第6讲 函数的极值与最值(教师版)

第6讲 函数的极值与最值
一．基础知识回顾
1．极大值点与极大值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于或等于x
0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．
2．极小值点与极小值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于或等于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．
3．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是增加的，在区间(x 0，b )上是减少的，则x 0是极大值点，f (x 0)是极大值；如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是减少的，在区间(x 0，b )上是增加的，则x 0是极小值点，f (x 0)是极小值.
4．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值如图，函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数
的最值必在端点处或极值点处取得．
5．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值，(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．问题探究
探究点一：函数的极值与导数的关系
例1：求函数f (x )＝x 3－3x 2
－9x ＋5的极值与极值点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x －9. 解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )，
有极小值f (3)＝－22，x ＝3是极小值点．
跟踪训练1：求函数f (x )＝3
x
＋3ln x 的极值与极值点．
解：函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋≦)，f ′(x )＝－3x 2＋3x
＝
3x －1x 2
.令f ′(x )
因此当＝1时，()有极小值(1)＝3.＝1是极小值点． 探究点二：利用函数极值确定参数的值
例2：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2
在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．
解：因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2
＋6ax ＋b ，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ′－1＝0，
f －1＝0，即
⎩⎪⎨⎪⎧
3－6a ＋b ＝0，
－1＋3a －b ＋a 2＝0.
解之得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝9.
当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2
＋
6x ＋3＝3(x ＋1)2
≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′
(x )＝3x 2
＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋≦)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.
跟踪训练2：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2
＋x 的两个极 值点．
(1)试确定常数a 和b 的值；
(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解：(1)≧f (x )＝a ln x ＋bx 2
＋x ，≨f ′(x )＝a
x
＋2bx ＋1. 由极值点的必要条件可知：f ′(1)
＝f ′(2)＝0，≨a ＋2b ＋1＝0且a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得，a ＝－23，b ＝－1
6
.(2)由(1)可
知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x . f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－x －1x －23x
.当x ∈(0,1)时，
f ′(x )＜0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋≦)时，f ′(x )＜0；所以x ＝1是函
数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点．
探究点三：函数极值的综合应用
例3 设函数f (x )＝x 3
－6x ＋5，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．
解：(1)f ′(x )＝3x 2
－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x >2或x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为单调递减区间为(－2，2)． (－≦，－2)和(2，＋≦)；当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图像的大致形状及
走向如图所示．所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根．
跟踪训练3：若函数f (x )＝2x 3
－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．
解：f (x )＝2x 3－6x ＋k ，则f ′(x )＝6x 2
－6，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1，可知f (x )
在(－1,1)上是减函数，f (x )在(－≦，－1)和(1，＋≦)上为增函数．f (x )的极大值为f (－1)＝4＋k ，f (x )的极小值为f (1)＝－4＋k . 要使函数f (x )只有一个零点，只需4＋k <0或－4＋k >0(如图所示)即k <－4或k >4. ≨k 的取值范围是(－≦，－4)∪(4，＋≦)． 探究点四：含参数的函数的最值问题
例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2
(x －a )．
(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．
解：(1)f ′(x )＝3x 2
－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，
解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a
3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8
－4a . 当2a 3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a
3
<2，
即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
8－4a 0<a ≤202<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
8－4a a ≤20a >2.
跟踪训练4：已知函数f (x )＝ax 3
－6ax 2
＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，
b 的值．
解：f ′(x )＝3ax 2
－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0时，列表如下：
由表可知，当x ＝0时，f (x )取极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，≨f (0)＝3，即b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)，≨f (2)＝－16a ＋3＝－29，≨a ＝2. (2)当a <0时，同理可得，当x ＝0
时，f (x )取极小
值，也就是函数在
[－1,2]上的最小值，≨f (0)＝－29，即b ＝－29. 又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)，≨f (2)＝－16a －29＝3，≨a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.
探究点五：函数最值的应用
例3：已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2
＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围．
解：f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x
，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2
＋ax ＋1(x ＞
0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1
x
－1. 当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；
当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，≨g (x )≤g (1)＝－1. 综上可知，a 的取值范围是[)－1，＋≦.
