空间点线面的位置关系及四个公理(4)

高考专题：空间点、直线、平面的位置关系及四个公理

一．空间点、直线、平面的位置关系 1．空间点、直线、平面之间的位置关系

2．异面直线所成的角

(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．即，异面直线的平行线的夹角就是两异面直线所成的角。 (2)范围：⎝⎛⎦

⎤0，π

2. 3．异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，与这个平面内不经过该点的直线是异面直线．即，若l B l B A ∉⊂∈∉,,,ααα 则AB 与l 异面。 4.异面直线所成的角的求解方法：

方法一，定义法： 异面直线所成的角，根据定义，以“运动”观点，用“平移转化”的方

法，使之成为两相交直线所成的角，当异面直线垂直时，应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为。

90，也是不可忽视的方法。

其求解步骤为：做平移找出或做出有关的角-----证明它符合定义即认定----通过解三角形求角。 简言之，“一做，二证，三算”

注意：第二步认定的表述为：Λ∠或其补角就是异面直线----与----所成的角。

方法二，三弦公式法：如图，已知PA 与PB 分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21，有21cos cos cos θθθ⋅=。

【真题再现】1.（2014全国二）:正方体1111D C B A -ABCD 中，若E 、F 分别为11B A 和1BB 的中点，则AE 与CF 所成角的余弦值是 .

2.(2017理科全国三)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；

其中正确的是 ________ .(填写所有正确结论的编号)

推论：最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角（即，线面角）是这条斜线和平面内所有直线所成的一切角中的最小角。

【真题再现】（2018浙江8）已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则（ ） A ．θ1≤θ2≤θ3

B ．θ3≤θ2≤θ1

C ．θ1≤θ3≤θ2

D ．θ2≤θ3≤θ1

方法三，空间向量法：建立恰当的空间直角坐标系，并设异面直线AB 与CD 所成的角为θ，则 =

θcos

【考点专练】

1.（09天津卷）在棱长为2的正方体1111D C B A -ABCD 中，O 是底面ABCD 的中心，E 、

F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ）

A .

510

B. 515

C. 54

D. 3

2 2.在空间四边形ABCD 中，已知AD=1，BC=3，且AD ⊥BC ，对角线2

13

=

BD ，AC=2

3

，求AC 和BD 所成的角。 3.已知异面直线a,b 所成的角为。60，在过空间一定点P 的直线中，与a,,b 所成的角均为。60的直线有多少条？过P 与a,b 所成角均为。

50，与均为。

70的直线又各有多少呢？ 4.已知两异面直线所成的角为3

π

，直线l 与两异面直线均成等角，则这个角θ的取值范围是

5.线段AB 夹在直二面角βα--l 内，βα∈∈B A ,，如果AB 与平面βα、所成的角分别为ϕθ、，那么ϕθ+应满足（ ）

A . 大于。

90 B. 小于。

90 C . 等于。

90 D. 小于或等于。

90

6.（08全国理）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这

个棱柱的侧面对角线D E 1与1BC 所成的角为（ ）A . 。90 B . 。60 C . 。40 D .。

120

7．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

解析：C [连接B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角， 又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.]

8.(2018·全国Ⅱ卷理科)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )

A.15

B.56

C.55

D.

2

2

9.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.25 C.35 D.4

5

10.(2018·全国Ⅱ卷文科)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.

22 B.32 C.52 D.7

2

解析：C [如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成的角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，

则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为5

2。

11．(2017·全国Ⅱ卷理科)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2， BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )

A.

32 B.155 C.105 D.3

3

12.已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1

所成角的余弦值为( )A .

1010 B. 15 C. 35 D. 31010

解析：D [连BA 1，则在正四棱柱中可得BA 1∥CD 1，∴∠A 1BE 即为异面直线BE 与CD 1所成角(或其补角)．设AA 1＝2AB ＝2，则在△A 1BE 中，BE ＝2，EA 1＝1，BA 2＝5，由余弦定理得cos ∠A 1BE ＝(2)2＋(5)2－122×2×5

＝31010，∴异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为310

10.