空间点线面的位置关系及四个公理(4)

高考专题：空间点、直线、平面的位置关系及四个公理
一．空间点、直线、平面的位置关系 1．空间点、直线、平面之间的位置关系
2．异面直线所成的角
(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．即，异面直线的平行线的夹角就是两异面直线所成的角。

(2)范围：⎝⎛⎦
⎤0，π
2. 3．异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，与这个平面内不经过该点的直线是异面直线．即，若l B l B A ∉⊂∈∉,,,ααα 则AB 与l 异面。

4.异面直线所成的角的求解方法：
方法一，定义法： 异面直线所成的角，根据定义，以“运动”观点，用“平移转化”的方
法，使之成为两相交直线所成的角，当异面直线垂直时，应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为。

90，也是不可忽视的方法。

其求解步骤为：做平移找出或做出有关的角-----证明它符合定义即认定----通过解三角形求角。

简言之，“一做，二证，三算”
注意：第二步认定的表述为：Λ∠或其补角就是异面直线----与----所成的角。

方法二，三弦公式法：如图，已知PA 与PB 分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21，有21cos cos cos θθθ⋅=。

【真题再现】1.（2014全国二）:正方体1111D C B A -ABCD 中，若E 、F 分别为11B A 和1BB 的中点，则AE 与CF 所成角的余弦值是 .
2.(2017理科全国三)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；
其中正确的是 ________ .(填写所有正确结论的编号)
推论：最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角（即，线面角）是这条斜线和平面内所有直线所成的一切角中的最小角。

【真题再现】（2018浙江8）已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则（ ） A ．θ1≤θ2≤θ3
B ．θ3≤θ2≤θ1
C ．θ1≤θ3≤θ2
D ．θ2≤θ3≤θ1
方法三，空间向量法：建立恰当的空间直角坐标系，并设异面直线AB 与CD 所成的角为θ，则 =
θcos
【考点专练】
1.（09天津卷）在棱长为2的正方体1111D C B A -ABCD 中，O 是底面ABCD 的中心，E 、
F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ）
A .
510
B. 515
C. 54
D. 3
2 2.在空间四边形ABCD 中，已知AD=1，BC=3，且AD ⊥BC ，对角线2
13
=
BD ，AC=2
3
，求AC 和BD 所成的角。

3.已知异面直线a,b 所成的角为。

60，在过空间一定点P 的直线中，与a,,b 所成的角均为。

60的直线有多少条？过P 与a,b 所成角均为。

50，与均为。

70的直线又各有多少呢？ 4.已知两异面直线所成的角为3
π
，直线l 与两异面直线均成等角，则这个角θ的取值范围是
5.线段AB 夹在直二面角βα--l 内，βα∈∈B A ,，如果AB 与平面βα、所成的角分别为ϕθ、，那么ϕθ+应满足（ ）
A . 大于。

90 B. 小于。

90 C . 等于。

90 D. 小于或等于。

90
6.（08全国理）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这
个棱柱的侧面对角线D E 1与1BC 所成的角为（ ）A . 。

90 B . 。

60 C . 。

40 D .。

120
7．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
解析：C [连接B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角， 又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.]
8.(2018·全国Ⅱ卷理科)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )
A.15
B.56
C.55
D.
2
2
9.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.25 C.35 D.4
5
10.(2018·全国Ⅱ卷文科)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.
22 B.32 C.52 D.7
2
解析：C [如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成的角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，
则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为5
2。

