平面图

，所以2m 3r, 由Euler公式n-m+r=2，得 m≤3n-6。 用此推论可以判定一个图不是平面图, 例如证明K5不是 平面图: K5中有n=5 m=10 3n-6=3×5-6=9 不满足 m≤3n-6,所以K5不是平面图.

d(f ) 2m 又由于
f F
f F
推论2. 若G是简单连通平面图, 则≤5.
f4 : 边界: v5 v6 v5 f5 : 边界: v6 v5 v8 v8 v5 v7 v6 f6 : 边界: v8 v8 注1：在计算面的度时，割边被计算两次。 注2：每个平面恰有一个无界的面----外部分. F(G): 平面G中面的集合 . r(G)=|F(G)|----面的个数.
f3 : 边界: v1 v3 v2 v1 d(f3)=3
v3*

v5

F3
F1 v1* F2 v2*
对偶图的性质




1. G*是唯一的, 且G*是连通的(∵ 任何两个面都存 在相邻边.) 2. G*是平面图. 3. 若G是平面连通图, 则(G*)*=G. 4. m(G*)=m(G), n(G*)=r(G), d(v*)=d(f). 5. 设C是平面图G的一个圈, S*是G*中与C的各边ei 对应的G*的边集合 , 则S*是G*的一个割集. 证明: ∵ C把G的域分成两部分, ∴ E(G*)-S*把G* 的点分成不连通的两部分.




1976年,美国伊利诺斯(Illinois)大学的阿佩尔 (K.Appel) 和黑肯(W.Haken)把四色问题归结 为2000个不同的组合结构图形,利用三台高速 IBM360计算机对这些图形进行分析，用了 1200机时,近百亿次逻辑判断, 证明了“四色定 理”. 1977年, 证明的细节发在文章上, 争议也从此开 始. 争议的中心是我们能不能、该不该接受这个 证明. 1996年, Robertson, Samders, Seymour, Thomas给出另一个机器证明. 他们利用了更有 效的方法, 使机时减到633小时. 值得一提的是这两个依赖计算机给出的证明中所 使用的方法的核心部分依然的1879年,肯普 (Kempe)给出的证明方法。
v1 f2
f3
v2
v3
d(f4)=2 d(f5)=6 d(f7)=1
2.对偶图(偶图)的定义:




给定平面图G=<V,E>, 可以定义另一个图 G*=<V*,E*>,如下: 1. 对于G的每个面f, 都有G*的顶点f*与之对应. 2. 对于G的每条边e, 都有G*的边e*与之对应. 3. G*中的点f*与g*被边e*相连 G中的面f和g被e 分隔. 图G*称为G的对偶图. e*9 f*5 e8 f*2 f1 e*1 e1 e*7 e* e7 f5 e9 f*1 2 f2 e6 e*6 e*3 e3 e e*8 f4 e5 2 e*4 f3 e*5 e4 f*4 f*3
四色问题的历史



1850年,英国数学家格色里（Guthrie）(在伦敦学法律) 注意到大多数地图使用4种颜色即可上色, 但不知道是 否对所有的地图都正确. 他就把这个问题提给了他的老 师De Morgan, De Morgan对这个问题也不能给出答 案, 他就把该问题提给了Hamilton, 但Hamilton回答 说没有时间考虑这个问题. 似乎这个问题没有引起他的 注意. 1860年, Piece试图证明该猜想, 但是失败了. 1878年, Cayley听到这个问题,他在1879 发表了题 “On the coloring of maps”的文章,在文章中，他解 释了该问题证明的难处. 1879年,肯普(Kempe)投了一篇有关四色猜想的文章 给“American Journal of Math”，给出了这个猜想 的第一个证明. 他的证明在数学界引起了轰动, 并因此 成为皇家科学家和授勋. 他的方法至今还在使用.
4 3
v1
v2
二、对偶图
v7
1. 平面图的面、边界及面的次数 f6 设G是个平面图, 图中边围成的 v8 f5 f1 区域,其内部不含有结点, 也不含 v4 f4 v6 有边,称这样区域为G的一个面. v5 面的边界:围成一个面f的所有 边构成的回路,称之为这个f面的边界. 此回路中的边数,称 之为面f的次数,记作d(f). 例如,上图中 f1 : 边界:v1 v3 v4 v5 v6 v7 v5 v4 v1 d(f1)=8 f2 : 边界: v1 v2 v3 v4 v1 d(f2)=4
定理1. （1）K5是非平面图. （2）K3,3是非平面图.





