), D c dp ac 当供求平衡时，平衡价格 p ，显然当供大于 bd 求即 S D 时，则价格 p 下降；当求大于供即 D S 时，则价格 p 上升. 现若价格是时间 t 的函数 p=p(t)，在时间 t 时，价 格的变化率与此时刻的过剩需求量 D-S 成正比，即 与时间 t 的函数关系.(设初始价格 p(0) p0 )
解：
dy 2 dt S 由已知 dS 1 S 3 dt
且y0 3, y 5, y1 y y
于是流动函数为
y y ( y0 y )e ( ) t
1 1 1 ( 1) t 2 3 4
5 ( 3 5)e
5 2e

5 t 24
此题中, 若t 5时，则流动收入 y 4.2949(亿元) t 10时，则流动收入 y 4.751(亿元) 显然当t 时，流动收入 y 5(亿元)
1 国民收入的 (在时刻 t)，投资额为国民收入增长率 10 1 的 .若当 t = 0 时，国民收入为 5(亿元)，试求国民 3
收入函数(假定在时刻 t 储蓄额全部用于投资).
1 1 dy 解： 由已知S y, I 10 3 dt 1 1 dy 当S I 有 y 10 3 dt
解此微分方程得