相似三角形的判定优秀教案

相似三角形的判定

【教学目标】

1．理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角；

2．掌握相似三角形判定定理的“预备定理”；

3．能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。

【教学重点】

灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。

【教学难点】

三角形相似的判定定理的探索与证明。

【课时安排】

5课时。

【教学过程】

【第一课时】

三角形相似判定定理的“预备定理”。

一、复习旧知：

前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：（一）辨析：

1．四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？

2．四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？

3．什么样的两个多边形是相似多边形？

4．什么是相似比（相似系数）？

（二）简答：

1．正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。

2．正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。

3．两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。

4．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。

二、概念讲解：

概念：如图1，△ABC与△A′B′C′相似。记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”。

注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。

明确：对于，根据相似三角形的定义，应有……

（引导学生明白定义的双重性。）

问题：将△ABC与△A'B'C'相似比记为k1，△A'B'C'与△ABC相似比记为k2，那么k1与k2有什么关系？

k1＝k2能成立吗？

说明：三角形全等是三角形相似的特例。

（一）类比猜想：

1．两个三角形全等的判定有哪几种方法？

2．全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？

3．猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？

和对应角都相等？有没有简便的方法？

（二）简析：

1．两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS，直角三角形还有HL。

2．不需要所有的对应边和对应角都相等。

3．猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等。

三、探索交流。

（一）探究：

1．在△ABC中，D为AB的中点，如图，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE 与△ABC相似吗？

（1）“角”：∠BAC＝∠DAE。

∵DB∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C。

（2）“边”——要证明对应边的比相等，有哪些方法？

a．直接运用三角形中位线定理及其逆定理。

∵DB∥BC，D为AB的中点，

∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线。（三角形中位线定理的逆定理。）

∴DE＝BC（三角形中位线定理）。

∴＝＝＝。

∴△ADE∽△ABC。

b．利用全等三角形和平行四边形知识。

过点D作DF∥AC交BC于点F，如图。

则△ADE≌△ABC（ASA），

且四边形DFCE为平行四边形。

∴DE＝BF＝FC

∴＝＝＝。

∴△ADE∽△ABC

2．当D2、D3为AB的三等分点，如图，过点D2、D3分别作BC的平行线，交AC于点E2、E3，那么△AD2E2、△AD3E3与△ABC相似吗？

由（1）知△AD3E3∽△AD2E2，下面只要证明△AD3E3与△ABC相似，关键是证对应边的比相等。

过点D2、D3分别作AC的平行线，交BC于点F2、F3，设D2E2与D3F3相交于G点。

则△AD3E3≌△D3D2G≌D2BF2，（ASA）

且四边形D3F3CE3、D2F2CE2、D3GE2E3、D2F2F3G为平行四边形。

∴D3E3＝BF2＝F2F3＝F3C

∴AE3＝E3E2＝E2C

∴＝＝＝

∴△AD3E3∽△ABC

∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC

（二）思考：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？

过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5。

则设四边形D2F2CE2为平行四边形，且△AD3E3≌D2BF2（ASA），

∴D2E2＝F2C，D3E3＝BF2。

由（1）知，D3E3＝D2E2，AE3＝AE2，

∴D1E1＝BC，AE3＝AC

∴＝＝＝。

∴△AD3E3∽△ABC

∴△AD3E3∽△AD2E2∽△ABC。

（三）猜想：通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC相似。

（图6）

由以上探究过程你能得出什么结论？如果这条直线与三角形两边的延长线相交呢？

（四）归纳。

定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

符号语言：在△ABC中，若DE∥BC（如图6所示），则△ADE∽△ABC。

证明：

1．“角”：∠BAC＝∠DAE

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C。

2．“边”：

∵DE∥BC，＝

过D点作DF∥AC交BC于点F。

∴＝

又∵四边形DFCE是平行四边形。

∴FC＝DE；

∴＝；

∴＝＝；

∴△ADE∽△ABC。

四、巩固提高：