第6讲 函数的极值与最值(教师版)

第6讲 函数的极值与最值

一．基础知识回顾

1．极大值点与极大值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于或等于x

0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．

2．极小值点与极小值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于或等于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．

3．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是增加的，在区间(x 0，b )上是减少的，则x 0是极大值点，f (x 0)是极大值；如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是减少的，在区间(x 0，b )上是增加的，则x 0是极小值点，f (x 0)是极小值.

4．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值如图，函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数

的最值必在端点处或极值点处取得．

5．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值，(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．问题探究

探究点一：函数的极值与导数的关系

例1：求函数f (x )＝x 3－3x 2

－9x ＋5的极值与极值点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x －9. 解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )，

有极小值f (3)＝－22，x ＝3是极小值点．

跟踪训练1：求函数f (x )＝3

x

＋3ln x 的极值与极值点．

解：函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋≦)，f ′(x )＝－3x 2＋3x

＝

3x －1x 2

.令f ′(x )

因此当＝1时，()有极小值(1)＝3.＝1是极小值点． 探究点二：利用函数极值确定参数的值

例2：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2

在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．

解：因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2

＋6ax ＋b ，所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

f ′－1＝0，

f －1＝0，即

⎩⎪⎨⎪⎧

3－6a ＋b ＝0，

－1＋3a －b ＋a 2＝0.

解之得⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝1，

b ＝3

或⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝2，

b ＝9.

当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2

＋

6x ＋3＝3(x ＋1)2

≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′

(x )＝3x 2

＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋≦)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.

跟踪训练2：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2

＋x 的两个极 值点．

(1)试确定常数a 和b 的值；

(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．

解：(1)≧f (x )＝a ln x ＋bx 2

＋x ，≨f ′(x )＝a

x

＋2bx ＋1. 由极值点的必要条件可知：f ′(1)

＝f ′(2)＝0，≨a ＋2b ＋1＝0且a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得，a ＝－23，b ＝－1

6

.(2)由(1)可

知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x . f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－x －1x －23x

.当x ∈(0,1)时，

f ′(x )＜0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋≦)时，f ′(x )＜0；所以x ＝1是函

数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点．

探究点三：函数极值的综合应用

例3 设函数f (x )＝x 3

－6x ＋5，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调区间和极值；

(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．

解：(1)f ′(x )＝3x 2

－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x >2或x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为单调递减区间为(－2，2)． (－≦，－2)和(2，＋≦)；当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图像的大致形状及

走向如图所示．所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根．

跟踪训练3：若函数f (x )＝2x 3

－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．

解：f (x )＝2x 3－6x ＋k ，则f ′(x )＝6x 2

－6，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1，可知f (x )

在(－1,1)上是减函数，f (x )在(－≦，－1)和(1，＋≦)上为增函数．f (x )的极大值为f (－1)＝4＋k ，f (x )的极小值为f (1)＝－4＋k . 要使函数f (x )只有一个零点，只需4＋k <0或－4＋k >0(如图所示)即k <－4或k >4. ≨k 的取值范围是(－≦，－4)∪(4，＋≦)． 探究点四：含参数的函数的最值问题

例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2

(x －a )．

(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．

解：(1)f ′(x )＝3x 2

－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，