2015年考研数学辅导班绝密专题精讲讲义

2015年考研数学辅导班绝密专题精讲讲义
考研数学第 2专题讲座---反函数的求导法则
反函数的求导法则
一、反函数的第二基础与性质
x, y存在一一映射的情况下，二者互为反函数。

反函数有两种表达方式：
●不改变记号
若 x = gy为 y =fx 的反函数，在某些场合，常把 y =fx 的反函数记为 x =f -y 或
() () () 1 ()
x = gy，没有改变记号的互为反函数 y =fx 和 x =f -y 的曲线重合，且原定义域和值域不变。

() () 1 ()
●改变记号
-
若 x () 为 y =f () 的反函数，在某些场合，常把 y =fx 的反函数记为 y =f 1 ()
= gyx () x 或 y = gx() ，此时已重新把 x视为自变量。

一般在纯粹需要求反函数时，需要改变记号。

改变记
-
号后，互为反函数的两个函数 y =f () 和 y = gx =fx 的曲线关于直线 y = x对称，且原
x () 1 ()
定义域和值域互换。

在反函数记号的使用中，一定要分清是否换变量了记号。

●对偶性 f 与反函数的定义域与值域具有对偶性，即 x 的定义域必为 gx的值
y =()xy = gx() y =f () ()
-1
x ()x gx ) x =
域，而 y =f () 的值域必为 gx的定义域，并且 g( f ( ))= f ( ()=
f ( f ( )) x 。

二、反函数的求导法则
〘例题〙 ()x为单调的二阶可导，其反函数为 x = gy，且 f 1 = 2, f ￠ 1 =1; f ￠
1
1 f ()() () () () =
2 ，求 ()
g￠
2 。

()f ()() () () ()
2 x为单调的二阶可导，其反函数为 y = gx，且 fa = 3, f ￠ a =1;
f ￠￠ a =2 ，求 ()
g￠
3 。

考研数学第 2专题讲座---反函数的求导法则
22 2 解： ()dx = 1 = g￠( ) T g￠
y = dx 2 =-13 dy 2 =-13 dy 2 T g￠
( ) =-() 3 =-2
1 dydy y () dy dydx dydx
2 f ￠￠￠ 1 。

.. f ( )ù
.. é 1
..
.〜 .〜
dx
è dx .è dx .
()
2这时，由于反函数已经改变符号，则上述反函数求导公式不能使用。

如果我们把反函数记号再次交换还原，则上述公式就可以用了。

本题，我们把 y = gx改写成 x = gy。

() () () () ()
dx = dy 1 T g￠ y = 1 ( ) T f ￠ xg￠ y =1，两边再次对 x求导，得
dy f ￠x
dx
f ￠
xg￠ y + f ￠ xg￠
y 〛 y￠= 0 T f ￠
xg￠ y +é f ￠ x ù g￠
y = 0
f ￠
a 〛
() () () () x () () . (). 2 ()
f ()xg￠( )y ￠
ag￠( )3 fa
T g￠
y =-.￠￠ (). T g￠
3 =-f .() (). =-.() ().￠ 1 ( ) =-21 ′ 11 =-2 。

() ()
2 222
é f ￠ x ùé f ￠ a ùé f ￠ a ù
2010数学3专题----导数的经济学应用
一、经济分析中常用的 5大经济学函数
（Total Cost Function）
在经营活动中的总成本（用字母 C表示）与产品的产量（用字母 x 表示）密切相关，经过抽象简化，可以看成仅是产量的函数，在不考虑产品积压，假设供求平衡的条件下， x为产品的产量. x为产品的销售量。

Cx . C0 .C1 x
.. ..
其中：C 表示固定成本，如设备维修费、企业管理费等等，Cx表示可变成本，如购买原材料、
1 ..
动力费等等。

平均成本： ..Cx . . . Cx . 0C . 1 . . C x
x x x
（用字母 R表示）（Total Receipt Function）
R . Rx 当产品的单价（price）为 p， x为销售量时 Rxp ..x
..
..
Rx
px . ...Rx 即平均收益函数
.. ..,
x
（用字母 L表示）（Total Gain Function）
L . Lx . Rx . Cx . tx
t为国家征税率， xLx.. ..称为：收支平衡
.. .. ..
为产量。

0 （用字母Qd 表示）（Demand Function）
Qd . d ..
Qp d abp .a . 0, b . 0.
在线形情况下：Q .. d 0 pmax .a , 称为最大销售价格。

