李永乐.线性代数冲刺笔记(打印版)

【例题7】设α1，α2，α3是Ax＝b的解，r(A)＝3，若α1＋α2＝[1，2，3，4]T，α2＋2α3＝[2，3，4，5]T，则Ax＝b的通解是______.
【解】由r(A)＝3知Ax＝0的通解由n－r(B)＝4－3＝1个解向量构成.从而
3(α1＋α2)－2(α2＋2α3)是Ax＝0的解，即[－1，0， 1，2]T
由A ＝0 α1＋3α2＋2α3＝0 α1能由α2，α3线性表出.
(II)设x1α1＋x2α2＋x3α3＝α4
：
由(I)知r(α1，α2，α3)＜3，而r(α1，α2，α3，α4)＝4，知方程组无解，故α4不能由α1，α2，α3线性表出.
(III)由A ＝β α1－2α2＋α3－α4＝β，
那么B＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] r(B)＝4.
∵r(η1，η2，…，ηt)＝t r(η1，η2，…，ηT，α)＝t＋1
r(α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt)＝t＋1 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.
(II)设β是Ax＝b的任意一个解，则β－α是Ax＝0的解.
从而β－α＝l1η1＋l2η2＋…＋ltηt.
β＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋ltηt β＝(1－l1－l2－…－lt)α＋l1η1＋l2η2＋…＋ltηt
(1)若a＝0，则λ1＝λ2＝0.
对[0E－A]x＝0，有
，从而α1＝[1，0，1]T，k1α1，其中k1为任意常数.
对[4E－A]x＝0，有
，从而α2＝[－5，4，－11]T，k2α2，其中k2为任意常数.
'
(2)若a＝4，则λ1＝λ2＝4.
对[0E－A]x＝0，有
，从而α3＝[1，0，1]T，k3α3，其中k3为任意常数.
由Aα＝b， Aηi＝0（i＝1，…，t），用A左乘（2），有
~
(k0＋k1＋k2＋…＋kt)Aα＋k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ktAηt＝0
即(k0＋k1＋k2＋…＋kt)b＝0
又b≠0，有k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0(3)
带入(2)有k1η1＋k2η2＋…＋ktηt＝0，
而η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必定线性无关，
—
[5，－3，1，0]T＋k1[2，3，1，0]T＋k2[－1，－2，1，－1]T，其中k1，k2为任意常数.
【例题5】A＝[α1，α2，α3]，α1≠0满足AB＝0.其中B＝ ，求α1，α2，α3的一个极大线性无关组,并用它表出其他向量.
【分析】从AB＝0要得想到两方面的信息：(I) r(A)＋r(B)≤n(II)B的列向量均是Ax＝0的解.
由r(A)＝r知β1，β2，…，βn－r是Ax＝0的基础解系 Aβi＝0（i＝1，2，…n－r） 特征值0有n－r个线性无关的特征向量.
故A和Λ相似.Λ＝
(II)由(I)知|A＋3E|＝3n－r.
【例题12】已知A是3阶矩阵，各行元素之和为2，且AB＝0，其中B＝ ，若β＝[2，3，4]T，求Anβ.
(I)α1能否由α2，α3线性表出
(II)α4能否由α1，α2，α3线性表出
(III)Bx＝γ求的通解.
【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的.
【证】(I)Ax＝β解的结构知r(A)＝3.
由α1＋2α2＋3α3－α4＝0
-
若r(A)＝2，则极大无关组为α1，α2（α1，α2必定线性无关，否则r(A)＝1）
【例题6】设A＝ ，r(A)＝2，则A*x＝0的通解是______.
【分析】若A为n阶方阵，则 ，从而由r(A)＝2知r(A*)＝1，又|A|＝0，得A*A＝A A*＝|A|E＝0 A的列向量是A*x＝0解.由解的结构知应填k1[□，□，□]T＋k2[□，□，□]T的形式.
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线性代数冲刺笔记
【例题1】B＝ ，A2－2AB＝E，r(AB－2BA＋3A)＝（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）与a有关
【解】∵A(A－2B)＝E
∴A可逆，且A－1＝A－2B
A(A－2B)＝(A－2B)A(A A－1＝A－1A)
AB＝BA
那么，AB－2BA＋3A＝3A－AB＝A(3E－B)
由Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关知r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＝s.
