专题52 巧用图形的旋转解决几何问题(解析版)
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6．如图，点 P 是∠MON 内的一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B，且 OA＝OB． （1）求证：PA＝PB； （2）如图②，点 C 是射线 AM 上一点，点 D 是线段 OB 上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若 OC＝8， OD＝5．求线段 OA 的长． （3）如图③，若∠MON＝60°，将 PB 绕点 P 以每秒 2°的速度顺时针旋转，12 秒后，PA 开始绕点 P 以 每秒 10°的速度顺时针旋转，PA 旋转 270°后停止，此时 PB 也随之停止旋转．旋转过程中，PA 所在直线 与 OM 所在直线的交点记为 G，PB 所在直线与 ON 所在直线的交点记为 H．问 PB 旋转几秒时，PG＝PH？
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∴BF＝
＝3，
∴EF＝ BF＝3 ， ∴AF＝6 +3， ∴AE2＝AF2+EF2＝（6 +3）2+（3 ）2＝144+36 ． ∵AE＝2 BH， ∴AE2＝12BH2， ∴BH2＝12+3
如图 3﹣2 中，当 DE 在 BC 的上方时，同法可得 AF＝6 ﹣3，EF＝3 ，
∴BH2＝ ＝（
＝12﹣3 ．
2
A． 2 5
B． 3 5
C．5
D．6
【答案】C． 【解析】思路如下：
拖动点 E 在 AB 上运动，可以体验到，当 EF 与 AC 垂直时，四边形 EGFH 是菱形（如图 2）．
如图 3，在 Rt△ABC 中，AB＝ 8， BC＝ 4， 所 以 AC＝ 4 5 ．
由 cos∠BAC＝ AB AO ， 得 8 2 5 ． 所 以 AE＝ 5．
②如图
3，当
EA＝EM
时，
6
5
x
EA ME
1 ．解得
x＝1．
③如图 4，当 MA＝ME 时，△MEA∽△ABC．所以 EA 6 5 ．解得 x＝ 11 ．
ME 5 6 x
6
图2
图3
图4
2、如图，矩形 ABCD 中，AB＝ 8， BC＝ 4．点 E 在 边 AB 上 ，点 F 在 边 CD 上 ， 点 G、H 在对角线 AC 上．若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ）．
【模型展示】
专题 52 巧用图形的旋转解决几何问题
【精典例题】
1、如图，△ABC≌△DEF（点 A、B 分别与点 D、E 对应），AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点 E 在 BC 边从 B 向 C 移动（点 E 不与 B、C 重合），DE 始终经过点 A，EF 与 AC 边交于点 M，当△AEM 是等腰三角形时，BE＝_________．
5．已知△ABC 是等边三角形，D 是 BC 上一点，△ABD 绕点 A 逆时针旋转到△ACE 的位置．
（1）如图，旋转中心是
，∠DAE＝
°；
（2）如图，如果 M 是 AB 的中点，那么经过上述旋转后，点 M 转动了
度；
8
（3）如果点 D 为 BC 边上的三等分点，且△ABD 的面积为 3，那么四边形 ADCE 的面积为
量关系为
；
问题证明：在 Rt△BDE 绕点 B 旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情 形给出证明若不成立，请说明理由；
拓展应用：在 Rt△BDE 绕点 B 旋转的过程中，当 DE∥BC 时，请直接写出 BH2 的长．
解：问题发现：如图 1 中，结论：AE＝2 BH，AE⊥BH．
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理由：在 Rt△ABC 中，∵BC＝6，∠A＝30°， ∴AE＝2BC＝12， 在 Rt△CDB 中，∵∠DCB＝30°，
∴CD＝
＝4 ，
∵CH＝DH，
∴BH＝ CD＝2 ，
∴ ＝ ＝2 ， ∴AE＝2 BH． 故答案为 AE⊥BH，AE＝2 BH．
问题证明：如图 2 中，（1）中结论成立．
5
理由：延长 BH 到 F 使得 HF＝BH，连接 CF．设 AE 交 BF 于 O． ∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD， ∴△CHF≌△DHB（SAS）， ∴BD＝CF，∠F＝∠DBH， ∴CF∥BD， ∵AB＝ BC，BE＝ BD， ∴BE＝ CF， ∴ ＝ ＝， ∵CF∥BD， ∴∠BCF+∠CBD＝180°， ∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴△ABE∽△BCF，
1
【答案】 11 或 1 6
【解析】思路如下：
设 BE＝x．
由△ABE∽△ECM，得 AB EA ，即 5 EA ． EC ME 6 x ME
等腰三角形 AEM 分三种情况讨论：
①如图 2，如果 AE＝AM，那么△AEM∽△ABC．
所以 EA 5 5 ．解得 x＝0，此时 E、B 重合，舍去． ME 6 6 x