Q ..
b
5）供给函数QS（用字母Qs 表示）（Supply Function）
Qs . Qs p
s cdp .c . 0, d . 0.
..
在线性情况下：Q .. .
ac
.
Qs . Qd . a . bp . -c . dp . p0 . bd , 称为均衡价格。

.
6）复利公式
设银行存款的年利率为r ，开始存钱为T0，则t年后，
年复利公式： Tt... T0 .1.r.t
月复利公式： Tt... T .. . . 1201r.t
. 12 .
连续复利公式（即：按天、时或更少的时间）：Tt... lim T .1. r .nt . T e rt
n.. 0 . n .. 0
.
rt
如果当初的T 没有存入银行，则当初的T 相当于现在的值：Tt. . .Te.
000
二、边际与边际分析
在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率．平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数 y .
f (x)在(x0, x0 ..x) 内的平均变化率为 .. yx ，如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等．瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限：
f (x0 ..x) . f (x0)
lim . f .(x0)
.x.0
.x 在经济学中，一个经济函数 f (x)的导数 f .(x) 称为该函数的边际函数．f (x) 在点x . x0 处的导数
f .(x0) 称为 f (x) 在点 x .x0 处的变化率，也称为 f (x)在点x .x0 处的边际函数值．它表示 f(x) 在点
x .x0 处的变化速度．
现设y . f (x) 是一个可导的经济函数，于是当很小时
.x
f (x ..x) . f (x) . f .(x).x ..(.x) . f .(x).x ．由于产品的最小单位是1，故，当 .x .1或.x..1时，分别给出 f (x .1) . f (x) .
f .(x) 或 f (x) .f (x .1) . f .(x) ．
因此边际函数值f .(x0) 的经济意义是：经济函数f (x) 在点 x .x0
处，当自变量 x再增加 1个单位时，因
变量y的改变量的近似值，或近似于经济函数值f (x0) 与 f(x0 .1) 之差．但在应用问题中解释边际函数
值的具体意义时，常略去“近似”两字，因为产品的最小单位为1，不存在小数．〘例1〙设函数y . x2 ，试求 y在 x . 5时的边际函数值．解因为y.. 2x ，所以 y.
x.5 . 10. 该值表明：当 x . 5时，x改变一个单位(增加或减少一个单位)，
y约改变 10个单位(增加或减少 10个单位)．下面介绍经济学中常用的三个边际概念．
2.1边际成本 Cx
...
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或
费用总额．它由固定成本和可变成本两部分组成．平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本．边际成本是总成本的变化率．在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数．
设总成本函数C . C(Q) ，Q为产量，则平均成本函数为
C .C(Q) . CQ (Q) ，
生产Q 个单位产品时的边际成本函数为
C.. C.(Q) ．
C.(Q0) 称为当产量为Q0时的边际成本．西方经济学家对它的解释是：当生产Q0个单位产品前最后
增加的那个单位产品所花费的成本或生产Q0个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本．这两种理
解均算正确，我们一般使用后一种说法．
〘例2〙已知生产某产品 Q件的成本为C . 9000 . 40Q . 0.001Q2 (元)，试求：
(1)
边际成本函数；
(2)产量为
1000件时的边际成本，并解释其经济意义；
(3)
产量为多少件时，平均成本最小？
解 (1)边际成本函数：
C.. 40 . 0.002Q ．
(2)产量为 1000件时的边际成本：
C.(1000) . 40 . 0.002 .1000 . 60.
它表示当产量为 1000件时，再生产 1件产品需要的成本为 60元；
(3)平均成本：
C .C . 9000 . 40 . 0.001Q ，
QQ
C... 9000 . 0.001，
Q2
令C ..0，得 Q = 3000(件)．由于 C .. .0，故当产量为 3000件时平均成本最小．〘例3〙某工厂生产 Q个单位产品的总成本C 为产量Q 的函数
C .C(Q) . 1100 . 1 Q2 ，
1200
求：(1)生产 900个单位时的总成本和平均成本；
(2)生产
900个单位到 1000个单位时的总成本的平均变化率；
(3)生产
900个单位时的边际成本；
解 (1)生产900个单位时的总成本为
12
C. C(900) . 1100 . 1200 900 . 1775．
平均成本为
C(900) . 1775 . 1.97 ．
900 900
(2)生产 900个单位到 1000个单位时的总成本的平均变化率为.C. C(1000) . C(900) . 1933 .1775 .1.58 ．
.Q 1000 . 900 100
(3)生产 900个单位时的边际成本为
.
1
. 12 .
C.(900) ..1100 . Q .
. Q
. 1.5 ．
. 1200 .
600
Q.900
Q.900
. x
2.2 边际收益 R .. 和边际利润 . x
L ..
总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入．平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单位产品所得到的收入，即单位商品的售价 p．边际收益为总收益的变化率．总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数．
设P 为价格，Q （有时也用 x表示，但要注意Q 与QQ 完全不同！）为销售量，则总收益函数为：
d , sR . R(Q). Q . P ．若需求函数为P . P(Q)，则总收益函数为 R .R(Q) . Q . P(Q) ，
故平均收益函数为
R .R(Q) . RQ (Q) . QPQ (Q) . P(Q) ，即价格P(Q) 可视作从需求量(这里需求量即为销售量)Q上获得的平均收益．边际收益为R..R.(Q) . (Q . P(Q)).. Q . P.(Q) . P(Q) ．
R.(Q0) 的经济意义为： R.(Q0) 表示销售量为Q0个单位时，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品时收益的改变量．由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为L，则总利润函数为L .L(Q) . R(Q) . C(Q) (其中Q为商品量) 那么边际利润函数为
L..L.(Q) . R.(Q) . C.(Q)
它的经济意义是：L.(Q0) 表示销售量为Q0 单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量．〘例4〙设某产品的需求函数为：
P .20 . Q 5 ，
其中P 为价格，Q 为销售量，当销售量为 15个单位时，求总收益、平均收益与边际收益；
解因为需求函数为 P .20 . Q ，则总收益函数为：
5
Q2 R .R(Q) . Q . P(Q) . 20Q . 5 ，
故销售量为 15个单位时，有
总收益 R(15) . 20.15 . 152 . 255 ，
5 QP(Q)平均收益 R(15) . RQ (Q)
.
. P(Q)
Q.15 . 17 ，
Q
Q.15
Q.15
边际收益 R.. R.(Q)
Q.15 . 20 . 2 .15 .14 ．
5
〘例5〙某工厂生产一批产品的固定成本为2000元，每增产一吨产品成本增加 50元，设该产品的市场需求规律为 Q = 1100 – 10P(P 为价格)，产销平衡，试求：
(1)产量为
100吨时的边际利润；
(2)
产量为多少吨时利润最大？
解由于P .110 . Q , 故总收入为
10
R .PQ . 110Q . Q2 ，
10
总成本为
C .2000 . 50Q ，
故总利润为
L. R . C . 60Q . Q2 . 2000 ．
10
(1)边际利润为
L..60 . Q ．
5
当产量为 100吨时，边际利润为
L.(100) . 60 . 100 . 40 (元)．
5
(2)令L.. 0 得 Q = 300(吨)．由于L.. . 0，故当产量为 300吨时，利润最大．
Qps. ，一共 5个边际函数。

