储油罐的变位识别与罐容表标定

储油罐的变位识别与罐容表标定

张志伟 康国前 张晓波

摘要

本文所要讨论的问题可以归结为求几何体体积问题；首先，我们对几何体进行适当的处理（运用绘图工具简化其图形）；利用重积分的知识对几何体求体积，把倾斜的罐体通过转换成未变位形式进行重积分求解；对问题近似求解使问题进一步简化，建立求积分的数学模型；然后利用MATLAB 数学软件对其相关式子进行相应处理；最后通过拟合把理论数据与实验数据进行对比验证.

对于问题一 在合理假设情况下，通过对题目的分析和图形的观察，运用积分学原理并建立计算图形体积的模型. 在罐体未变位时，先利用微分求出椭圆柱的横截面积ds ，又由于小椭圆油罐柱长固定(为L),因此有0L

V sdy =⎰，在运用MATLAB 软件就可以解决；

在罐体变位时，可以将其体积分情况进行求解并给出罐体变位后罐容表标定值；最后，对两种情况所建的模型得出数据与原数据进行拟合分析对比，得到变位前后对罐体测量体积的影响.

对于问题二 对于实际图形，当柱体进行横向偏转β时，由于圆的特殊性即实际的油位高是一个恒值；从而建立实际高度与读取高度之间有关横向变换角β的关系式；因为罐体倾斜且变换角为α，使其横截面的面积分段，故将罐体分为三部分进行积分求解，分别为椭圆柱体和两端的球冠体；然后对其分别进行求解.最终，得到所要建立的模型.利用所知的数据来求解建立的模型，最终得到α、β；在将实际数据代入到所得式子中，对其进行检验.

关键字

微积分学、罐体体积计算、球冠体的体积、MATLAB 数学软件、数据拟合、近似求解

一、问题重述

（1）为了掌握罐体变形后对罐容表的影响，利用小椭圆储油罐对罐体无变位和倾斜角

04.1α=的纵向变位做了两种实验.来对储油罐的情况进行进一步的分析并且讨论变位后对罐容表的影响以及罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值.

（2）依据图1所示的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学摸型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系.然后利用罐体变位之后在出进口油过程中的实际检测数据，根据所建的模型来确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值；进而进一步运用附件2中的实际检测数据来分析检验所建数学模型的正确与方法的可靠性.

二、问题分析

对于问题一 在合理假设情况下，通过对题目的分析和图形的观察，运用积分学原理并建立计算图形体积的模型. 在罐体未变位时，如图2，先利用微分求出椭圆柱的横截面积ds ，又由于小椭圆油罐柱长固定(为L),因此有0L

V sdy =⎰，在运用MATLAB 软件

就可以解决；在罐体变位时，可以将其体积分情况进行求解并给出罐体变位后罐容表标定值；最后，对两种情况所建的模型得出数据与原数据进行拟合分析对比，得到变位前后对罐体测量体积的影响.

对于问题二 对于实际图形，当柱体进行横向偏转β时，由于圆的特殊性即实际的油位高是一个恒值；从而建立实际高度与读取高度之间有关横向变换角β的关系式；因为罐体倾斜且变换角为α，使其横截面的面积分段，故将罐体分为三部分进行积分求解，分别为椭圆柱体和两端的球冠体；然后对其分别进行求解.最终，得到所要建立的模型.利用所知的数据来求解建立的模型，最终得到α、β；在将实际数据代入到所得式子中，对其进行检验.

地平线

图1 储油罐正面示意图

油位探针

三、模型假设

1、由题目知小椭圆储油罐为两端平头的椭圆柱体；

2、假设实验所测数据是在误差允许范围内；

3、假设浮盘与罐壁之间的摩擦很小（即由其所引起的误差忽略不计）；

4、假设由于导向管内油高测量随机误差，造成油位计量不准确不计；

5、所有人员都是规范操作；

6、罐体的厚度不影响其的测量；

7、其他所有的因素都是一样，对于问题的解决影响不计；

8、油浮子不能超过储油罐体的罐壁；

9、所有处于油罐中的设备所占体积很小，可以忽略不计；

四、符号说明

a：为椭圆的长半轴（如图2所示）；

b：为椭圆的短半轴（如图2所示）；

ds：为单位椭圆的面积（如图2所示）；

L: 为椭圆柱体的柱长；

H: 读出油位高度；

R: 为储油罐的半径；

α：为罐体与水平线的夹角（如图4所示）；

β：为地平线垂直线与油位探针的夹角（如图6（b）所示）；

V：为罐体的体积；

M: 为投影圆的半径（如图12）；

地平线

油位探针

五、模型的建立与求解

5.1问题一的模型及其求解 ⑴ 罐体未变位的情形：

(b) 小椭圆油罐截面示意图

水平线

1.2m

(a) 小椭圆油罐正面示意图

图5小椭圆型油罐形状及尺寸示意图

图6储油罐截面示意图

（b ）横向偏转倾斜后正截面图

地平线

油位探针

（a ）无偏转倾斜的正截面图

油位探针

建立如图2所示的坐标系，即有椭圆方程为：22

221x y a b

+=，其中a ，b 都不为0，且a>b ；

进而有x =，则2h s a -=⎰

由图2可得 2a=1.78（m ）；2b=1.2（m ）；所以 a=0.89（m ），b=0.6（m ）；

由积分的定义,如图，对截面s 在x 轴上进行积分有：

L

V sdx =⎰

对其0

L

V sdx =⎰积分

则 22

212a r c s i n 2h

y a a h V L d

h b b b b b π-⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦

⎰

∵h = H - b

221(arcsin(1)2a H V L H b b b b b π⎡⎤

=

--+⎢⎥⎣⎦

因此得到罐体未变位所求模型：

221(arcsin(1)2a H V L H b b b b b π⎡⎤

=

--+⎢⎥⎣⎦

…………………（5.1.1）