2015年考研数学辅导班绝密专题精讲讲义

2015年考研数学辅导班绝密专题精讲讲义

考研数学第 2专题讲座---反函数的求导法则

反函数的求导法则

一、反函数的第二基础与性质

x, y存在一一映射的情况下，二者互为反函数。反函数有两种表达方式：

●不改变记号

若 x = gy为 y =fx 的反函数，在某些场合，常把 y =fx 的反函数记为 x =f -y 或

() () () 1 ()

x = gy，没有改变记号的互为反函数 y =fx 和 x =f -y 的曲线重合，且原定义域和值域不变。

() () 1 ()

●改变记号

-

若 x () 为 y =f () 的反函数，在某些场合，常把 y =fx 的反函数记为 y =f 1 ()

= gyx () x 或 y = gx() ，此时已重新把 x视为自变量。一般在纯粹需要求反函数时，需要改变记号。改变记

-

号后，互为反函数的两个函数 y =f () 和 y = gx =fx 的曲线关于直线 y = x对称，且原

x () 1 ()

定义域和值域互换。在反函数记号的使用中，一定要分清是否换变量了记号。

●对偶性 f 与反函数的定义域与值域具有对偶性，即 x 的定义域必为 gx的值

y =()xy = gx() y =f () ()

-1

x ()x gx ) x =

域，而 y =f () 的值域必为 gx的定义域，并且 g( f ( ))= f ( ()=

f ( f ( )) x 。

二、反函数的求导法则

〘例题〙 ()x为单调的二阶可导，其反函数为 x = gy，且 f 1 = 2, f ￠ 1 =1; f ￠

1

1 f ()() () () () =

2 ，求 ()

g￠

2 。 ()f ()() () () ()

2 x为单调的二阶可导，其反函数为 y = gx，且 fa = 3, f ￠ a =1;

f ￠￠ a =2 ，求 ()

g￠

3 。

考研数学第 2专题讲座---反函数的求导法则

22 2 解： ()dx = 1 = g￠( ) T g￠

y = dx 2 =-13 dy 2 =-13 dy 2 T g￠

( ) =-() 3 =-2

1 dydy y () dy dydx dydx

2 f ￠￠￠ 1 。 .. f ( )ù

.. é 1

..

.〜 .〜

dx

è dx .è dx .

()

2这时，由于反函数已经改变符号，则上述反函数求导公式不能使用。如果我们把反函数记号再次交换还原，则上述公式就可以用了。本题，我们把 y = gx改写成 x = gy。

() () () () ()

dx = dy 1 T g￠ y = 1 ( ) T f ￠ xg￠ y =1，两边再次对 x求导，得

dy f ￠x

dx

f ￠

xg￠ y + f ￠ xg￠

y 〛 y￠= 0 T f ￠

xg￠ y +é f ￠ x ù g￠

y = 0

f ￠

a 〛

() () () () x () () . (). 2 ()

f ()xg￠( )y ￠

ag￠( )3 fa

T g￠

y =-.￠￠ (). T g￠

3 =-f .() (). =-.() ().￠ 1 ( ) =-21 ′ 11 =-2 。

() ()

2 222

é f ￠ x ùé f ￠ a ùé f ￠ a ù

2010数学3专题----导数的经济学应用

一、经济分析中常用的 5大经济学函数

（Total Cost Function）

在经营活动中的总成本（用字母 C表示）与产品的产量（用字母 x 表示）密切相关，经过抽象简化，可以看成仅是产量的函数，在不考虑产品积压，假设供求平衡的条件下， x为产品的产量. x为产品的销售量。

Cx . C0 .C1 x

.. ..

其中：C 表示固定成本，如设备维修费、企业管理费等等，Cx表示可变成本，如购买原材料、

1 ..

动力费等等。

平均成本： ..Cx . . . Cx . 0C . 1 . . C x

x x x

（用字母 R表示）（Total Receipt Function）

R . Rx 当产品的单价（price）为 p， x为销售量时 Rxp ..x

..

..

Rx

px . ...Rx 即平均收益函数

.. ..,

x

（用字母 L表示）（Total Gain Function）

L . Lx . Rx . Cx . tx

t为国家征税率， xLx.. ..称为：收支平衡

.. .. ..

为产量。 0 （用字母Qd 表示）（Demand Function）

Qd . d ..

Qp d abp .a . 0, b . 0.

在线形情况下：Q .. d 0 pmax .a , 称为最大销售价格。Q ..

b

5）供给函数QS（用字母Qs 表示）（Supply Function）

Qs . Qs p

s cdp .c . 0, d . 0.

..

在线性情况下：Q .. .

ac

.

Qs . Qd . a . bp . -c . dp . p0 . bd , 称为均衡价格。

.

6）复利公式

设银行存款的年利率为r ，开始存钱为T0，则t年后，

年复利公式： Tt... T0 .1.r.t

月复利公式： Tt... T .. . . 1201r.t

. 12 .

连续复利公式（即：按天、时或更少的时间）：Tt... lim T .1. r .nt . T e rt

n.. 0 . n .. 0

.

rt

如果当初的T 没有存入银行，则当初的T 相当于现在的值：Tt. . .Te.