同样，还有边际需求 d...和边际供给Qp..
三、弹性与弹性分析
前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率．在实际问题中，有时仅知道函数
y . f (x) 的改变量.y 及绝对改变率 f .(x) 是不够的．例如，设有 A和 B两种商品，其单价分别为 10元
和 100元．同时提价 1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的 10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数．
定义设函数 y . f (x)在点 x处可导，且 y . fx .0 .yy() ．函数
的相对改变量与自变量的相对改
变量 .x 之比当.x . 0时的极限
x
lim .. yx x
y . xy y.. f ( xx) f .(x) ．
.x.0
称为函数y . f (x) 在点x处的弹性，记作. yx
x.x0 ，即
x
.yx . f (x) f .(x) ．
由定义知，当 . xx. 1% 时， .yy .. yx % ．可见，函数 y .f (x) 的弹性具有下述意义：函数 y .f (x)
在点x0 处的弹性.yx 表示在点x0 处当 x改变 1%时，函数 y .f (x) 在 f (x0)的水平上近似改变
x.x0
x.x0% ．在应用问题中解释弹性的具体意义时，常略去“近似”二字．.yx
由定义还可见，函数的弹性与量纲无关，即与各有关变量的计量单位
无关．这使得弹性概念在经济中具有广泛应用．例如，显然各种商品的计量单位不尽相同，但比较不同商品的需求弹性并不受到计量单位的限制．
函数在点 x的弹性.yx 反映了 f (x)对 x的变化反映的强烈程度或灵敏度．
.yx 的表达式可改写为
dy
. yx . dx .边际函数，
y 平均函数x
故在经济学中，弹性又可解释为边际函数与平均函数之比．
3.1需求弹性 . d
Qp
在经济学中常用到需求弹性 .Qp（指需求弹性对价格），它也是经济类考生必考的重点内容．“需
d
求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量．设P 表示商品价格，Qd表示需求量函数，那么需求函数：Qd. fP() ．定义需求弹性.Qp （注意它与基本的弹性定义差一个符号，这仅仅是需求弹性的特点）
d
p dQd
.Qp .. .
Qd dp
一般说来，商品价格低，需求大；商品价格高，需求小．因此，一般需求函数Q . f (P) 是单调减少函数， dQd.0 ，而.Qp .. p . dQd .0 ，这就是为什么加上一个负号的原因，这也是符合教育部对
d
dp Qddp
经济类考生的命题规范的，所以，读者切忌乱改上诉定义及其有关符号。

