数值分析第二章答案.doc

1.当x = l,_l,2时，y（x） = O,—3,4,求/'（x）的二次插值多项式。解：

兀。=1,兀［=—1, x2 = 2,

f(x0) = 0,/(%!)= -3,f(x2) = 4;

g) J—厂)扣+ i)(_ 刁

(兀0 —西)(兀0—兀2)2

血)=^^ = ”1)(—2)

(x2 -x0)(x2 -xj 3

则二次拉格朗日插值多项式为

2

厶2(工)=工几/*(工)

k=0

5

2

3 7

=—x +—x——

6 2 3 5 设/(x) e C2［a,b］且f(a) = f(Z?) = 0,求证：

max|f(x)|< |(Z?-a)2 max|f w(x)|.

解：令x0=a,x1 = b,以此为插值节点，则线性插值多项式为

厶（对=于（心）兰二^+于⑺“乂也

x o - %! X-X o

又•••f(o) = f(Z7)= 0

/.厶(x) = 0

插值余项为7?(兀)=/⑴一厶(x) = -|/\x)(x-x0 )(%-%!)••• /(X)= |■广'(x)(x — x(J(x — xj

=-@ —a)?

4

•■- max|f(x)| <|(Z?-a)2 maxlf^x)!，

16 .求一个次数不高于4次的多项式P ( x ),使它满足

==他）

x-b

a-b

+ /@)

x-a

x-a

——3厶(x) +

4Z (x)

P(0) = P'(0) = O,P(1) = P'⑴=0,P(2) = 0

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式兀。=0,兀］=1

儿=o, X = 1

加o = 0,加1 = 1

1 1

H3(X)=工y j a j(X)+ 工卩0/(X)

>0 >0

呦⑴= (1-2匚直)(兰十

x o -Xj X o - Xj

= (l + 2x)(x —1尸a©) = (1 一2 仝二^)(仝二

兀1 一兀0 %! - X

o

= (3-2Q?

0Jx) = x(x —1尸

0](x) = (x — l)/

H£x)— (3 - 2.Y).Y" + (x — 1).Y"——x' + 2.Y"

设P(x) = //3(x) + A(x -X O)2(X - X] )2

其中，A为待定常数

P(2) = 1

P(x) = -x3 + 2x2 + Ax2(x-1)2

:.A = -

4

从而P(X)=-X2(X-3)2

4

19.求f（x） = x4在［a,b］上分段埃尔米特插值，并估计误差。

解：

在［a,b］区间上，x0 =a,x n =b,h t = x M -x t,i = 0,1,…,”一1,

令力=max h j•.•/(x) = x4,/f(x) = 4x3

函数/'(x)在区间［x;,x;+1］±的分段埃尔米特插值函数为人(对=(汇血)"1+2上

X M~X i

X i~X i

+\

+(仝亠2(1 + 2 土±L)g)

X M~X i X i~X M

+(仝二电L)2(x = )广(兀)

Y — Y

+（X 兀）"x -兀+］）广（兀+1）

<—max 24 aSxSb

+(X —兀)2 (%-2x + 2兀+1)

4* ,

+ -(X - X“］) 2(X -兀)

n ；

A X 3

+—^(x-x,.)2(x-x,.+l )

误差为 |f(x)-/A (x)|

= ~\f w (^)\(x ~x i)2(x ~ x i+l)

f (4,( x) = 4! =24

20.给定数据表如下:

Xj

0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 丫」 0.5000

0.5477 0.6245 0.6708 0.7280

(1) S f (0.25) = 1.0000, S'(0・53) = 0.6868;

(2) S"(0.25) = S"(0.53) = 0.

解：

/io = £ - A ：。= 0.05

\= x 2-x 1= 0.09

h 1 = x 3-x 1= 0.06

h 3=x 4-x 3= 0.08

h.} h. •・• “•=—— ---- ,2.= ------ -- —— 7 h. ,-h. J h. .-h. j-i J J -I J

5 3 3 1

• . “1 =忆'“2 =〒'“3 = ' “4 = 1

9 2 4 A = =~5^ = i

f [x (),xj = /(xj-心)=0.9540 无―％

/ [x p x 2] = 0.8533

/ [x 2,x 3] = 0.7717

f[x 3,.r 4] = 0.7150

(l)S'(xo)= 1.0000,S'E) = 0.6868

do=2(/[®x,]-兀)=-5.5200

h o

6 企止皿1 = —4.315

7 /l0 +/l] “6止止皿』一3.2640

% +力2

心6 血H 一2.4300 h2 +居

d4=^f；-f[x.,x4]) = -2.n50

n3

由此得矩阵形式的方程组为