推理与证明——以几何教学为例第二节

第二节几何教学的案例

下面我们以几何教学为例，通过案例，看一看关于围绕推理与证明水平培养的一些问题。

案例1：北京昌平阳坊中学，谷长征老师的“等腰三角形的性质”（26分16秒的视频材料）的课堂实录片断。

问题与情境师生行

为设计意图

情境导入：

观察下列图片，你发现这些图片中的几何图形有什么特点？

复习提问：

1、叫做等腰三角形。

2、如图1，在△ABC中，AB=AC

则△ABC中三角形，是腰，是底边; 是顶角，是底角。

实践探究：

1、什么叫等腰三角形？知道等腰三角形你能得到什么结论？

2、等腰三角形还有别的特点吗？请同学们通过动手折叠等腰三角形（纸片）实行探究。

3、说说你的发现。并向大家展示一下，你是怎样发现这个结论的？看图，观

察思考

回答。

完成学

案第一

题。

学生动

手折叠

等腰三

角形对

等腰三

角形性

质实行

探究。对

折叠等

有实际

生活引

出等腰

三角形，

激发学

生的求

知欲望。

激发学

生的学

习兴趣，

问题分

层设计，

满足不

同层次

学生的

需求。

通过动

手，加深

学生对

知识形

成过程

4、同学们通过实践得到的结论是不是等腰三角形的性质？为什么？

5、如何证明？

6、猜想：

（1）等腰三角形的底角是什么关系？

（2）折痕是等腰三角形中的什么线段？腰三角

形出现

的种种

现象实

行观察，

思考，归

纳、猜

想。

回答问

题，并简

述理由。

的理解，

发展学

生的思

维水平、

动手操

作水平

和数学

语言表

达水平。

激发学

生的求

知欲，培

养学生

的探索

意识和

创新精

神

性质证明

性质1：等腰三角形的两个底角相等。

1、分析命题的条件、结论。

A

结合图形写出已知、求证。

C

B

思考：（1）证明两个角相等的方法有哪些？

（2）在实践与探究中，你是如何得到等腰三学生思

考，回答

问题。

总结所

学知识，

回顾实

践与探

究的过

程，寻求

定理的

增强知识

形成过程

的教学，持

续完善知

识体系，教

给学生分

析问题的

方法。

引导学生

把实践操

作与逻辑

证明结合

起来，培养

学生从实

角形两个底角相等这个结论的？ （3）在这道题中，通过什么方法证明两个角相等？ （4）如何把这个等腰三角形转化为两个全等的三角形？ （5）怎样作辅助线？ 2、小结证明过程，指出辅助线的作法不唯一性，提示这个定理还能不能通过别的方法来证明，留作课下练习。 3、性质定理的符号语言 强调：“等边对等角”指的是在同一个三角形中。 性质2：（三线合一）

1、结合定理证明过程，协助学生证明“三线合一”的性质。

2、结合图形，讲清条件、结论。

3、协助学生掌握“三线合一”的符号语言。

A

4、课件验证，强调“三线合一”是在等腰三角形中。 等腰三角形性质的应用 试一试： C B

1.如图在△ABC 中

证明方法。

由一名

学生口述定理

证明过程，教师

板书。

结合图形，掌握定理的符号语

言。

证明

“三线合一”的性质。

看课件演示，加深对

“三线合一”性质的理解。

结合图形，积极思考， 回答问

题。 践中获取知识的水

平。

注重对一题多解的

练习，为学习基础较

好的学生

留出发展

的空间。

逻辑证明加上课件

演示，协助学生完成了由特殊到一般这

个理解过程，

加深学生对知识的理解。

1题短小灵活，是对所学知识

的直接应用，照顾了学习有困

难的学生。

分析：这是一节传统内容的课。谷老师也是有着19年教龄的老教师。能够说课上得非常流畅。教师经验丰富，能够很敏锐地发现学生思维上的特点。

我想问几个问题，就是您是

1．您是如何对待新课程中传统几何内容的处理方式的？

2．结合这个案例，请您谈一谈在初中阶段培养学生的推理与证明水平的主要困难是什么？

案例2：北京市十一学校，葛莉老师的“地板砖的奥秘”（17分57秒的视频材料）的课堂实录片断。

们使用所

学过的数

学知识，

探索其中

的奥秘。

展示学生收集到的一些

精美的图案，观察拼装的

特点。

学生通过观察与讨论可知：选择不同的多边形按照一定的拼装要求，就可拼装出丰富多彩的图案。提出拼装具体要求：任意两块图形不能重叠，也不能留有空隙；而且，多边形的顶点只能与顶点重合。

生活中最常见的是用正多边形拼装的，所以我们从正多边形开始研究。趣，使学生感受到生活中处处有数学，思考将现实问题数学化的过程，体验到数学的应用价值，使学生学会用数学的眼光看待多姿多彩的世界．

实践探索师生互动

探求奥秘一．拼一拼（动手）：

某广场要铺设地砖，请你根据已有知识，协

助设计按要求的铺设方案。

①限用一种正多边形；

②用两种正多边形组合拼装。

学生四人一组分工合作，按要求拼装。

二．想一想（动脑）：

（１）为什么有的图形能铺满地面，有的图

形却不能？究竟有什么规律呢？

（２）如果只用一种正多边形，能否铺满地

面的关键是什么？哪几种正多边形能铺满

平面？能用数学知识解释吗？

（3）以正方形和正三角形组合拼图为例，

引导学生思考：围绕一点周围有几个正方形

和正三角形？（分别有三个正三角形和两个

正方形）对于正多边形个数能用数学方法分

析推导出来吗？

先独立思考，然后小组实行交流、讨论，在

给学生一个探索的空

间，使学生能够真正地

的在“做”中学数学，

在做的过程中，注重学

生经历了知识的形成

过程、注重学生的探究

学习过程，体现了学生

的主体作用。

理解由感性上升到理

性。