椭圆各类题型分类汇总

椭圆经典例题分类汇总

1•椭圆第一定义的应用

例1椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.

y 1

1的离心率e ，求k 的值.

9 2

例5已知动圆P 过定点A 3,0，且在定圆B:x 3 2 y 2 圆圆心P 的轨迹方程.

例2已知椭圆

X 2

已知方程—

k 5

1表示椭圆，求k 的取值范围

例4 已知 x 2sin

y 2 cos 1 (0

）表示焦点在y 轴上的椭圆，求 的取值范围.

64的内部与其相内切，求动

2•焦半径及焦三角的应用

2 2

例1已知椭圆—y 1 , F i、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准

4 3

请说明理由. /1J

A

J

丿

2

y

2

1 a b 0，长轴端点为A，A2，焦点为F i，F2，P是椭

b

3•第二定义应用

2 2

例1椭圆—L 1的右焦点为F ,过点A1,J3，点M在椭圆上，当AM 2MF为

16 12

最小值时，求点M的坐标.

例2已知椭圆方程

2

x

~2

a

圆上一点，A,PA2F1PF2 •求：F1PF2的面积（用a、b、表示）.

2 2

例2已知椭圆 二 y 2 1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b 1)，求P 到左准线的距 4b 2 b 2 离.

2

x

例3已知椭圆—— 2

y 1 内有一点 A(1 ,1) , F 1、 F 2分别是椭圆的左、右焦点，点 9

5

椭圆上一点.

(1)求 PA

PF 1 的最大值、最小值及对应的点

P 坐标；

4•参数方程应用

2

例1求椭圆—y 2

1上的点到直线x y 6

0的距离的最小值.

3

⑵求PA

-PF 2的最小值及对应的点 2

P 的坐标.

2 2

5

⑴写出椭圆 — 乞 1的参数方程；(2 )求椭圆内接矩形的最大面积.

9

4

OP AP (O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围.

5•相交情况下--弦长公式的应用

例1已知椭圆4x 2 y 2 1及直线y x m . (1 )当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？

2、；'10

(2)若直线被椭圆截得的弦长为

，求直线的方程.

椭圆 2

x ~2

a

2

b 2

1(a b 0)

与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点

P ，使

2

例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点 F .作倾斜解为 一

3

的直线交椭圆于 A ，B 两点，求弦 AB 的长.

6•相交情况下一点差法的应用

例1已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线x y 1 0交于A 、B 两点，M 为

AB 中点，0M 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程.

1 1

1，求过点P 1，丄 且被P 平分的弦所在的直线方程.

2

X 2

例2已知椭圆

y

2 2 2

36

X 2

1 1

— y 2 1 , (1)求过点P 1 ,丄 且被P 平分的弦所在直线的方程;

2

2 2

椭圆上有两点 P 、Q , O 为原点，且有直线 OP 、OQ 斜率满足k o P

求线段PQ 中点 M 的轨迹方程.

C 上有不同的两点关于该直线对称.

(2) 求斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程;

(3) 过 A 2,1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;

2

X

已知椭圆C ： —

4

2

-1

，试确定

3

m 的取值范围，使得对于直线 I : y

4x m ，椭圆

已知椭圆

(4) 2 X

例5已知P(4,2)是直线I 被椭圆一

2

J 1所截得的线段的中点，求直线

9

I 的方程.

椭圆经典例题分类汇总

1•椭圆第一定义的应用

例1椭圆的一个顶点为A 2,0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.

解：(1 )当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1,

2 2

椭圆的标准方程为： - 匕1;

4 1

(2)当A 2,0为短轴端点时,

2 2

椭圆的标准方程为：—1;

4 16

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.

2 2 1

例2已知椭圆—匕1的离心率e —,求k的值.

k 8 9 2

分析：分两种情况进行讨论.

1 解：当椭圆的焦点在x轴上时，a

2 k 8 , b2 9，得c2 k 1.由e —,得k 4 .

2 当椭圆的焦点在y轴上时，a29 , b2k 8，得c2 1 k .

, 1 m 1 k 1 血i 5

由e ，得，即k

2 9 4 4

5

•••满足条件的k 4或k 5.

4

说明：本题易出现漏解•排除错误的办法是：因为k 8与9的大小关系不定，所以椭

圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上.故必须进行讨论.

2 2

例5 已知方程一「丄1表示椭圆，求k的取值范围

k 5 3 k

k50,

解：由3k0,得3 k 5，且k 4

k53k,

•满足条件的k的取值范围是3 k 5，且k 4.