而r(α1，α2，…，αs)≤s，从而r(α1，α2，…，αs)＝s α1，α2，…，αs线性无关.
&
【例题4】设A＝[α1，α2，α3，α4]，Ax＝β的通解是[1，－2，1，－1]T＋k[1，3，2，0]T，B＝[α3，α2，α1，β＋α4]，γ＝α1－3α2＋5α3，
【分析】η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必定线性无关，从而证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关可以用定义法。
【证】(I)（用定义，重组，同乘）
设k0α＋k1(α＋η1)＋k2(α＋η2)＋…＋kT(α＋ηt)＝0(1)
即（k0＋k1＋k2＋…＋kT）α＋k1η1＋k2η2＋…＋kTηt＝0(2)
从而k1＝k2＝…＝kt＝0，带入(3)有k0＝0.
所以k0＝k1＝k2＝…＝kt＝0 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.
（或用秩）
#
∵η1，η2，…，ηt线性无关，α是Ax＝b的解 α不能由η1，η2，…，ηt线性表出.
x1η1＋x2η2＋…＋xtηt＝α无解 r(η1，η2，…，ηt)≠r(η1，η2，…，ηt，α)
(α2＋2α3)－(α1＋α2)是Ax＝b的解，即[1，1， 1，1]T
从而，[1，1，1，1]T＋k[－1，0， 1，2]T是Ax＝b的通解，其中k为任意常数.
}
【例题8】设A＝ 只有2个线性无关的特征向量.求A的特征值与特征向量.
【解】3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，则特征值源自文库有重根.
|λE－A|＝ ＝ ＝λ(λ－a)(λ－4)＝0.
从而n－r(B)＝2.
因为[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] ＝α1－3α2＋5α3
所以[5，－3，1，0]T是Bx＝γ的一个解.
由(I)知α1＋3α2＋2α3＝0，从而[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] ＝0，用观察法，取另一个向量使得它与[2，3，1，0]T线性无关，即
[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] ＝0，所以Bx＝γ的通解是
因为α1，α2，α3线性无关，故[α1，α2，α3]可逆，从而
[α1，α2，α3]－1A[α1，α2，α3]＝B＝ ，即A和B相似.
由B的特征值为0，2，2（B为上三角矩阵，或者用定义，由|λE－B|＝λ(λ－2)2＝0 λ＝0，2，2.）知A的特征值为0，2，2.
由已知，k1α1是A的属于特征值0的特征向量，其中k1为不等于零的任意常数.
从而α＋β是A的属于特征值 的特征向量.
,
同样有A(α－β)＝－ (α－β)，且(α－β)≠0，从而α－β是A的属于特征值－ 的特征向量.
(III)由(I)、 (II)知A的特征值是：0， ，－ ，又AT＝A（否则A不是二次型的矩阵） p＝1，q＝1
【例题10】设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，α1是Ax＝0的解，Aα2＝α1＋2α2，Aα3＝α1－3α2＋2α3.
(II)求|A＋3E|.
【分析】由λ2＋2λ＝0 λ＝0，－2.即A的特征值是，但是各有几个是不知道的，还需要具体分析.
#
【证】(I)（用秩）r(A)＝r A＝[α1，α2，…，αn]中有r个向量线性无关.
由A2＝－2A A[α1，α2，…，αn]＝－2[α1，α2，…，αn] α1，α2，…，αn是A的属于特征值－2的特征向量 －2有r个线性无关的特征向量.
由Am×n，r(A)＝n Ax＝0只有零解.
#
故k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0，又α1，α2，…，αs线性无关 k0＝k1＝k2＝…＝ks＝0.
从而Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关.
充分性（用秩）
因为Aα1，Aα2，…，Aαs＝A(α1，α2，…，αs)，所以
r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＝r(A(α1，α2，…，αs))≤r(α1，α2，…，αs)
(I)求A的特征值，特征向量.