跟踪训练5：设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2
成立，求c 的取值范围．
解：≧f ′(x )＝6x 2
－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．≨当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. ≨当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，≨x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ≧对任意的x ∈[0,3]，
有f (x )<c 2恒成立，≨9＋8c <c 2
，即c <－1或c >9. ≨c 的取值范围为(－≦，－1)∪(9，＋≦)．
四．课时小结
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题. 4.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取
得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
5．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
6．.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．一般地，可采用分离参数法．λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .
7.函数最值：(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得． 五．作业设计
1. 函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图像如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有(A)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2． 下列关于函数的极值的说法正确的是
(D)
A ．导数值为0的点一定是函数的极值点
B ．函数的极小值一定小于它的极大值
C ．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 3． 函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有
(C)
A ．极大值5，极小值－27
B ．极大值5，极小值－11
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值－27，无极大值 4． 已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则
(C)
A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0
B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0
C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0
D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0
8． 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于(D)
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
9． 若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是
(B)
A ．1<a <2
B ．1<a <4
C ．2<a <4
D ．a >4或a <1
10． 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2
，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最
小时t 的值为 (D)
A ．1 B.12 C.52 D.2
2
11． 若函数f (x )＝x 2＋a
x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝3 .
12． 设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a
的值为9．
13. 如果函数y ＝f (x )的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－1
2内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫－1
2，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增；④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－1
2时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正
确的是③．(填序号)
14． 已知f (x )＝－x 2
＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的
取值范围是[－4，－2]．
15．已知函数f (x )＝e x
－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．
16．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－2x 2
＋x ＋1；(2)f (x )＝x 2e x .
解：(1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2
－4x ＋1＝3(x －
1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －13.令f ′(x )>0，可得x >1或x <13；令f ′(x )<0，可得13<x <1.≨函数f (x )＝x 3－2x 2
＋x ＋1的单调递增
区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－≦，13和(1，＋≦)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e
－x
＋x 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x ′＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ，
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且为f (0)＝0；当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2
.
17．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－5
2，求m 的值．
解：≧f ′(x )＝3x 2
＋
mx －2m 2＝(x ＋m )(3x
－2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝2
3m .
当x 变化时，f ′(x )，
f (x )的变化情况如下表：≨f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋1
2
m 3＋2m 3－4＝－52
≨m ＝1.
18．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .
(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？
解：(1)f ′(x )＝3x
2
－2x －1.令f ′(x )＝0，则x ＝－1
3或x
＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况
如下表：所以f (x )的极大值是f (－13)＝527
＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3
－
x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小
的负数时，有f (x )<0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f (－1
3)
＝5
27
＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.≧曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，≨f (x )极大值<0或f (x )极小值
>0，即527＋a <0或a －1>0，≨a <－527或a >1，≨当a ∈(－≦，－5
27
)∪(1，＋≦)时，曲
线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．
19．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R .
(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠2
3
时，求函数f (x )的单调区间与极值．
解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x
，f ′(x )＝(x 2
＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.(2)f ′(x )＝[x 2
＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x
.令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2，由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下
分两种情况讨论：①若a >2
3
，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a
.函数f (x )在x ＝a －2处取得极
小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e
a －2
.②若a <3
，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )
的变化情况如上表：所以f (x )在(－≦，a －2)，(－2a ，＋≦)内是增函数，在(a －2，－2a )
内是减函数．函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e
a －2
.函数
f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .
20．已知函数f (x )＝x 3
－ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．
解：(1)f ′(x )＝3x 2
－2ax ＋b ，≧函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，≨－1,3是方程3x 2
－2ax ＋b ＝0的两根．≨⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝2
3
a －1×3＝b
3
，≨⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3
b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x
2
2|恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，≨c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，≨c <－18.≨c ∈(－≦，－18)∪(54，＋≦)，此即为参数c 的取值范围．
21．已知函数f (x )＝(x －k )e x
.
(1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．
解：(1)f ′(x
所以f (．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1,1)上单
调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1
.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.。