6
∴∠CBF＝∠BAE， ＝ ＝ ， ∴AE＝ BF＝2 BH， ∵∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴BH⊥AE． 拓展应用：如图 3﹣1 中，当 DE 在 BC 的下方时，延长 AB 交 DE 于 F．
∵DE∥BC ∴∠ABC＝∠BFD＝90°， 由题意 BC＝BE＝6，AB＝6 ，BD＝2 ，DE＝4 ， ∵ •BD•BE＝ •DE•BF，
AC AE
4 5 AE
图2
图3
3、如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°得到
△DEC，若点 F 是 DE 的中点，连接 AF，则 AF=
．
3
【答案】 5．
【解析】思路如下：
如图，作 FH⊥AC 于 H．
由于 F 是 ED 的中点，所以 HF 是△ECD 的中位线，所以 HF＝3．
．
解：（1）∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝60° ∵△ABD 绕点 A 逆时针旋转到△ACE 的位置， ∴旋转中心是点 A，∠DAE＝∠BAC＝60°； （2）∵AB 和 AC 为对应边， ∴经过上述旋转后，点 M 转到了 AC 的中点位置，如图， ∴∠MAM′＝60°， ∴点 M 转动了 60°； （3）∵△ABD 绕点 A 逆时针旋转到△ACE 的位置， ∴△ABD≌△ACE， ∵BD＝ BC，或 BD＝ BC， ∴CD＝2BD，或 CD＝ BD， ∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或 S△ABC＝ S△ABD＝3× ＝ ， ∴S 四边形 ADCE＝S△ABC＝9 或 ． 故答案为点 A，60；60；9 或 ．
由于 AE＝AC－EC＝6－4＝2，EH＝2，所以 AH＝4．所以 AF＝5．
4．问题发现：如图（1）在 Rt△ABC 和 Rt△BDE 中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE 绕点 B
逆时针旋转，H 为 CD 的中点，当点 C 与点 E 重合时，BH 与 AE 的位置关系为
，BH 与 AE 的数
6．如图，点 P 是∠MON 内的一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B，且 OA＝OB． （1）求证：PA＝PB； （2）如图②，点 C 是射线 AM 上一点，点 D 是线段 OB 上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若 OC＝8， OD＝5．求线段 OA 的长． （3）如图③，若∠MON＝60°，将 PB 绕点 P 以每秒 2°的速度顺时针旋转，12 秒后，PA 开始绕点 P 以 每秒 10°的速度顺时针旋转，PA 旋转 270°后停止，此时 PB 也随之停止旋转．旋转过程中，PA 所在直线 与 OM 所在直线的交点记为 G，PB 所在直线与 ON 所在直线的交点记为 H．问 PB 旋转几秒时，PG＝PH？
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∴BF＝
＝3，
∴EF＝ BF＝3 ， ∴AF＝6 +3， ∴AE2＝AF2+EF2＝（6 +3）2+（3 ）2＝144+36 ． ∵AE＝2 BH， ∴AE2＝12BH2， ∴BH2＝12+3
如图 3﹣2 中，当 DE 在 BC 的上方时，同法可得 AF＝6 ﹣3，EF＝3 ，
∴BH2＝ ＝（
＝12﹣3 ．
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A． 2 5
B． 3 5
C．5
D．6
【答案】C． 【解析】思路如下：
拖动点 E 在 AB 上运动，可以体验到，当 EF 与 AC 垂直时，四边形 EGFH 是菱形（如图 2）．
如图 3，在 Rt△ABC 中，AB＝ 8， BC＝ 4， 所 以 AC＝ 4 5 ．
由 cos∠BAC＝ AB AO ， 得 8 2 5 ． 所 以 AE＝ 5．
②如图
3，当
EA＝EM
时，
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x
EA ME
1 ．解得
x＝1．
③如图 4，当 MA＝ME 时，△MEA∽△ABC．所以 EA 6 5 ．解得 x＝ 11 ．
ME 5 6 x
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图2
图3
图4
2、如图，矩形 ABCD 中，AB＝ 8， BC＝ 4．点 E 在 边 AB 上 ，点 F 在 边 CD 上 ， 点 G、H 在对角线 AC 上．若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ）．
【模型展示】
专题 52 巧用图形的旋转解决几何问题
【精典例题】
1、如图，△ABC≌△DEF（点 A、B 分别与点 D、E 对应），AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点 E 在 BC 边从 B 向 C 移动（点 E 不与 B、C 重合），DE 始终经过点 A，EF 与 AC 边交于点 M，当△AEM 是等腰三角形时，BE＝_________．
