第七章 抽样推断 (《统计学》PPT课件)

接作为相应全及指标的估计值。
2.定义：设x_
表示总体平均数
__
X
的估计值，p^ 表示
总体成数P的估计值，则有：
__ _
X x
或
^
Pp
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第四节 抽样估计
二、总体参数的点估计
3. 性质：
用抽样指标估计总体指标时，要求抽样指标
的平均数等于被估计的总体指标；E（
_
x）
__
X
_
E（ p） P
用抽样指标估计总体指标时，要求当样本容 量n充分大时抽样指标充分靠近总体指标；
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第一节 抽样推断概述
二、有关抽样的基本范畴
2.指标
：根据全及总体各个单位的标志值或标 志特征计算的，用来反映全及总体某种属性的综合 指标；
：由样本总体各单位标志值或标志特征 计算出的综合指标。
注：对于一个确定的问题，全及指标是唯一的， 样本指标不是唯一确定的，即样本指标的随机变量。
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抽样推断
2.种类：
根据抽样资料计算样本指标，并以此直接作 为相应全及指标的估计值；
根据给定的概率保证程度的要求，利用实 际抽样资料，求出总体被估计值的上限和下限，即给 出总体参数可能存在的区间范围，而不是直接给出总 体参数的估计值。
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第四节 抽样估计
二、总体参数的点估计
根据抽样资料计算样本指标，并以此直
n
N
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第三节 抽样误差
三、抽样极限误差
在抽样推断中可允许的误差范围，等于样本指 标可允许变动的上限或下限与总体指标之差的绝对值。
2.计算公式：
_ __
_
__ _
抽样平均数极限误差： 或
_ x- X
x
x- _ X x _
x
x
以总体平均数 X__为中心，在
__
到 X - _
__
X _ 之间变动，区间
注：系统性误差和工作误差都属于思想、作风、技术问 题，可以防止和避免；随机误差不可避免，但可以控制。
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第三节 抽样误差
二、抽样平均误差
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平 的指标。
2.衡量尺度：
平均数；
抽样平均数的平均数等于总体
抽样成数的平均数等于总体成数。
故：抽样标准差恰好反映了抽样指标和总体指标 的平均离差程度。
样本指标值与总体指标值之间的离差。
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第三节 抽样误差
一、抽样误差的含义
3.代表性误差
由于调查人员违反随机抽样的原则， 有意地抽选较好的单位或较差的单位进行调查，造 成样本指标值偏高或偏低。
由抽取样本的随机性引起的误差，又分 为：①抽样实际误差：每次抽样调查所得的样本指 标与总指标之间的实际差数；②抽样平均误差：所 有可能出现的抽样实际误差的标准差
组成。
设总体变量为X，其平均数为 。在重复抽样条件下， 从总体中抽出的样本为 x1，x2， ，xn ，并互相独立，而且每
个 xi（i=1，2，…，n）都是从总体中随机抽出的，所以变 量 xi 与总体X是同分布的随机变量。因此，样本平均数的期 望值与方差分别为：
E（
_
x）
E(
x1
x2
n
...
xn
)=
_
2
（1-
n
）
x nN
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第三节 抽样误差
二、抽样平均误差
（二）抽样成数的平均误差：
p
n
p（1 p） n
p
2
（
N
-
n
）
n N 1
p（1 p）（ N - n ） n N 1
同理：在总体单位数N很大的情况下，抽样成数的平均误差的公式可以 表达为如下近似式：
p
2
（1-
n
）
nN
p（1 p）（1- n ）
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第一节 抽样推断概述
一、抽样推断
1.统计抽样法
按照随机原则从全部研究对象中抽取 部分单位进行观察，获得各项数据的调查方法；
运用数理统计的原理，根据抽样调查 所得的非全面调查资料来推算总体情况的一种统计 研究方法。
2.抽样推断的特点
①由部分推算整体；②遵循随机原则； ③运用概率估计法； ④抽样推断的误差可以事先计算并加以控制。
的概率密度为： F（x；n1, n 2）
（ （ n1
2
n1 n2 2
）（
） （
n2 ） 2
n1 n2
）（ n1 n2
n1 1
x）2 （1
n1 n2 n2
n1 n2
x） 2
0
（x 0）
（x 0）
注：上述分布都是在总体为正态分布这一基本假定下得到的。
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第三节 抽样误差
一、抽样误差的含义
2
F
成数
P N1 N
Q N0 1 P N
样本指标
n
Hale Waihona Puke 未加权加权_x
x
n
_
（x - x）2
sn1
n 1
_
xf
x
f
_
（x - x）2 f
sn1
f
_
s2 （x - x）2
n1
n 1
p n1 n
_
（x - x）2 f
s2
n1
f
q n0 1 p n
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抽样方法的分类 根据取样方式不同，可分为：
1 n
[E(
x1
)
E(x2
)
...
