第8套量子力学自测题+答案

最后得到，电子在任意时刻的自旋波函数为
cost 1 0 cos t i sin t i sin t 0 1
ˆ ,S ˆ ,S ˆ 的平均值分别为 （2）在 (t ) 状态下， S x y z
量子力学自测题 8 参考答案
一、填空题 1．0， 2．是， 的叠加态
1 ikx 2k 2 ikx ikx ikx ，否， cos kx (e e ) ，可见，它是两个动量本征态 e 和 e 2 2m
ˆ 2, A ˆB ˆ ˆB ˆA 3． A
(r ) 4．
E1 5． 0
Pz () z (t )
(1
cost 2 0) i sin t cos t
2
ˆ 的测值为- 的几率是 S z 2
Pz () z (t )
因此，
2
(0
cost 2 1) i sin t sin t
( p) 2 = p 2
2 但对 ( l ) ，由于 l 的三个分量不对易，且有 l l il ，因此
( l ) l 2 i (il ) l 2 l
2．证明 根据平均值的定义，
ˆ (t )) A ( (t ), A
因此，
d A ˆ , A , A dt t t
dP d 2 10 ( r ) R10 (r ) r 2 0 dr dr
把 R10 (r ) 代入上式得
4 a0 2 e 2r r 2 0 3 a0 a0
r 2r 1 a 0
r=0 或 r=a0 可见，1s 电子的径向几率最大的位置是 r=a0。 三、1．证明 因为


ˆ 是守恒量， [ A ˆ, H ˆ ] =0，因此 但由于 A
五、解
dA ˆ 的平均值不随时间改变。 =0， A dt
T V 1 E 2
我们已经知道，对一维谐振子
对谐振子的基态，能量 E 0
1 ，因此， 2 1 1 V m 2 x 2 E 0 2 2 4
由此得到
a(0)=1,b(0)=0 由此得到， c1=a(0)=1,c2=a(0)=1 因此
it a(t ) b(t ) e it a(t ) b(t ) e
1 a(t ) (e it e it ) cost 2 1 b(t ) (e it e it ) i sin t 2
2
或
C2
2
2 2
C1 C 2
二、1．解
可通过 Fourier 变换得到动量表象中坐标的本征函数：
x ( p)
0
px 1 ( x)e dx 1/ 2 (2) i
i
px 1 ( x x ) e dx 0 (2)1 / 2 px0 1 e (2)1 / 2 i
ˆ ˆ H ˆH ˆ , A , A i i


1 ˆ ˆ ) 1 ( , A ˆH ˆ ) ( H , A i i 1 ˆ, H ˆ, H ˆ ] ) 1 [ A ˆ] ( , [ A i i
1 2
e
ikr
( ) f ( ) f ( ) e ikr f ( ) f ( )e ikr / r ，
2

2
0 C1 ， 或 1 、 E , 1 、 n 、 n 、C n C n , E 、E 、E 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 E2 C1 C 2

但由于
2m x 2
(x) 2 ( x x ) x 2 x 2 l 2 ， （因为 x 0 ）
因此，由基态跃迁到第一激发态所需能量为
2
E E1 E0
2 2m x 2

2 2ml2
六、解 （1）电子的自旋磁矩与外磁场的相互作用 Hamilton 量
0 a 2 2 (a b ) 1 b 2
四、1．证明
由 ( A)( B) A B i ( A B) 可看出，当 A=B 时，
( A) 2 A2 i ( A A)
当 A 的三个分量 Ax,Ay,Az 互为对易时，上式中的 A A 0 ，当 A 的三个分量 Ax,Ay,Az 互 为不对易时， A A 0 。 对 ( p) 2 ，由于 pi p j p j pi (对易)，所以
ˆ ˆ B ˆ e B H s 2me c
ˆ ( B,0,0) ， 因为， B
0 ˆ e B H 2me c 1 a(t )
eB 1 ， 0 2me c
dinger 方程为 设在任意时刻，电子的自旋波函数 b(t ) ，则 Schr o
可见， 1 是 lˆx 的本征值为 的本征态。同理可证明，
ˆ lˆy 2 2 ， l z 3 3
ˆ 的平均值 2．证明 在自旋态 下， S z
1 ˆ (a *b * ) Sz S z 2 0
可见，只要 a
2 2 ˆ 的平均值必为零。 b ,S z
2r
0
(r=0 舍去)
ˆ ˆ lˆx i y z z y ， l y i z x x z ， l z i x y y x
因此，
lˆx 1 i y z z y ( y iz) iz y ( y iz) 1
Sx 0 x (cost , i sin t ) 1 2 2 1 cost 0 0 i sin t
Sy
0 y (cost , i sin t ) i 2 2 1 z (cost , i sin t ) 0 2 2
的几率是 2
2
i cost sin 2t 2 0 i sin t 0 cost sin 2t 1 i sin t 2
Sz
ˆ 的测值为 （3）在 (t ) 态下 S z
可见，在动量表象中，坐标的本征值为 x0 的本征函数是
x ( p)
0
px0 1 e 1/ 2 (2)
2
i
2 2． 由于电子在 r r dr 的球壳内出现的几率为 Pnl (r )dr Rnl (r ) r dr ， 几率密度， 2 即几率分布函数 Pnl ( r ) Rnl ( r ) r ，对 1s 电子的径向几率最大的位置应有 2
i
或
d ˆ (t ) (t ) H dt
i
由此得到
0 d a(t ) 1 dt b(t )
1 a(t ) 0 b(t )
da (t ) db (t ) ib(t ) ， ia (t ) dt dt
两式相加得
d ( a b ) i ( a b ) dt
两式相减得
d (a b) i (a b) dt
因此
a(t ) b(t ) c1e it ， a(t ) b(t ) c2 e it
因初始时刻（t=0） ，电子的自旋向 z 轴的正向极化，
a(0) 1 z b(0) ， 0
2
Pz () Pz () 1
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