11．(2017·全国Ⅱ卷理科)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2， BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )
A.
32 B.155 C.105 D.3
3
12.已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1
所成角的余弦值为( )A .
1010 B. 15 C. 35 D. 31010
解析：D [连BA 1，则在正四棱柱中可得BA 1∥CD 1，∴∠A 1BE 即为异面直线BE 与CD 1所成角(或其补角)．设AA 1＝2AB ＝2，则在△A 1BE 中，BE ＝2，EA 1＝1，BA 2＝5，由余弦定理得cos ∠A 1BE ＝(2)2＋(5)2－122×2×5
＝31010，∴异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为310
10.
13．如图，E 、F 分别是三棱锥P -ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为 ________ . 答案：60°
解析：取AC 的中点D ，连接DE 、DF ，
则DE ∥PC ，DF ∥AB ，∠EDF 或其补角为异面直线AB 与PC 所成的角， 利用余弦定理可求得∠EDF ＝120°，所以异面直线AB 与PC 所成的角为60°.
14.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中。

已知AB=4，AD=3，1AA =2，E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB=FB=1
（1）求二面角1C DE C --的正切值；（2）求直线1EC 与1FD 所成角的余弦值
15.如图，在二面角l D C B A l ∈∈--、、,,αβα，ABCD 是矩形，αβ⊥∈PA P ,，且PA=AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点。

（1）证明：MN 是异面直线AB 和PC
（2）求异面直线PA 与MN 所成的角。

16.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，。

90=∠BAD ，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成
（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦大小。

17．(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 111ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22 C.33 D.1
3
解析：A [如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，
因为α∥平面CB 1D 1，所以m 1∥m ，又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 且平面B 1D 1C ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m 1，故B 1D 1∥m .
因为平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，同理可证CD 1∥n . 故m ，n 所成角即直线B 1D 1与CD 1所成角，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形，故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为
3
2
.] 18．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°；
③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上四个命题中，正确命题的序号是 ________ . 解析：如图，①AB ⊥EF ，正确；②显然AB ∥CM ，所以不正确；③EF 与MN 是异面直线，所
以正确；④MN 与CD 异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.
答案：①③
19．如图所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.
(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?
(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．
解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .
因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . 又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝1
2EC ＝FB ，
所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .
因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ， 故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．
法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .
因为EC ＝2FB ＝2，
所以PQ ∥AE ，PB ∥EF ，
所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，
因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ∥平面AEF . 又因为BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF . 故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．
(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．
易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，
所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35
＝155， 所以BM 与EF 所成的角的余弦值为15
5.
二．四个公理及其应用：
1.公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理的应用：（1）证明直线在平面内：
（2）证明点在平面内：
2.公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1、两条平行直线确定唯一一个平面。

推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。

推论3、两条相交直线确定唯一一个平面。

公理的应用：确定平面或证明多点共面。

3.公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
线。

简言之，“面面相交成一线”。

公理的应用：（1）判断两平面是否相交：
（2）画相交两平面的交线：
（3）证明多点共线：
（4）证明三线共点：
4.公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。

推论：等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 公理的应用：证明两直线平行或证明角相等。

【考点专练】
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．()
(2)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()
(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．()
(4)没有公共点的两条直线是异面直线．()
(5)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×
2．在下列命题中，不是公理的是()
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：A[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．]
3．(2019·贵阳调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行解析：D[依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．]
4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()
A．相交或平行B．相交或异C．平行或异面D．相交、平行或异面
解析：D[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]
5．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作() A．1条B．2条C．3条D．4条
解析：D[如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．]
6.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．
[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
7.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB、AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD.在△BCD中，BG
GC＝DH
HC＝
1
2，∴GH∥BD.∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面．
∴四边形FEGH为梯形，∴GE与HF交于一点，设EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．
8．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
解析：A[首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．] 9．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
解析：C[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c 相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直
11．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()
A ．A ，M ，O 三点共线
B ．A ，M ，O ，A 1不共面
C ．A ，M ，C ，O 不共面
D ．B ，B 1，O ，M 共面
解析：A [连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1， ∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线．]
12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：
①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；
③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.
其中正确的结论为 ________ (注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案：③④
13．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定
解析：D [如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；若取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直．因此l 1与l 4的位置关系不能确定．]
14.（2016全国二卷理科）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：
①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥．
②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥．
③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．
④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．
其中正确的命题有： ________ (注：填写所有正确命题的编号)．【答案】②③④。