E(
xn
)]
D(
_
x)
D(
x1
x2
n
...
xn
)=
1 n2
[ D( x1 )
D( x2
)
...
D(
xn
)]
2 n
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第二节 抽样分布
二、样本均值的分布
完全相可同以，看样出本，平样均本数平的均方数差的是分总布体中分心布与方总差体的X1的/n分。布因中此心， 样本平均数分布的集中趋势优于总体分布自身的集中趋势。 由于样本平均数能“集中”分布于总体平均数附近，我们可 以考虑用样本平均数来估计总体的平均数。
以总体平均数为中心，两边完全对称分布，即抽样平 均数大于或小于总体平均数的概率完全相等；
抽样平均数愈接近总体平均数，误差出现的可能性愈 大，概率愈大；
注：抽样误差范围和估计置信度是密不可分的， 而且抽样误差范围愈小，则估计置信概率也愈小。
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第四节 抽样估计
一、抽样估计
利用实际调查的抽样资料来估计相应总 体全及指标的数值，也称参数估计。
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第二节 抽样分布
三、 2 分布
设 x1，x2， ，xn 是来自总体N（0，1）的样
本，则称统计量：
2 x12 x22 xn2
服从自由度为n的 2分布，记为 2 ~ 。 （2 n） 2 分布的概
率密度为：
1
n 1 x
x2 e 2
（x 0）
（2 x；n）
2
n 2
（
n
）
2
0
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第三节 抽样误差
二、抽样平均误差
（一）抽样平均数的平均误差：
_ xn
_
2
（
N
-
n
）
x n N 1
N -n
注：由于修正因子 N 1 总是小于1，因而不重复抽样误差总是小于重 复抽样误差，但当总体单位数N很大的情况下，这个因子就十分接近1，因 而两种抽样误差就相差很小，抽样平均误差的公式可以表达为如下近似式：
抽样指标估计总体指标时，要求作为优良估 计量的方差应该比其他估计量的方差小。
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第四节 抽样估计
三、总体参数的区间估计
根据给定的概率保证程度的要求，利用
实际抽样资料，求出总体被估计值的上限和下限，即 给出总体参数可x_ 能存在的区间范围，而不是直接给出
总体参数的估计值。
对于总体的被估计指标
__
X
三、总体参数的区间估计
2. 估计步骤 根据已经给定的抽样极限误差范围要求推算概率保证程度：
①抽取样本，计算样本指标，即计算样本平均数或样本成 数，作为总体指标的估计值，并计算样本标准差以推算抽 样平均误差；
由于随机抽样的偶然因素使样本各单位 的结构不足以代表总体各单位的结构，而引起样本 指标和全及指标之间的绝对离差。
如：样本平均数与总体平均数之间的绝对离差，样本成 数与总体成数之间的绝对离差，等等。
在统计工作过程中由于观察测量、登 记、计算上的差错所引起的误差，又称为工作误差， 它是所有统计工作都可能发生的；
（x 0）
式中的（
n） 2
是
函数在n/2上的函数值。特别地，当
n=2时， 2 分布为指数分布。
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第二节 抽样分布
四、t分布
设 X ~ N（0，1）, Y , ~ （2 n） 且X，Y相互独立，
则称随机变量：
t X Y/ n
服从自由度为n的t分布，记为 t ~ t（n）。t分布的概率
密度为：
t（x；n）
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第一节 抽样推断概述
二、有关抽样的基本范畴
1.总体 N：研究对象，全及总体即统计总体，又
称母体，N总是很大的数； 品质标志→属性总体；数量标志→变量总体。
n：观察对象，又称子样，简称样本，是
指从全及总体中随机抽取出来，用来代表全及总体 的那部分单位构成的总体，n相对于N则是很小的数。
注：对于一个确定的问题，全及总体是唯一的， 样本总体不是唯一确定的。
第二节 抽样分布
一、抽样分布
样本是随机变量，样本估计量即统计 量是样本的已知函数，也是随机变量，因而有其概 率分布。统计量的概率分布称为抽样分布，也称统 计量分布或随机变量函数分布。
样本均值的分布； 2分布； t分布； F分布。
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第二节 抽样分布
二、样本均值的分布
由总体中全部样本平均数的可能取值和与之相应的概率
重复抽样
从总体N个单位中随机抽取一个样本容 量为n的样本，每次从总体中抽取一个， 并把结果登记下来，又放回总体中重新 参加下一次的抽选。又称放回抽样
不重复抽样
总体单位数N不变，同一单位可能 多次被抽中。
每次从总体中抽选一个单位后就不 再将其放回参加下一次的抽选。又 称不放回抽样.
