应力与应变状态分析

主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 35
10 σ1=50 MPa ；
10 σ1=10 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
8、画原始单元体： 例 ：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
18.3(MPa)
17
2、主应力、主平面
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
40 60 2
( 40 60)2 2
(50)2
80.7(MPa) 60.7(MPa)
σ1=80.7（MPa）；σ2=0；σ3=-60.7（MPa）。
tg 2 0
x
2 xy y
2(50) 40 60
出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因， 建立适当的强度条件。
4、研究方法：取单元体。
4
单元体的概念：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小 的几何体，常用的是正六面体。
单元体上应力的性质：每个面上的应力均布，每对相平行面上的 应力大小、性质完全相同。
σα
FP
A FP
x A x
A τα
5、主平面：剪应力等于零的面。 6、主应力：主平面上的应力（正应力）。 7、主单元体：由主平面组成的单元体。
F
F a
x
a x
x
F A
6
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L
b xz
zx
x
M
WT
yx
C xy
x b x
x
x
FL WZ
C σx
7
y
b
Ｍ
x
c
x
z
Ｍ0
二、应力状态的分类：
yx
b
zx
xz
x
C xy
x
M0 WZ
M
WT
1、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。
2、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。
考虑剪应力互等和三角变换，得：
x
2
y
x
2
y
cos2
xy
sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos2
——任意α斜面应力的计算公式
12
规律： 900 x y
注意：用公式计算时代入相应的正负号
符号规定：、“”正负号同“”； 、 “正负号同“ ；
、 “为斜面的外法线与 轴正向的夹角， 逆时针为正，顺时针为负。
x
y
2
(
x
y )2
2
2 xy
——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; max ; min ; 0
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。 简易判断规律：由τ的方向判断。
α0 α0
14
2、 τ的极值及所在平面
x
2
y
sin 2
xy cos2
d 0 d
tg 21
x y 2 xy
1
第八章 应力与应变状态分析
§8—1 应力状态概述 §8－2 平面应力状态分析——解析法
§8－3 平面应力状态分析——图解法 §8－4 梁的主应力及其主应力迹线 §8－5 三向应力状态研究
§8－6 平面应力状态下的应变分析 §8－7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
§8－8 复杂应力状态下的变形比能
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
8
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
9
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
等价
y x
xy
10
y
x
n
xy
t
图1
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
Fn 0 ;
dA ( xdAcos) cos ( xydAcos)sin
( ydAsin)sin ( yxdAsin) cos 0
11
Ft 0
dA ( xdAcos) sin ( xydAcos) cos ( ydAsin) cos ( yxdAsin)sin 0
σ3
xy
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
450
σ1
yx
0
0
2 xy
xy
1 xy; 2 0; 3 xy.
20
30 单位：MPa σ1 、σ2、σ3 ？
2、主平面
tg 2 0
2 xy x y
2 xy
0
0 450;
16
例：如图所示单元体，求α斜面的应力及主应力、主平面。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x
y
2
x
y
2
cos2
xy sin 2
d d
0 x y
2
sin 20 xy cos 20
0
0 0 13
tg 2 0
2 xy x y
——主平面的位置
(0 ;
0 0 90 0 )
max
m in
——最大剪应力 所在的位置
(1 ;
1 1 900 )
max
m in
(
x
y )2
2
xy2
——xy面内的最大剪应力
max
m in
Baidu Nhomakorabea
1
3
2
——整个单元体内的最大剪应力
最大剪应力与X轴的夹角规定为“α1”
tg20tg21 1
(1 0 450 )
15
例：如图所示单元体，求主应力及主平面。
解：1、主应力
60
解：1、 α斜面的应力
50 40
x
y
2
x
y
2
cos2
xy sin 2
300
40 60 40 60 cos(600 )
2
2
(50) sin(600 ) 58.3(MPa)
（单位：MPa）
x
y
2
sin 2
xy cos2
40 60 sin(600 ) (50) cos(600 ) 2
2 xy
——应力圆方程（莫尔圆）
小结
2
§8—1 应力状态概述
一、基本概念：
max ; max
F 铸铁拉伸 F 铸铁压缩
F 铸铁与低碳钢的拉、压、扭 试验现象是怎样产生的？
Ｍ
低碳钢 铸铁
3
组合变形杆将怎样破坏？
σmax ？ τmax ？
F Ｍ
1、应力状态：构件内任意一点处取一单元体，单元体上的应力。 2、一点处应力状态：构件内通过一点各个方向的应力的总称。 3、研究的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定
1
0 67.50
60 50
σ1
60
α0
50
40
σ1；σ2；σ3？
90
40
σ3
（单位：MPa）
18
§8－3 平面应力状态分析——图解法
一、基本原理：
x x
y
2
y
2
x
2
sin 2
y cos 2 xy cos 2
xy
sin
2
对上述方程消参（2），得：
x
2
y
2
2
x
2
y
2