需求弹性是刻划商品价格变动时需求变动的强弱．
在解题时，我们要常常用到下列形式：
1) pdQd ...Q p Q dp d
d
.Qd .p
2) ...Qp
d
Qd p
3)...1.. .Q dp
R
Qp d
R . Qp R . . .Qp .. d Qp .. Qdp . pdQ . Qdp .. Qdp . 1.. .Qdp .. . .
d d d ddQp dd d
d Qp d
3.2 弹性分析（指需求弹性 .d的分析）
Qp
1）.Qp .1，称为高弹性，降价或提价使总收益没有明显影响；
d
2）.Qp .1，称为单位弹性，降价可使总收益增加，提价可使总收益减少；
d
2）.Qp .1，称为低弹性，降价可使总收益减少，提价可使总收益增加。

dP
.
〘例6〙设某商品需求函数为 Q .e 5 ，求：
(1)
需求弹性函数；
(2)P
. 3 ，P . 5 ，P . 6时的需求弹性, 并说明其经济意义.
.
解(1)由已知有 Q...1 eP 5 ，则
5 1 . PP P
.. e 5 .. .
QP P
5 . 55
e
3
(2) .QP (3) .. 0.6.
5 5
.QP (5) ..1.
5 6
.QP (6) ..1.2.
5 .QP (5) .1，说明当P . 5 时，价格上升1%，需求量则下降1%．可见此时价格与需求变动的幅度相同； .QP (3) .0.
6 ，说明当P . 3 时，价格上涨1%，需求只减少 0.6%，此时需求变动的幅度小于价格
变动的幅度； .QP (6) .1.2 ，说明当P . 6 时，价格上涨1%，需求减少1.2%．此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度．
弹性的四则运算：
(1)加法性质：设f1(x) 与f2(x) 于 x处的弹性为.f1x 与.f2 x ，则 f1(x) .f2(x) 在 x处的弹性为
() . f ().
1 fx
2 fx
.yx . fx . 1 x 2 ． 1() .f2()
fx x
证明 y . f1 x .f2( )
() x
.. 按弹性定义有 . yx . y.. xy . x[ ff 11(( xx )) .. ff 2(x()x2)] x . x .
f (x) f (x) . f (x) f (x)
112 2
f1(x) f2(x)
.
f1(x) . f2(x)
. f1(xf )1 .( fx 1x ) .. ff 22(( xx )) . f2 x ．
推论设 fi (x)在 x处的弹性为.fix (i . 1,2,., n) ，则y ..nfi (x) 在 x处的弹性为
i.1
.yx ..nfi (x). fix
.nfi (x) ．
i.1
i.1
(2)设 f1(x) 与 f2(x)于 x处的弹性为.f1x 与.f2 x ，则 y .f1(x) f2(x) 在 x处的弹性为
. yx .. f1x .. f2 x ．
证明按弹性定义有
x .. x
. yx . y.. . [ f1(x) f2(x) . f1(x) f2(x)]yf1(x) f2(x)
. x . x
. f1(x) . f2(x)f1(x) f2(x)
.. fx .. fx ．
12
即函数的乘积的弹性等于各自弹性的和．
(2)乘法性质：设f1(x) 与f2(x) 于x处的弹性为.f1x 与.f2 x ，则 y . ff 21(( xx )) 在 x处的弹性为
.yx .. fx .. fx ．
12
即函数的商的弹性等于分子的弹性减去分母的弹性．该公式请读者自证．
〘例7〙某商品需求函数为 Q .10 . P 2 ，求：
(1)
需求价格弹性函数；
(2)当
P . 3时的需求价格弹性；
(3)在P
. 3 时，若价格上涨1%，其总收益是增加，还是减少？它将变化百分之几？
解 (1)按弹性定义有
..
. .. PQ... . 1 . PP .. P ．
QP ..
Q . 2 . P . 20
10 .
2
(2)当 P . 3时的需求价格弹性为
.
P.3 . 3 . 0.18．
QP
17
(3)由于总收益
R .PQ .10P . P22 ，
于是总收益的价格弹性函数
.RP . dR . P . (10 . P) . P 2 . 2(10 . P) ，dPR P 20 . P
10P .
2
从而在P . 3时，总收益的价格弹性 2(10 . P) . 0.82 ．
.
.
RP P.3
20 . P
P.3
故在P . 3 时，若价格上涨1% ，需求仅减少0.18
00 , 总收益将增加, 总收益约增加 0.82%
〘边际与弹性分析专题精华 13个模拟题与解析2010〙
1. 某种产品每台售价 100元，成本 60元。