5．已知△ABC 是等边三角形，D 是 BC 上一点，△ABD 绕点 A 逆时针旋转到△ACE 的位置．
（1）如图，旋转中心是
，∠DAE＝
°；
（2）如图，如果 M 是 AB 的中点，那么经过上述旋转后，点 M 转动了
度；
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（3）如果点 D 为 BC 边上的三等分点，且△ABD 的面积为 3，那么四边形 ADCE 的面积为
量关系为
；
问题证明：在 Rt△BDE 绕点 B 旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情 形给出证明若不成立，请说明理由；
拓展应用：在 Rt△BDE 绕点 B 旋转的过程中，当 DE∥BC 时，请直接写出 BH2 的长．
解：问题发现：如图 1 中，结论：AE＝2 BH，AE⊥BH．
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理由：在 Rt△ABC 中，∵BC＝6，∠A＝30°， ∴AE＝2BC＝12， 在 Rt△CDB 中，∵∠DCB＝30°，
∴CD＝
＝4 ，
∵CH＝DH，
∴BH＝ CD＝2 ，
∴ ＝ ＝2 ， ∴AE＝2 BH． 故答案为 AE⊥BH，AE＝2 BH．
问题证明：如图 2 中，（1）中结论成立．
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理由：延长 BH 到 F 使得 HF＝BH，连接 CF．设 AE 交 BF 于 O． ∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD， ∴△CHF≌△DHB（SAS）， ∴BD＝CF，∠F＝∠DBH， ∴CF∥BD， ∵AB＝ BC，BE＝ BD， ∴BE＝ CF， ∴ ＝ ＝， ∵CF∥BD， ∴∠BCF+∠CBD＝180°， ∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴△ABE∽△BCF，
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【答案】 11 或 1 6
【解析】思路如下：
设 BE＝x．
由△ABE∽△ECM，得 AB EA ，即 5 EA ． EC ME 6 x ME
等腰三角形 AEM 分三种情况讨论：
①如图 2，如果 AE＝AM，那么△AEM∽△ABC．
所以 EA 5 5 ．解得 x＝0，此时 E、B 重合，舍去． ME 6 6 x
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∴∠CBF＝∠BAE， ＝ ＝ ， ∴AE＝ BF＝2 BH， ∵∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴BH⊥AE． 拓展应用：如图 3﹣1 中，当 DE 在 BC 的下方时，延长 AB 交 DE 于 F．
∵DE∥BC ∴∠ABC＝∠BFD＝90°， 由题意 BC＝BE＝6，AB＝6 ，BD＝2 ，DE＝4 ， ∵ •BD•BE＝ •DE•BF，
AC AE
4 5 AE
图2
图3
3、如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°得到
△DEC，若点 F 是 DE 的中点，连接 AF，则 AF=
．
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【答案】 5．
【解析】思路如下：
如图，作 FH⊥AC 于 H．
由于 F 是 ED 的中点，所以 HF 是△ECD 的中位线，所以 HF＝3．
．
解：（1）∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝60° ∵△ABD 绕点 A 逆时针旋转到△ACE 的位置， ∴旋转中心是点 A，∠DAE＝∠BAC＝60°； （2）∵AB 和 AC 为对应边， ∴经过上述旋转后，点 M 转到了 AC 的中点位置，如图， ∴∠MAM′＝60°， ∴点 M 转动了 60°； （3）∵△ABD 绕点 A 逆时针旋转到△ACE 的位置， ∴△ABD≌△ACE， ∵BD＝ BC，或 BD＝ BC， ∴CD＝2BD，或 CD＝ BD， ∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或 S△ABC＝ S△ABD＝3× ＝ ， ∴S 四边形 ADCE＝S△ABC＝9 或 ． 故答案为点 A，60；60；9 或 ．
由于 AE＝AC－EC＝6－4＝2，EH＝2，所以 AH＝4．所以 AF＝5．
4．问题发现：如图（1）在 Rt△ABC 和 Rt△BDE 中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE 绕点 B
逆时针旋转，H 为 CD 的中点，当点 C 与点 E 重合时，BH 与 AE 的位置关系为
，BH 与 AE 的数