证明: （1）(反证法) intC1 若有可能, 设G是对应K5的一个 v 平面图, 用v1, v2, v3, v4, v5表示G的顶点. intC2 intC3 ∵ G是完全图, ∴ vi vjE(G), ij. 因此圈C= v1v2 v3 v1是一条平面Jordon曲 v 线, 而点v4必然在intC内或extC内. 假设 v4intC, 则v1 v4, v2 v4, v3 v4把intC分成三个区域： int C1, int C2, int C3. v5必然在四个区域extC, int C1, int C2, int C3之一中. 若v5extC, ∵ v4intC, 从Jordan曲线定理知, 边 v4v5必然在某点和C相交. 矛盾. 若v5intCi, 如 v5intC1, ∵v3extC1, ∴ 边v5v3必然在某点和C1 相交. 矛盾. （2）的证明类似。
顶点着色





由平面图的对偶图概念知, 对于地图的着色问题可以 归纳为对平面图的点着色 问题.以下先介绍图的顶点着色问题。 图G（可以是任意的图）的正常着色(简称着色): k顶点着色: k种颜色对图G的顶点的一个分配. k顶点着色是正常的（或k顶点可着色），简称k可着色: 若G中任意两个相邻的顶点都分配到不同 的颜色. 对G着色时,需要的最少颜色数,称为G的着色数,记 作 x(G) .
又G是连通的, 故G是树. (无圈连通), 所以总是有 m=n-1, 于是 n-m+r=n-(n-1)+1=2 结论成立. ⑵假设当G有r≤k-1个面时, 结论成立. ⑶当G有r=k 个面且是连通图时, 当k≥2 时, 至少有一个 回路, 所以去掉此回路中的一条边后得到子图G’, G’中有 k-1个面, 结点数同G中结点数, 由⑵得 n-(m-1)+(k-1)=2 整理得 n-m+k=2 即 n-m+r=2 定理得证.

定理. 若G是平面图, 则
f F
d(f ) 2m
f *V (G*)

证: 设G*是G的对偶图, 则 d(f ) d(f *) 2m(G*) 2m(G)
f F

利用对偶图的概念可以将一些较难解决的 有关平面图的转化为它的对偶图来求解, 这样做有时会使图变得简单容易.
3.欧拉公式---关于点, 边和面的数目的简单公式. 定理1 G是个连通的平面图, 设n、m、r分别表示G中 结点数、边数、面数, 则有 n-m+r=2. 证明: (对面数r归纳证明) ⑴当r=1 时, G的每条边都是割边.

f F
d(f ) 2m 4r fF d(f ) 2m 18.


r≤4. 由Euler公式，有 2=n-m+r≤6-9+4=1 矛盾。



例: 设G是无割边的平面图, 且每两个之间最多有一 条公共边. 证明: ① G中至少有两个面有相同的边 界数. ② 若各面最小的边界数是5, 则G中至少有 12个度为5的面. 证: ① 考虑G的对偶图G*，由于G无割边, 且每两 个之间最多有一条公共边，所以G*是简单图，因 此G*中至少有两个度相同的顶点，即G中至少有 两个面有相同的边界数. ②设G中有k个度为5的面, ∵ ∴ 5k+6(r-k) ≤2m. d(f ) 2m. k6r-2m. ∵ G*为简单平面图 ∴ m(G*) ≤3n(G*)-6 m≤3r-6 ∴ k 6r-2m 6r-2(3r-6)=12.
四. 五色定理和四色定理



地图: 没有桥的连通平面图. 地图着色: 在平面或球面上的地图，为使相邻 两个国家(或地区)便于区分,必须对这两个国家 (或地区)着以不同的颜色,那么一个具体的区域 图至少要用多少种颜色才够呢? 四色猜想：每个平面图是四面可着色的。 四色猜想在图论发展史上曾起过巨大的推动作 用.