商家为扩大销售量，决定凡购买量超过 100台以上部分，按每台降价 1%出售（例如：若销售量为 101台，销售量比 100台多出一台，于是多售出的一台售价为 99元；若销售量为 102台，多售出二台，多售出的二台，每台售价为 98元，以此类推）。

但每台最低售价为 75元。

商家最大供应量为 150台，并且都能售完。

问销售量为多少时，商家所获利润最大？解：设销售量为 x，每台售价为 P(x)。

总成本为 C(x)=60x（x取正整数）由于价格不低于 75元，即 () .100 . (x .100)..75
Px 1
当 P(x)=75元时，x=125（台）
总收益函数
x 100
.100x 0 ..
.
.
() ..[100. (x .100).1]( x .100) .10000 100 Rx . x .125
.
75( x .100) .10000 125. x .150
.
.
.100x 0 ..
x 100
.
. 2
..100x . (x .100) 100 . x .125
.
75x . 2500 125. x .150
.
.
利润函数
.40x 0 ..
x 100
.
. 2
() . () . Cx ..40x . (x .100) 100 . x . 125 Lx Rx ()
.
15x . 2500 125 . x .150
.
.
.
40 0 x..100
.
' .
() . 40 . 2x . 200 100 . x .125
Lx .
.
.15 125 x
..150
.
Lx 得驻点 x=120（台）
令'()=0
''
x.120
于是 x=120时，L(x)取得极大值
L（120）=4400（元）
又 L（150）=15.150+2500=4750（元）
当销售量为 150台时所获利润最大。

f () ，d 2562 p . 2 p2 d 当 p =10
2.设某种商品的社会需求量Q .p （ p为商品的价格）其弹性 E .
(E .0) ，
时，Q=156。

一个工厂生产这种商品，其日总成本函数 C（Q）=4Q+2000，求该厂日产量 Q为多少时，总利润最大。

解：由Ed ..Q' p . 2 p22 . dQ .. 2 p 2 dp
Q 256 . pQ 256 . p
于是 QCe ..256 2 . pp2 dp . C(256 .p2)
.
又由 p .10时 Q .156 . C .1
故 Q . 256 .p2
利润Lp() . RQ . () . (256 . p2) p . 4(256 . p2)
.. p3 . 4 p2 . 256 p . 4. 256 . 2000
'( ) ..3p2 . 8 p . 256.
Lp
令'()0 3p2 .8 p . 256 . 0 得323
Lp .. p ..10.7 （负数舍去）
L''(10.7) ( 6 p . 8) | .10.7
.. p . 0
故 p=10.7时，利润最大，此时Q . 256 . p2 .142.2(单位)
3. 设某企业生产一种产品，其成本 () 32 Q3 .16 2 Q .1000, 平均收益
CQ . Q .100 RQ .. 1 ，当边际收益 MR=44，需求价格弹性 Ep .41 时，取得最大利
() a bQ (a . 0, 24 . b .0)
2 19
润。

