三维波动方程的解
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ｙ ｃ ｏ ｓ 匹
Ｃ
ｚ ｇ
传播 Ｔ Ｅ Ｍ 波 ， 而且 ， Ｅ， ， 都口 Ｊ 以通 过 ，
表示 出来 ＿ １ ＿ Ｉ ，所 以 对 Ｔ Ｍ 波 ，Ｕ代 表 ， 而 ＝０ 则有 边 界条件 ＝０ ，即
通过 麦 克斯韦 方程组 可以求 出磁场 的振 荡 。
０＜ －ｘ ｒ 上 ，０ ｙ ｂ，０＜ － ｚ＜ － ｃ。
为简单起 见 ， 只讨论齐次方程的解 ，在物理上 齐次方程代表无外源的情形。下面根据边界长短的 不 同分 别对 波动 ｌ 方程进 行 求解 。
１ ． １ ｘ ，ｙ ，ｚ均 无界
先 将 空间变 量 ｊ 时 间变 量分 开 ， 令
标系下， 分别求解波动方程 ，并将各种情形赋予相 应的物 理 意义 ，以求 对 该 问题有 一个 整体 的认 识 。
鲁Ｊ 一 Ｊ 一 Ｊ 一 （ 州） ， 叼 ， ） ｄ 叼 ＝ 鲁
１ ． ２ Ｘ， Ｙ ， ｚ 均 有界 ．
１ 三维波动方程在直角坐标 系下的解
Ｆ ｅ ｂ ２ Ｏ１ ３
文章编号 ： ｌ ６ ７ ４ — ０ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ３） ０ １ — ０ ０ ２ ５ — ０ ３
三 维 波 动 方 程 的解
张子 珍 ，林 海
（ 山西大 同大 学物理 与 电子科 学学 院 ，山西 大 同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ）
摘 要： 在 直 角 坐 标 系 、柱 坐标 系和 球 坐 标 系下 ，分 别 求解 三 维 波 动 方 程 ，并 将 其 所 对 应 的 物 理 模 型 进 行 诠
（ ２ ）
度 的任一直 角分艟 ， 如Ｅ ， Ｅ 、 ， ， 再加 卜 边 界 条件
： ０，“ ： ０
０ 凡
将此方程两边对 变量 ， Ｙ ， 进行付立叶 变换 ， 得 出１ ７ 的像 ，
： — ．
的 限制 ， 就 是谐 振 腔 问题 。用分 离 变量 法 可求 在 腔 内产生 的 电场振 荡 ：
ｌ ｆ ， ＝０ （ ｚ ＋王 ， ¨＋ ） ， ｔ ＞ ０
方程 （ ４ ） 是亥 姆 霍兹 程 ，（ ４ ） 中 的 ｕ可 以代表 电场强
； ， Ｙ ， ｚ ， ０ ） ＝０ ， 一 ∞＜ ， ｙ ， ＜ ∞
｛ ， ， Ｙ ， 。 ， ０ ） ＝ （ — ， ｙ 一 叼 ，
Ｃ
Ｚ Ｃ 一，
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收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ — １ ５
作者简介： 张子珍０９ ６ ５ 一 ） ， 女 ，Ｉ Ｊ Ｊ 西大 同人 ，敦授 ， 研究力‘ ： 论物理 。
“ 西大 Ｍ大学学报（ 自然科学 版 ） Ｅ一： Ｃｓ ｉ ｎ
ａ
Ｘ Ｓ ｉ １ ３
【 “ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ）
（ ３ ）
ｆ ４ １
先 求 出点 源 引 起 的基 本 解 ，再 利 用 叠 加 原 理
求 出连续 源的解 。点源 引起 的基 本解１ ｌ 所 满足 的
方 程 是 ｌ
方程 ｆ ３ １ 的解是
Ｔ （ ｔ ） Ｏ Ｃ ． ｅ － ｉ ｋ ＝ｅ ，
第２ ９ 卷第 １ 期
２ ０１ ３年 ２月
山西大同大学学 报（ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ １ ａ ． １ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ￣ ）
Ｖｏ １ ． ２ ９ ． ＮＯ ． １
释， 把物理模型和数学方法融合在一起 ，以便 对波动方程 有更深地 了解 。
关键词 ： 波 动 方程 ；直 角 坐标 系；柱 坐标 系 ； 球 坐标 系 ；贝塞 尔方 程 ；勒 让德 方程
