逻辑代数中的三种基本运算

Y= A
逻 辑 符 号
A
1
Y
非门（ 非门（NOT gate)
二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算 1. 逻辑变量与逻辑函数 在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称 在逻辑代数中， 逻辑变量： 逻辑变量： 为逻辑变量。在二值逻辑中， 为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值 不是 1 就是 0 。 原变量和反变量： 字母上面无反号的称为原变量 原变量和反变量： 字母上面无反号的称为原变量， 原变量， 有反号的叫做反变量 反变量。 有反号的叫做反变量。 、 、 的取值 逻辑函数： 逻辑函数：如果输入逻辑变量 A、B、C · · ·的取值 确定之后， 确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被 唯一确定， 唯一确定，则称 Y 是 A、B、C · · ·的 、 、 的 逻辑函数。 逻辑函数。并记作 Y = F( A, B, CL )
与逻辑的表示方法： 与逻辑的表示方法： 真值表 （Truth table） ） A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 0 0 0 1 逻 辑 符 号 A 断 断 合 合 A B 功能表 B Y 断 灭 合 灭 断 灭 合 亮 & Y
逻辑函数式
Y = A ⋅ B = AB
与门（ 与门（AND gate)
1+0=1 0+0=0
1= 0
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…) 变量和常量的关系(变量： ) 与: A · 1 = A 或： A + 0 = A 非： A ⋅ A = 0
A· 0 = 0
A+ 1 = 1
A+ A =1
三、与普通代数相似的定理 交换律 结合律
A⋅ B = B⋅ A
A+ B = B+ A
A⊕ B = B ⊕ A ( A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ ( B ⊕ C ) A ⋅ ( B ⊕ C ) = AB ⊕ AC (4) 常量和变量的异或运算 A ⊕ 1 = A A ⊕ 0 = A A⊕ A = 0 A⊕ A = 1
如果 A ⊕ B = C 则有
A⊕C = B B⊕C = A
1 1 0 0
+ + B A+ B A + B A+ B A⋅ B ⋅ 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0
相等
相等
五、若干常用公式
(1) AB+ AB = A( B + B) = A +
(2) A+ AB= A(1 + B) = A +
推广
A + A(
)= A
Y5
= AB + AB
= A⊙B ⊙
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y5 1 0 0 1
3. 逻辑符号对照 国标符号 A B A B & Y = A⋅ B 曾用符号 A B Y 美国符号 A B A B Y
≥1 Y = A + B A B 1
Y=A
Y
Y
A
A
Y
A
Y
国标符号 A B A B A B & Y = A⋅ B
曾用符号 A B Y
美国符号 A B A B Y
≥1
Y = A+ B A
B =1 Y = A⊕ B A B
Y
Y
⊕
Y
A B
Y
1.3
逻辑代数的基本公式和常用公式
常量之间的关系(常量： 一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 ) 与： 0 · 0 = 0 或： 1 + 1 = 1 非： 0 = 1
0·1=0 1·1=1
证明公式 A + BC = ( A + B)( A + C) 方法二： 方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中) 两边，进行计算并填入表中) A B C B ⋅ C A+ BC A+ B A+ C ( A + B)( A + C) + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
& ≥1
Y3
(真值表略 真值表略) 真值表略
(4) 异或逻辑
A (Exclusive—OR) B
=1
Y4
Y4 = A ⊕ B = AB + AB
(5) 同或逻辑 (异或非) 异或非) A B =1
(Exclusive—NOR)
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y4 0 1 1 0
Y5 = A⊕ B
即 ⊙ A⊕ B = A⊙B ⊕ 同理可证 A⊙B = A⊕ B ⊙ ⊕
六、关于异或运算的一些公式 异或 A ⊕ B = A B + AB 同或 A⊙B = AB + A B ⊙ (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 ⊙ A⊕ B = A⊙B ⊕ A⊙B = A⊕ B ⊙ ⊕
(5) 因果互换律
(3) A+ AB = ( A + A)( A + B) = A+ B + + (4) AB + AC + BC = AB + AC
(5) AB + AB = A B + AB
证明： 公式 (4) 证明：
AB + A + BC = AB + A C C
左 = AB + AC + ( A + A) BC A + AB = A
( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) ( A + B) + C = A + ( B + C ) A( B + C ) = AB + AC
分配律
A + BC = ( A + B ) ( A + C )
[例 1. 1. 1] 证明公式 A + BC = ( A + B)( A + C) ] 方法一： [解] 方法一：公式法 右式 = ( A + B )( A + C ) = A ⋅ A + A ⋅ C + A ⋅ B + B ⋅ C = A + AC + AB + BC = A(1 + C + B ) + BC = A + BC = 左式
1. 2
逻辑代数中的三种基本运算
一、三种基本逻辑运算 1. 与逻辑： 当决定一事件的所有条件都具备时，事 与逻辑： 当决定一事件的所有条件都具备时， 件才发生的逻辑关系。 件才发生的逻辑关系。
开关A 开关 开关B 开关
电源
灯Y
与逻辑关系
A 断 断 合 合
功能表 B Y 断 灭 合 灭 断 灭 合 亮
2. 几种常用复合逻辑运算 (1) 与非逻辑
(NAND)
Y1 = AB
(2) 或非逻辑
(NOR)
A B A B
&
Y1
Y1、Y2 的真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y1 Y2 1 1 1 0 1 0 0 0
百度文库≥1
Y2
Y2 = A + B
(3) 与或非逻辑
A (AND – OR – INVERT) B C D Y3 = AB + CD
相等
四、逻辑代数的一些特殊定理 同一律 摩根定理 德 摩根定理 还原律
A·A=A
A⋅ B = A + B A=A
摩根定理 摩根定理
A+A=A
A + B = A⋅ B
[例 1. 1. 2] 证明：德 ] 证明： A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
A ⋅ B A⋅ B A ⋅
0 0 0 1
1 1 1 0
= AB + AC + ABC + ABC = AB+ A + C
推论
AB + A + BCD = AB + A C C
AB + AB = A B + AB
证明： 公式 (5) 证明：
左 = A B ⋅ AB = ( A + B ) ( A + B ) = A ⋅ A + A B + AB + B ⋅ B = A B + AB
逻 辑 符 号
A B
≥1
Y
或门（ 或门（OR gate) )
3. 非逻辑： 非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。 事件一定发生的逻辑关系。 真值表 A 0 1 Y
开关A 开关 R
1 0
电源
灯Y
非逻辑关系
逻辑函数式
2. 或逻辑： 或逻辑： 决定一事件结果的诸条件中， 决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个 以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。 以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。
开关A 开关
真值表 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 0 1 1 1
开关B 开关 电源
灯Y
或逻辑关系
逻辑函数式
Y = A+ B