统计..方差与标准差

,
为这个样本的方差，
其算术平方根
s
1 n
n i1
(xi
x)2
为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差。
例1：甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量 如下（单位：t/hm2 ），试根据这组数据估计哪一种水稻品种 的产量比较稳定．
品种
第一年 第二年 第三年
第四年 第五年
甲
9பைடு நூலகம்8
9．9
10．1
x b ；方差为 s 2
（2）新数据 ax1,ax2,,axn；平均数为 a x
方差为 a 2 s 2
（3）新数据 a x 1 b ,a x 2 b ,,a x n b
的平均数为 a x b 方差为 a 2 s 2
四、课堂练习
(1)若 x1,x2,,xn的方4， 差那 为么
x13,x23,,xn3的方_差 4__为 _
极差＝最大值－最小值
引例2：甲、乙两名战士在相同的条件下各射靶10次， 每次命中环数如下： 甲：8、6、7、8、6、5、9、10、4、7； 乙：6、7、7、8、6、7、8、7、9、5； 根据上面数据分析两名战士的射击情况;
解x得 甲7， x乙7
乙
甲
9887777665 0 456677889
10
如果一组数据与其平均值的离散程度较小， 我们就说它比较稳定．
20
271～ 300
25
301～ 330
16
331～ 360
7
361～ 390
2
解：各组组中值依次为165，195，225，255，285，315，345， 375，由此算得平均数为
1 6 1 o o 5 1 9 1 o 5 o 1 2 2 1o 5 o 8 2 5 2o 5 o 0 28 2 5 o o 5 5 3 1 1o 5 o 6 3 4 7 o o 5 3 7 2 o o 5 2.9 6 2 768
(2)若x1,x2,,xn的方差 2，为 那么 这组数据4后 均的 乘方 以_差 3_2_为 _
（2(3k）2-3若),k1,…k2.,2…（.kk88-的3)方的差方为差3为，_则_1_2_2（__k_1_-3),
4.在数据统计中，能反映 一组数据变化
范围大小的指标是
这些组中值的方差为
s 2 1 [ 1 ( 1 2 6 ) 2 6 1 5 ( 1 8 1 2 9 ) 2 6 5 2 ( 3 8 2 7 ) 2 ] 6 5 2. 8 6 1 ( 天 2 ） 0 2 100
s s2 21.6 20 84(6 天）
答：略
思考：某一农家养了五头猪，质量分别为：
统计..方差与标准差
一、极差
引例：有甲乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本 检查它们的抗拉强度，如下表：
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
哪种钢筋的质量较好？比较稳定？
105 110 115 120 125 130 135 140 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
其中 S 2表示一组数据的方差， 表示一组数 据的平均数，x1、x2、… xn表示各个数x 据．
二、方差 方差越小，数据的波动越小。
一般地，
设则一称 组1 n x 样x 本1 2数 据x s2 2 2 x 1n1 ,in1x x (n 2 x2 i ,n x，( )x 2其) ,2 平x均n数为
方 1 n [差 x 1 ， ( x ， ) 2 ( x 2 ， x ， ) 2 . .( x .n ， x ， ) 2 ] S2
1 nx 1 2 x 2 2 x n 2 n (x )2
三、方差的运算性质：
如果数据 x1,x2,,xn 的平均数为 x ，
方差为 s 2 ，则
（1）新数据 x1b ,x2b ,,xnb的平均数为
10
10．2
乙
9．4
10．3
10．8
9．7
9．8
解：x 甲 1 （ 9 .8 9 .9 1.1 0 1 0 1.2 0 ) 10
5
s 甲 2 [ 9 . 8 ( 1 ) 2 0 ( 9 . 9 1 ) 2 0 ( 1 . 1 0 1 ) 2 0 ( 1 1 0 ) 2 0 ( 1 . 2 0 1 ) 2 ] 0 5 0 . 02
315，317，308，310，295；则方差是（ ）
A.1445
B.309
C.8.63
D.59.6
注： 方差的另外一种形式
(2)若 x1 ， x2， ..x.n的 , 方 S2;x 差 1 x1 为 a,x2 x2a,,
xn xna；证 x1 ,x明 2 ,.x .n 的 .： , 方S差 2；也
x 乙 1 （ 9 .4 1.3 0 1.8 0 9 .7 9 .8 ) 10 5
s 乙 2 [9 . 4 ( 1 ) 2 0 ( 1 . 3 0 1 ) 2 0 ( 1 . 8 0 1 ) 2 0 ( 9 . 7 1 ) 2 0 ( 9 . 8 1 ) 2 ] 0 5 0 . 24
甲 乙
105 110 115 120 125 130 135 140
甲
100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
乙
说明甲比乙稳定
思 考 ： 什么样的指标可以反映一组数据 变化范围的大小？
一组数据的最大值与最小值的差称为极差； 极差越大，数据越分散，极差越小，数据 越集中．
思 考 :什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散 程度？
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最 后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的
情况．这个结果通常称为方差（variance）．
方差的计算式就是
S 2 n 1 [x 1 ( x )2 (x 2 x )2 . .(x .n x )2 ]
因为x甲x乙，所以甲水稻的较 产稳 量定 比。
例2：为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后 必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天 数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．
天数 灯泡数
151～ 180
1
181～ 210
11
211～ 240
18
241～ 270