中图分类号 ： Ｏ ４ １ １ ． １
文 献标 识码 ： Ａ
求解 偏微 分 方程 时 ， 在 不 同 的边 界 条 件下 解 的 形式 完全 不 同 。尤其 是将 求解 波 动方 程应 用 于电动
１ ． ３ Ｘ， Ｙ ， Ｚ 非 全有 界
“ ， ， ＝０ ２ （ Ｍ ｕ＋ｕ ． ， ＋ 墨 ） ，
０ Ⅱ， ０≤ ｙ ６， －￣ ＜ ｚ ＜ｏ ｏ。
（ ） ＝０ 。 本征 值是
Ｍ ， Ｙ ， ， ｆ ） ＝ Ｍ ， Ｙ ， ｚ ） Ｔ （ ｔ ） ，
得
ｆ ｆ ） ＋ｋ ２ ａ ７ ＝０ ，
Ｍ＋七 “ ＝ ０。
ｉ “ ｆ ， ＝ａ ２ （ ｔ ｉ ＋ｕ ”＋“ ） ， ｔ ＞ Ｏ
｛ ｔ Ｉ （ ｘ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ｚ ） ， － ｏ ￣ ＜ ｘ ， Ｙ ， ｚ ＜ ｏ ｏ （ １ ）
ｉ维波 动方 程在 直 角坐标 系 下 的形 式 是
“ ＝ａ ２ （ ｔ ｉ ＋Ｍ ｗ＋Ｍ ） ＋ ｆ （ ｘ ， ￡ ） 。
ｓ ＋
，
它表 示在 无 界空 间 中由初 始扰 动引 起 的波 的传播 规 律 ，即惠更斯 原 理 。ｎ是 波 的传播 速度 。
“ ＝ａ Ｚ （ ｕ ＋Ｍ ． ） ＋Ｉ ｔ 。 ） ，
Ｅｘ＝ Ａｃ ｏ ｓ — ｍＡ Ｔ
ｒ 上
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Ａ０
ｅ （ ＾ｆ ＋ ＾ ＋ ＾ ｆ ）
．
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，
的原像 为 ：
（ ｒ ， ） Ｊ ６ （ ｒ 一 ） 。
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硼
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ｙ ｓ ｉ ｎ 匹
力学 的 教学 中 ，更给 学生 的学 习 造成 很 大 的 难 。
方程 ｆ １ ） 的解 为
Ｍ （ ，Ｙ， ，ｔ ） ＝
针 对 此 问题 ， 本 文 在直 角 坐标 系 、柱 坐标 系 和球 坐
杀Ｊ 一 Ｊ 一 Ｊ 一 （ 川） ， ７ ７ ， 叼 ＋
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传播 Ｔ Ｅ Ｍ 波 ， 而且 ， Ｅ， ， 都口 Ｊ 以通 过 ，
表示 出来 ＿ １ ＿ Ｉ ，所 以 对 Ｔ Ｍ 波 ，Ｕ代 表 ， 而 ＝０ 则有 边 界条件 ＝０ ，即
通过 麦 克斯韦 方程组 可以求 出磁场 的振 荡 。
０＜ －ｘ ｒ 上 ，０ ｙ ｂ，０＜ － ｚ＜ － ｃ。
为简单起 见 ， 只讨论齐次方程的解 ，在物理上 齐次方程代表无外源的情形。下面根据边界长短的 不 同分 别对 波动 ｌ 方程进 行 求解 。
１ ． １ ｘ ，ｙ ，ｚ均 无界
先 将 空间变 量 ｊ 时 间变 量分 开 ， 令
标系下， 分别求解波动方程 ，并将各种情形赋予相 应的物 理 意义 ，以求 对 该 问题有 一个 整体 的认 识 。
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１ 三维波动方程在直角坐标 系下的解
Ｆ ｅ ｂ ２ Ｏ１ ３
文章编号 ： ｌ ６ ７ ４ — ０ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ３） ０ １ — ０ ０ ２ ５ — ０ ３
三 维 波 动 方 程 的解
张子 珍 ，林 海
（ 山西大 同大 学物理 与 电子科 学学 院 ，山西 大 同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ）
摘 要： 在 直 角 坐 标 系 、柱 坐标 系和 球 坐 标 系下 ，分 别 求解 三 维 波 动 方 程 ，并 将 其 所 对 应 的 物 理 模 型 进 行 诠