(II)判断A是否和Λ相似
【分析】由Aα2＝α1＋2α2，Aα3＝α1－3α2＋2α3，α1是Ax＝0的解，得到A[α1，α2，α3] [0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3]＝[α1，α2，α3] .记B＝ ，若[α1，α2，α3]可逆，则必有A＝[α1，α2，α3]B[α1，α2，α3]－1，现在问题是[α1，α2，α3]可不可逆呢题目中又给出了α1，α2，α3线性无关，故三阶矩阵[α1，α2，α3]必可逆，所以A和B相似.所以求A的特征值和特征向量就转为求B的特征值与特征向量.记A的特征向量为ζ，则B的特征向量为P－1ζ，所以知道了P－1ζ，就可以求出ζ.
}
【解】由AB＝0 r(A)＋r(B)≤3.
因为A≠0，B≠0知1≤r(A)≤2，1≤r(A)≤2
当k≠9时，r(B)＝2，从而r(A)＝1，此时极大无关组为α1.由AB＝0得
(k－9)α3＝0
又k≠9，故α3＝0，α3＝0α1.
当k＝9时，r(B)＝1，从而r(A)＝1或2.
若r(A)＝1，则极大无关组为α1，
【解】而由r(A)＝2知r(A*)＝1，所以通解由n－r(B)＝3－1＝2个解向量构成.
又|A|＝0，得A*A＝A A*＝|A|E＝0 A的列向量是A*x＝0解.
即 [1，0，－1]T，[2，1，a]T，[3，2，4－a]T.
*
又[2，1，a]T＋[3，2，4－a]T＝[5，4，3]T，显然[1，0，－1]T与[5，4，3]T线性无关，故k1[1，0，－1]T＋k2[5，4，3]T是A*x＝0的通解，其中k1，k2为任意常数.
对[4E－A]x＝0，有
，从而α4＝[1，4，1]T，k4α4，其中k4为任意常数.
【例题9】设A是3阶矩阵，且αTβ＝ ，A＝αβT＋βαT.
(I)证明0是A的特征值.
(II)证明α＋β，α－β是A的特征向量.
[
(III)求二次型xTAx的正负惯性指数.
【证】(I)∵αTβ＝βTα＝ .
∴βαT，βαT是秩为1的矩阵.
即β可由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt表出.
】
【例题3】Am×n，r(A)＝n，α1，α2，…，αs是n维列向量.
证明：α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关.
【证】必要性（用定义）
设k1Aα1＋k2Aα2＋…＋ksAαs＝0，即A(k1α1＋k2α2＋…＋ksαs)＝0.
从而r(A)＝r(αβT＋βαT)≤r(αβT)＋r(βαT)＝2＜3.即|A|＝0 0是A的特征值.
(II)A(α＋β)＝(αβT＋βαT)(α＋β)＝αβTα＋βαTα＋αβTβ＋βαTβ
＝ α＋β＋α＋ β＝ (α＋β)，
又(α＋β)≠0，否则α＋β＝0 α＝－β αTβ＝βTα＝－1≠ （α，β是3维单位列向量）.
而问A是否和Λ相似，由于已经求出了A的特征值，特征向量，则可以从相似对角化的充分必要条件给予推断.也可以根据相似的传递性，由于上一步中已经得到了A和B相似，故若有B和Λ相似，则有A是否和Λ相似.
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【解】(I)A[α1，α2，α3]＝[0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3]＝[α1，α2，α3] .
对于B的属于特征值2的特征向量，有ζ1＝[1，2，0]T=[α1，α2，α3] ＝[α1＋2α2]， k2[α1＋2α2]是A的属于特征值2的特征向量，其中k2为不等于零的任意常数.
(II)由(I)知A只有2个线性无关的特征向量，故A不和Λ相似.
【例题11】设A2＋2A＝0，r(A)＝r.
(I)证明A和Λ相似.
《
又，A可逆，知
r(AB－2BA＋3A)＝r(A(3E－B))＝r(3E－B)
a有|3E－B|＝0，又3E－B有二阶子式不得零，从而r(3E－B)＝2.
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【例题2】Am×n，η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，α是Ax＝b的一个解.
(I)证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.
(II)证明Ax＝b的任意一个解都可以由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性表出.
【解】因为A各行元素之和为2，所以
A ＝2 2是A的特征值， 是对应的特征向量，记α1＝ .