求取得最大利润时，产品的产量及常数 a与 b的值。

解：收益函数R()Q . () . aQ 12 2
QR Q .bQ
当取得最大利润时，边际收益等于边际成本。

MRMCMR ' . a
即 . , . R .bQ
于是： 44 . CQ . 2 . Q .100
'( ) Q2 32
Q2 .16Q . 28 . 0
得 Q1 . 2, Q2 .14.
22
又dR ..b . 0, dC . 4Q . 32 dQ2 dQ2
2 2
dR dC
2|Q.14 ..b . 0 2|Q.14 . 56 . 32 . 24 . 0
dQ dQ
2 2
dR dC
2|Q.2 ..b . 0 2|Q.2 . 8 . 32 ..24 . 0
dQ dQ
22
当 Q=14时， dR . dC ，企业利润取得极大值dQ2 dQ2
由于MR . '() . P(1 . 1)
RQ Ep
1
44 . P(1 . 41), 解得P .82.
19
又由于RQ () . P 于是当Q .14时
. 1
82 ab.14
...
. 2
.
44 ab .14
...
38
解方程组得 b . 7, a .120.
当 Q=2时得 b=38不满足 0<b<24条件，因而舍去利润函数 () . RQ . ()
LQ () CQ
19 223 2
. 120Q . Q . Q .16 Q .100Q .1000
73 93 2
. 20Q . Q2 . Q3 .1000.
73 ' 186 2
() . 20 . Q
LQ . 2Q
7
' 5
令 LQ() . 0, 得驻点Q .14, Q ..7(舍去)
又lim LQ ..1000
() . L(0)
Q.0.
lim () ...
LQ
Q.0.
故产量 Q=14时企业取得最大利润。

3.自动生产线上加工的零件的内径 X（mm）服从正态分布 N(,1).，内径小于 10或大于 12mm的为不
合格品，其余为合格品。

每件产品的成本为 10元，内径小于 10mm 的可再加工成合格品，尚需加工费 5元。

全部合格品在市场上销售，每件合格品售价 20元。

问零件的平均内径 .取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？解：每件产品的销售利润 L与自动生产线
加工的零件的内径 X（mm）有如下关系： .5, 若X .10, LLX . 10 . () ..10, 若. X .12, ..10, 若X .12.
.
平均利润为
EL . 10 {10 . X .12} 5{ PX .10} 10{ .
10[ .(12 ..) .. (10 ..)] 5(10 ..) .10[1 .. (12 ..)]
P .. PX 12}
. ..
20.(12 ..) 5 (10 ..)
. .. .10,
其中 () 是标准正态分布函数，.' x .()
. x() . x ─标准正态密度。

因此，有
()
dEL x
.. 20 (12 ..) .. ..)
. 5 (10 . 0,
d.
(12 .. )2 (10 .. )2
20 ..
25 2
.
e .
e . 0,2. 2.
.(12 .. )2 .(10 .. )2
4e 2 . e 2;
(12 ..)2 . (10 ..)2 . 2ln 4;11 .. .ln 2.
即当...0 .11. ln 2 .10.31mm 时，平均利润最大。

4. 某企业生产一种产品，其利润通过职工的工资福利及培训费用来实现利润的大小，费用分别为 x（万3125x 500y 1
元）及 y（万元）。

产品的产量 Q . 4 . x . 9 .y ，其利润是产量 Q 的 5再扣除工资福利费及培训
费。

（1）求在企业资金充足时，x，y分别为多少时，利润最大；
（2）在工资福利费与培训费总和不超过 55万元时，应如何分配这两种费用，使企业利润最大。

解：（1）利润函数
1 3125 x 500y
(, ) . ( . ) . x
Lxy . y
54 . x 9 . y 625x 100y ... xy
.
4 . x 9 . y
..L 625. 4
. 2 .10...
.x (4 . x)
.
.L 100.9
. . 2 .10...y (9 . x) .
.. . 46(万元)
得 4 x 25 . 2 . x
9 y 10 .3y
.. . 21（万元)
.2 L .3
2 ..625. 4. 2(4 . x)
.x
.2 L
. 0
xy
..
.2 L .3
2 ..100.9. 2(9 . y)
.y
在点（ 46，21）处
222
. L . L . L
A . | . 0
B . | . 0
C . | . 0
2 x.46 x.46 2 x.46
.x .. . 21
y.21 xy y.21 yy.
B2 . AC . 0,又A .0
于是当 x=46（万元），y=21（万元）时，利润 L（x，y）取得极大值。

又 lim Lxy (, ) ...
x...
y...
lim (, 0) ...
Lxy
x...
lim (0, y) ...
Lx
y...
故当 x=46（万元），y=21（万元）时，利润最大。

