2020年南京市玄武区一模试卷(答案)

综合练习卷 数学参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照

本评分标准的精神给分．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7．±3，2 8．x ≠1 9．a (x －1)(x －2) 10．－ 2 11．－ 3

12．94 13．60(1－x )2＝48 14．4

3

π＋2 3 15．108 16．3±1

三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题8分）

解：解不等式①，得x ≤2． ……………………………… 2分 解不等式②，得x ＞－1． ……………………………… 4分

所以，不等式组的解集是－1＜x ≤2． ……………………………… 6分

… 8分

18．（本题7分）

解：原式＝m ＋1m ÷1－m 2

m

＝m ＋1m ·m

(1－m )(1＋m )

＝1

1－m

． ………………………………………………………………… 5分

当m ＝1－5时，原式＝11－1＋5＝1 5＝5

5

． ………………… 7分

19．（本题8分）

解：（1）0.07，40% ． …………………………………… 4分 （2）评价角度不唯一，以下答案供参考：

两人训练成绩的平均数都是15s ，说明两人成绩整体实力相当；

甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定． ………………………………… 8分 （甲跑进15s 以内的占比多于乙，且甲的最快速度比乙快，说明甲更有可能创造好成绩） 20．（本题7分）

解：（1）1

4． ………………… 2分

号连续的两个班级”（记为事件A ）的结果有6种，所以P (A )＝616＝3

8

． …… 7分

21．（本题7分）

解：（1）设甲的速度为2x km/h ，乙的速度为3x km/h ． 因为20 min ＝1

3

h ，

由题意得82x ＋13＝14

3x ，解得x ＝2， 经检验x ＝2是原方程的解，即2x ＝4，3x ＝6

答：甲的速度为4 km/h ，乙的速度为6 km/h ． ………….7分 22．（本题8分）

（1）证明：延长AH 交DC 于点P ，延长CF 交AB 于点Q ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ． ∴AQ ∥CP ，

又AH ∥CF ，即AP ∥CQ

∴四边形APCQ 是平行四边形， ∴∠HAE ＝∠FCG ， ∵E 、G 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝12AB ，CG ＝1

2

CD ，即AE ＝CG ．

在△AHE 和△CFG 中，

AE ＝CG ，∠HAE ＝∠FCG ，AH ＝FC ．

∴△AHE ≌△CFG ． ………………………… 4分 （2）证明： 连接FH 、EG

∵AH ∥CF ，∴∠AHF ＝∠HFC ．

由（1）知：∠AHE ＝∠CFG ，HE ＝FG ，

∴∠AHF －∠AHE ＝∠HFC －∠CFG ，即∠EHF ＝∠GFH ． ∴HE ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．

由（1）知：AE ＝DG ，AB ∥CD ，∴四边形ADGE 是平行四边形， ∴AD ＝EG ．又∵AD ＝FH ，∴EG ＝FH ，

∴四边形EFGH 是矩形． ……………………… 8分 23．（本题8分）

解：（1）解：当m ＝2时，y 1＝2x ＋2．∵y 1＞y 2，∴2x ＋2＞－x ＋1

解得x ＞－1

3

…………………………………… 3分

（2）－2 …………………………………… 5分 （3）y ＝y 1·y 2＝(2x ＋m )(－x ＋1)

令y ＝0，(2x ＋m ）(－x ＋1)＝0，解得x 1＝－m

2

，x 2＝1；

当－m

2

＝1，即m ＝－2时，该方程有两个相等的实数根，

则函数图像与x 轴有一个交点；

当－m

2

≠1，即m ≠－2时，该方程有两个不相等的实数根，

则函数图像与x 轴有两个交点． …………………………………… 8分

（另解：令y ＝0，(2x ＋m )(－x ＋1)＝0即2x 2＋(m －2)x －m=0， ∵a ＝2，b ＝m －2，c ＝－m ，∴b 2－4ac ＝(m －2)2＋8m ＝(m ＋2)2．

当m ＝－2时，b 2－4ac ＝(m ＋2)2＝0，则该方程有两个相等的实数根，所以函数图像与x 轴有一个交点；当m ≠－2时，b 2－4ac ＝(m ＋2)2＞0，则该方程有两个不相等的实数根，所以函数

A B

C D

E F G H

（第22题）

P Q

A

53°

D

C

B

E

18°

（第24题）

F 图像与x 轴有两个交点．） 24．（本题7分）

解：由题可得，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ．

设AD ＝AC ＝x m ．

在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠DAF ＝53°． ∴sin ∠DAF ＝DF

AD ， ∴DF ＝AD sin ∠DAF ＝x sin53°．

在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝18°， ∴sin C ＝AB

AC ， ∴AB ＝AC sin C ＝x sin18°．

在矩形AFEB 中，AB ＝EF ＝x sin18°． ∵DE ＝DF ＋EF ，∴11＝x sin53°＋x sin18°． 解得x ＝11 sin53°＋sin18°≈11 0.8＋0.3

＝10．

因此，吊臂的长为10 m ． ……………………………………………………………… 7分

25．（本题9分）

解：（1）当x ＝80时，y ＝300－10×(80－60)＝100.

∴点B 的坐标为（80，100）．

设线段BC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b （k ，b 为常数） ∵图像过点（80，100）、（110，250）， ∴⎩⎪⎨⎪⎧100＝80k ＋b ， 250＝110k ＋b ．解得⎩

⎪⎨⎪

⎧k ＝5，b ＝－300．

∴y ＝5x －300 ……………………………… 3分 （2）设获得的利润为W 元．

由题意知AB 对应的函数表达式为y ＝300－10(x －60)＝－10x ＋900

当60≤x ≤80时，W ＝(x －50)(－10x ＋900)＝－10(x －70)2＋4000．所以，当x

＝70时，W 的值最大，最大值为4000．

当80≤x ≤110时，W ＝(x －50)(5x －300)－300(x －80)＝5(x －85)2＋2875． 因为5＞0，开口向上，当80≤x ≤85时，W 随x 的增大而减小，即W ≤3000；当85≤x ≤110时，W 随x 的增大而增大，即W ≤6000． 因此，当x ＝110时，W 的值最大，最大值为6000．

综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润是6000元．

…………… 7分

（3） 100 …………… 9分 26．（本题9分）

解：（1）∵四边形EFGH 是⊙O 的内接四边形，∴∠EF A ＝∠EHG ．

∵∠EGH 和∠EDH 都是 ⌒EH

∴∠EGH ＝∠EDH

∵DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴∠EF A ＝∠B ，∠∴∠EGH ＝∠EHG ＝∠B ， ∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B

∴∠C ＝∠EHG ，∠B ＝∠EGH ，

∴△EGH ∽△ABC ． ………………… 3分

（2）①连接DG ．

∵∠CHE ＋∠BHG ＋∠EHG ＝180°，

A