1890年,希伍德(Hewood)发现肯普的证明是 错误的, 可是他指出肯普的方法虽然不能证明地 图着色用四种颜色,但可以证明五种颜色就够了. （五色定理） 1890年, Tait也给出了四色猜想的一个证明, 但 他的证明是建立在一个错误的假设: 每个3—连 通平面图是Hamilton图之上（Tutte给出了反 例）.至此，四色定理在历史上第二次成为四色 猜想。 这以后，人们开始考虑通过限制地图的区域来 证明四色定理。 1922年, Franklin证明了最多有25个区域的地 图是四面可着色的. 1976年, Muyer证明了最多有90个区域的地图 的四色问题.

Euler公式的推广形式


定理：对任意p(p1)个连通分支的平面 图G，有 n-m+r=p+1。 推论：对任意平面图G，有 n-m+r2。
推论1: 若G是n3的简单连通平面图, 则m3n-6.
Βιβλιοθήκη 证明：设G是n3的简单连通平面图, 则对fF， d(f) 3成立, d(f ) 3r 所以
v1 例如右图.就是 可平面化的图. v2 v3 下面是两个 v v5 重要的非平面图: 4 K5和K3,3 v1 注: 平面图 v2 v3 画法不唯一. v4 v5
v1 v2 v3
v4
v1
v5
v2
v4
v3
v5
1
2

证: 当n=1, 2时, 结论显然成立. 若n3, d( v) 2m 由推论1，有
n d( v) 2m 6n 12.
vV
vV

∴ ≤5.
推论3. K3,3是非平面图.
推论1是判定平面图的必要条件,而不是充分条件. 即如果一个图 满足m≤3n-6, 它 1 3 5 不一定是平面图. 例如, K3,3中 n=6 m=9 9≤3×6-6 2 4 6 满足m≤3n-6,但它不一定是平面图. 证: 假设K3,3是平面图, 并设G是K3,3的一个平图. ∵ K3,3不具有长小于4的图, ∴ G的每个面的度必然至少是4. 又
8-7 平面图 Plane Graph
在实际应用中,如高速公路设计、印刷电路设计,都要求 线路不交叉,这就是平面图, 一个图能否画在一个平面上, 且任何边都不交叉, 这就是图的平面化问题. 这个问题在 近些年来, 特别是大规模集成电路的发展进一步促进了对 平面图的研究. 1. 定义 设G是无向图, 如果能将G的所有结点和边都画在一个 平面上,且使得任何两条边除了端点外没有其它交点, 则 称G是个平面图。 画出的没有边交叉出现的图，称为G 的平图。一个图表面上是个非平面图, 如果通过改变边的 位置就变成平面图, 称此图是可平面化的。
3 5
b 4 6
a
c
f
e d b
a
c
f
e d



平面图的研究必须涉及平面拓朴学.与平面图的 研究特别有关的拓朴学成果是Jordon曲线的一 些内容. (Jordon曲线: 一条连续的, 自身不相 交的, 起点和终点相重合的曲线.) 平面图的圈中 各条边的并集构成一条Jordon曲线. ---Jordon曲线的性质能在平面图的理论中起作用 的原因. 设J是平面上的一条Jordon曲线, 平面的剩下部 分被分成两个不相交的开集, 称为J的内部和外 部, 分别记为intJ和extJ, 并且用IntJ和ExtJ表 示它们的闭包. 显然IntJExtJ=J. Jordon曲线定理: 连接intJ的点和extJ的点的 任何连线必在某点和J相交.