（2）作拉格朗日函数 1 3125 x 500y 625x 100y
(, ) . ( . ) . x . y ..(x . y . 55) ... x . y ..(
Fxy x . y . 55)
54 . x 9 . y 4 . x 9 . y
. ' 625. 4
(, ) . 1 .. 0 (1)
Fxy ..
. x 2
(4 . x)
.
. ' 100.9
(, ) . 1 .. 0 (2)
.Fxy ..
y (9 . y)2
.
.
.. 55 (3)
xy
.
.
由（1）式. 1 (4625 .. x)42 .. 代入（2）式得
100.9 625. 4
2 . 2 . 0
(9 . y) (4 . x)
30 . 50 得3(4 . x) . 5(9 . y)
9 . y 4 . x
.3x . 5y . 33
. .. 得x . 38.5( 万元), y .16.5（万元)
.xy 55点（38.5，16.5）是唯一驻点，由实际问题得知，当工资福利费用为 38.5万元，培训费为 16.5万元时，使企业利润最大。

5.已知某垄断厂商生产某产品的成本为 0，其产品的需求价格弹性 . PQ 12()..，其中 Q是该产品的产
量，P为其价格，已知当 Q=0时 P=10。

（I）试求价格函数：将 P表示成 Q的函数；
（II）求厂商利润最大化时的产量和利润。

解：（I）设 Q=Q（P），由价格弹性的定义可知 PdQ 1
. ..，且由初始条件 P（0）=10，用分离变量法求解方程并代入已知条件可得
QdP Q2
Q2
.
P . 10e 2
(II)厂商利润可以表示为
Q2
.
(, ) PQ . C .10 e 2 .Q .0
. PQ ..
Q2 Q2
..
一阶条件得到 . '( ) Q .10e 2 .10Q Qe 2 .0
.
得 Q=1（Q=-1不合题义，舍去）
1
此时其利润为 ..10e . 2 评注厂商取得最大利润时价格弹性为-1，这可以用来验证题目所得结果是否正确，其实此题可以令. ..1，直接解得 Q=1。

6. 某商品交易市场上的税收收入与交易的成交额之间的关系经统计资料分析为：税收的收入随成交额增加的增长率等于税收收入的立方与成交额立方的2倍的差、再除以成交额与税收收入平方之积的3倍。

若成交额为 x=1（万元）时，税收收入 y=2（百元），试求该商品市场的税收收入与成交额之间的函数关系。

解：依题设，税收收入 y （百元）与成交额 x（万元）的函数关系满足的微分方程：
dy . y3 . 2x3 且y(1) .2
dx 3xy 2
y
()3 . 2
此方程即为 dy .x
dx y 2
3( )
x
y dy '' u3 . 2
设u .x ，则 dx .. .原方程变为 uxu . 3u2 uxu .
2
3udu dx 3 .2
. 3 ..2 ln(1 . u ) . ln x . ln C
1. ux
3 Cy 3 C
即 1. u . 21. () . 2
x xx
. x3 . y3 . Cx 将y(1) . 2代入得 C .9
所求函数关系为 y3 . 9xx3
.
7. 设某商品的价格与需求量之间具有线性关系。

当价格从 2元上升到 4元时，产品的需求量从 1000件下降到 800件。

（I）求需求函数；
（II）求当价格为 10元时的需求弹性并说明其经济意义。

解：（I）设需求量为 Q、价格为 P，则需求函数为 Q=a+bP
. P=2时，Q=1000， P=4时，Q=800
.a . 2b .1000
代入得. a . 4b . 800 解得 a=1200、b=-100
.
. Q=1200-100P.
dQP P
(II)需求弹性为 .d .. dP . Q . 12 .p
当P=10时， .d . 1210 .10 . 5.
这说明当价格为 10元时，价格增加1%，则需求量减少5%；价
格减少1%，则需求量增加5%。

8.某地区研究消费需求量时，发现在稳定条件下，需求量y只与消费者个人收入 x有关。

经测算，消费需求增长率对消费者个人收入增长率之比的平均弹性为0.5，且当消费者收入x=1时，消费需求量y=e。

（I）求需求量y与个人收入 x之间的函数关系；
（II）求消费者个人收入为3时的消费需求量。

解：（I）设消费者的需求量为y，消费者的收入为x。

则消费需求量增长率对消费者个人收入增长率之比即为 y对 x的弹性。

dy x
Ex() ..
dx y
其平均弹性为 () . Ex() . 1 .dy
Ex x ydx
于是得 dy .()
Exdx
y
将题设条件代入得 dy . 0.5dx y(1) .e
解此方程得 y . Ce0.5x ，代入初始条件得 C .
e
. 所求函数关系为 y .
ee 0.5x
.
（II）当 x=3时的消费需求量为 y .
ee 0.5 3 . e2 . 7.4
(, ) . 60 3/4 y1/ 4 。