总体单位数减少n，同一单位只可 能被抽中一次。
x
x
；
（
__
X
-
__
_ ，X
_）称为平均数的估计区间，区间的总长度为
x
x
2 _
x
p pP
p-p P pp
抽样平均数极限误差 P - p 或P p
以总体（平P均- p成，P数 Pp为） 中心，在 到
之间变动，抽样
成数 p在
区间内，且与总体成数绝对离差不超
过。
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第三节 抽样误差
四、抽样误差的概率度
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第一节 抽样推断概述
一、抽样推断
3.抽样推断的作用：
①在无法或很难进行全面调查的场合下，可以运用抽 样法来了解全面情况；
②运用抽样法可以对全面调查的结果加以补充或订正； ③运用抽样法可以对生产过程中产品质量进行检查和
控制； ④运用抽样法可以对总体的某种假设进行检查，来判
断这种假设的真伪，决定行动的取舍。
（
n
1） 2 (1
x2
( n1)
)2
n （n） n
2
( x )
t分布又称为学生氏（Student）分布。
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第二节 抽样分布
五、F分布
设 U ~ , （2 n1） V ~ , （2 n2） 且U，V相互独立，则
称随机变量：
F U / n1 V / n2
服从自由度为（n1,n2）的F分布，记为 F ~ F（n1,n2）。t分布
把极限误差 _ x
或
p
，分别除以
_
x
或 p 得相对数t
，表示误差范围为抽样平均误差的若干倍，t是测量估计可靠
程度的一个参数，称为抽样误差的概率度。
2.计算公式： _ t x _ t p x p
或 _ t _
x
x
或 p tp
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第三节 抽样误差
五、抽样估计置信概率
表明抽样指标 x_ 和总 p体指标的误差x_ 不超 p过一定范 围的概率保证程度。
全及总体指标：
参数（未知量）
统计推断
样本总体指标：统
计量（已知量）
第一节 抽样推断概述
二、有关抽样的基本范畴
2.指标
单位数 类别
全及指标
N 未加权 加权
平均数
__
X
X
N
__
XF
X
F
标准差 方差
__
（X - X ）2
N
__
2 （X - X ）2 N
__
（X - X ）2F
F
__
（X - X ）2F
相信大家都知道，“2017年高校毕业生满意度”、 “37个城市平均月薪出炉”、“大学生平均月消费”中 所研究的都是总体，例如高校毕业生、37个城市和大学 生，即是针对所有高校毕业生、37个城市所有的劳动力、 所有大学生，但是所描述的指标如满意度、平均月薪和 平均月消费的计算却是来自于样本。这是出现了矛盾吗？
第七章 抽样推断
主要内容
抽样推断的基本概念 区间估计 必要样本容量的确定 抽样误差的计算 抽样组织方式的特点
2
引例
“2017年高校毕业生满意度”、“37个城市平均月 薪出炉”、“大学生平均月消费”等等，相信大部分同 学都或多或少看过这类的新闻，那么这些新闻所公布的 数据可信度到底是多少呢？例如大学生平均月消费为1 080元，有人就笑了，说他明明才800元左右，也有人说 他一个月2 000多元。为什么会出现这种情况呢？
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第三节 抽样误差
二、抽样平均误差
总体标准差或方差的大小：抽样平均误差与总体标准 差或方差成正比；
样本单位数的多少：抽样平均误差与样本单位数的平 方根成反比；
抽样方法及抽样组织形式的差异。 （因总体标准差或方差未知）
样本方差 或 s2n1 p（1 p）代替； 用估计标准差代替； 用历史资料代替，若有几个方差，应选方差值最大的。
，找出样本的两个估计量 x和1
，使x2 被估计指标 落在X__ 区间 （x内1，x的2）概率为
1-（0 ， 1）
是已知的，即P(x1
__
X x2) 1
，则称区间（x1，x2）是总体指标
的 __
X
置信区间，其置信概率为 1- 。 称为显著性水平，x1 是置信下
限，x2 为置信上限。
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第四节 抽样估计