线性代数练习册(第1章)

第一章习题一（行列式的基本概念）
一、填空题
1. 按自然数从小到大为标准次序，排列2413的逆序数是 .
2. 按自然数从小到大为标准次序，排列4637251的逆序数是 .
3. 按自然数从小到大为标准次序，排列()n n 2241213 -的逆序数是 .
4.若排列4153972
j i 为偶排列，则=i ，=j . 5. 四阶行列式中含有因子2311a a 的项是 . 6. 在5级行列式中，项4524513213a a a a a 前带的符号是 . 二、解答题 1. 求行列式的值.
（1） 2001462
1
3-；
（2） 9876543
21.
2. 证明
（1）))()((1
11
2
2
2a c c b b a c b a c b a
---=.
（2）()3
2
2
11122b a b b a a b ab
a -=+.
（3）
()()424231314
4
312211
000000y y x x y y x x x y x y y x y x --=.
第一章习题二（行列式的性质）
一、填空题
1.行列式4
032121
01的值是 .
2. 行列式2
1
13
127
074
58-的值是 .
3. 行列式
322000000
111d d c d
c b a = .；=d
c
b a .
二、解答题
1. 计算下列各行列式：
（1）
7
1100251020214214.
（2）
2
605232112131412-.
（3）ef
cf
bf de cd bd
ae ac ab ---. 2. 证明
（1）2222
22
22
24c b a b a bc
ca
bc a c ab ca ab c b =+++.
（2）()()()()()()()()()()()()03213213213212
2222222
2222
2222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a .
（3）()()()()()()()d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d
c b a
+++------=4
4442222
1111.
第一章习题三（行列式按行或列展开）
一、填空题
1．设4阶行列式122130431
2107301----=D ,则
（1)D 的代数余子式14A = ； （2) 1413121122A A A A -+-= ；
2．行列式1
233415
2
--=a
D 的代数余512=A ，则a = .
3．行列式x
d d d x c c c x b b b x a a a D 3
2
1
321321321
4=
，则=+++41312111A A A A .
二、解答题
1.设112101
3=z y x ，求1
1
1314
111z
y x ---.
2. 计算n 阶行列式
n
22
2
232
2
2
222
2221.
3．证明
122
1100001
00
1n n
n n x x
D x a a a a a x
----=
-
+
12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++++≥.
4．计算行列式
00100200
1000
00n D n n =
-.
5．计算n 阶行列式
000100
000000000100
0n a a a D a a
=
.
第一章习题四（克拉默法则）
一、填空题
1.如果线性方程组的系数行列式D ，则线性方程组一定有解且解是 .
2.如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ，则齐次线性方程组没有 解.
3.当=λ 时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+0
2,0,02,043214
131x x x x x x x x λλ有非零解.
二、解答题
1.用克拉默法则解线性方程组.
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+=-+-=+--=+-.
5534,12523,432,
5433214214
31432x x x x x x x x x x x x
2.已知齐次线性方程组()()()⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=--=++-0
124,02,
03321
32321x x x x x x x x λλλ有非零解，求λ的值.
3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
2,0,0321
321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？
4.问λ取何值时，齐次线性方程组()()()⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=+-+=+--0
1,032,
0421321
321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？
5（思考题）． 计算行列式
β
ααββ
αβααββ
ααββ
α+++++=
1
0000010001
000
n D .。