假定每单位劳动力费用 100元，9.设某种产品的产量是劳动力 x和原料 y的函数fxy x
每单位原料费用 200元，现有资金 30000元用于生产。

为得到最多的产品，应如何安排劳动力和原料？
解：本问题为求函数 f (, ) xy . 60 x3/4 y1/ 4 在条件100x+200y=30000下的极值。

设
3/4 1/4
( , ) . 60 .. 100x . 200
Fxy xy ( y .30000)
' .1/4 1/4
.Fx . 45xy .100.. 0
.
则 .Fy ' . 15x3/4 y.3/4 . 200..0
100x . 200y . 30000
.
解得 x=225 y=37.5 由于 x=225、y=37.5为函数的唯一驻点，且实际问题有最大值，故它是最大值点。

即安排劳动力 225个单位、原料为 37.5个单位时，能得到最多的产量。

10.某商场的销售成本 y和存贮费用 s均是时间 t的函数。

随着 t 的增长，销售成本的变化率等于存贮费
用的倒数与常数 5之和。

而存贮费用的变化率为存贮费用的 1 倍的相反数。

若当 t=0时，销售成本 y=0，
3存贮费用 s=10，试求销售成本与时间的函数关系及存贮费用与时间的函数关系。

解：由题设，有
dy 1
.. 5 ①
dt s
ds 1
.. s ②
dt 3
.
解微分方程②得： SCe3
.1
t
.
由初始条件 S |t.0 . 10 得 C1 .10 .S .10e 3
dy
将上式代入①中得： dt . 101 e3 t .5
t
解得 y . 103 e 3 . 5t .C2
由初始条件 y |t.0 . 0 得 C2 ..103 . y . 103 e3 t . 5t . 103 11.某种商品的需求函数是P . 20 . 4x，企业的平均成本Cx () .2 ，（I）若向企业每单位商品征收税款 t，试求其最大利润和税收最大时的 t值；
（II）求当征收 25%的销售税时，企业的最大利润。

解：（I）由题设条件得收入函数 Rx . 20 x . 2
() Px . 4x
成本函数为() . xC()x
Cx .2x
征税后的利润函数为：
() . () . Cx . tx . (18 . tx . 42
Lx Rx () ) x
'() . (18 . t) . 8
Lx x
x .. ''()
令L'() 0 得 x 188 . t Lx ..8 . 0 x .18 . t 是函数 L（x）唯一驻点，同时在驻点处 L（x）取极大值，故它也是函数的最大值点。

此
8
时相应的税收函数为
. t '
Ttx .. 18tt2 T ' .18 . 2 ，令 T .0 解得 t=9
88
'' 1
T .. . 0 ..
. 4 t9 是函数 T（t）的唯一驻点且在驻点处 T（t）取极大值，故它也是 T（t）的最大值点。

.当 t=9时，利润和税收同时达最大。

(II)当征收 25%的销售税后，利润函数为
1( ) ..(1 0.25) () Rx . Cx .13 2
Lx () x . 3x
' x . 0 得x . 13
Lx() .13 . 6x 令L'()
16
. 1''() ..6
Lx . 0
. x .13 是唯一极值点且函数在驻点处取极大值，故此极大值也是函数的最大值。

6
13 13 169
所以当x .时，利润最大。

最大利润为 L1().
6 612
12. 某工厂要在一年内以相同的批量分批生产 2400件产品，产品
的单位成本为 6元。

但每生产一批产品需要调整机器费用 160元，在生产过程中，在制品占用资金的银行年利率为 10%。

若全年所需费用等于全年所需机器调整费用与在制品占用资金利息的总和，问批量为多大时，才能使全年所需费用最少？
解：设批量为 x件，则全年所需的机器调整费为 160.2400 ，在制品占用资金利息为6.10% . x .0.6x ，
x
总费用 y . 160. 2400 . 0.6x (0 . x)
x
160. 2400 2.160. 2400
y ' .. 2 . 0.6, y '' . 3
xx
令y ' . 0 得x . 800
'' 2.160. 2400
y (800) . 3 . 0
(800)
.当 x=800时，函数取极小值。

由于函数只有一个驻点，此极小值即为函数的最小值。

故当批量为 800时，总费用最省。

13. 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告。

根据统计资料，销售收入 R（万元）与电
台广告费用 x（万元）及报纸广告费用 y（万元）之间的关系有如下。