（ ２ ）
度 的任一直 角分艟 ， 如Ｅ ， Ｅ 、 ， ， 再加 卜 边 界 条件
： ０，“ ： ０
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将此方程两边对 变量 ， Ｙ ， 进行付立叶 变换 ， 得 出１ ７ 的像 ，
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的 限制 ， 就 是谐 振 腔 问题 。用分 离 变量 法 可求 在 腔 内产生 的 电场振 荡 ：
ｌ ｆ ， ＝０ （ ｚ ＋王 ， ¨＋ ） ， ｔ ＞ ０
方程 （ ４ ） 是亥 姆 霍兹 程 ，（ ４ ） 中 的 ｕ可 以代表 电场强
； ， Ｙ ， ｚ ， ０ ） ＝０ ， 一 ∞＜ ， ｙ ， ＜ ∞
｛ ， ， Ｙ ， 。 ， ０ ） ＝ （ — ， ｙ 一 叼 ，
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收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ — １ ５
作者简介： 张子珍０９ ６ ５ 一 ） ， 女 ，Ｉ Ｊ Ｊ 西大 同人 ，敦授 ， 研究力‘ ： 论物理 。
“ 西大 Ｍ大学学报（ 自然科学 版 ） Ｅ一： Ｃｓ ｉ ｎ
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【 “ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ）
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先 求 出点 源 引 起 的基 本 解 ，再 利 用 叠 加 原 理
求 出连续 源的解 。点源 引起 的基 本解１ ｌ 所 满足 的
方 程 是 ｌ
方程 ｆ ３ １ 的解是
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第２ ９ 卷第 １ 期
２ ０１ ３年 ２月
山西大同大学学 报（ 自然科学版）
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释， 把物理模型和数学方法融合在一起 ，以便 对波动方程 有更深地 了解 。
关键词 ： 波 动 方程 ；直 角 坐标 系；柱 坐标 系 ； 球 坐标 系 ；贝塞 尔方 程 ；勒 让德 方程
中图分类号 ： Ｏ ４ １ １ ． １
文 献标 识码 ： Ａ
求解 偏微 分 方程 时 ， 在 不 同 的边 界 条 件下 解 的 形式 完全 不 同 。尤其 是将 求解 波 动方 程应 用 于电动
１ ． ３ Ｘ， Ｙ ， Ｚ 非 全有 界
“ ， ， ＝０ ２ （ Ｍ ｕ＋ｕ ． ， ＋ 墨 ） ，
０ Ⅱ， ０≤ ｙ ６， －￣ ＜ ｚ ＜ｏ ｏ。
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Ｍ ， Ｙ ， ， ｆ ） ＝ Ｍ ， Ｙ ， ｚ ） Ｔ （ ｔ ） ，
得
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“ ＝ａ ２ （ ｔ ｉ ＋Ｍ ｗ＋Ｍ ） ＋ ｆ （ ｘ ， ￡ ） 。
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它表 示在 无 界空 间 中由初 始扰 动引 起 的波 的传播 规 律 ，即惠更斯 原 理 。ｎ是 波 的传播 速度 。
“ ＝ａ Ｚ （ ｕ ＋Ｍ ． ） ＋Ｉ ｔ 。 ） ，
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力学 的 教学 中 ，更给 学生 的学 习 造成 很 大 的 难 。
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