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大学物理习题课
——磁学部分
1
稳恒磁场与电磁相互作用
一. 磁感应强度 B 的计算
1)
叠加法或积分法
:
电流元的磁场分布 dB
0 4
Idl rˆ r2
2) 应用安培环路定理 : Bdl 0 Ii内
L
(L)
3) 典型磁场 : 长直导线的磁场:
B4 0Ir(cos1cos2) ( 有限长 )
试求: x 轴上 P 点的磁感应强度的大小和方向;
解：在x处取宽度为dx的无限载流窄长条；其电流
dIdx
其在 P 点的磁感应强度为：
d B 0 d / 2 I ( L d x )方向：
y
dx
整个载流金属板在 P 点的磁场
BdB0L2(L0ddxx)
oP dx
0lndL, 2 d
方向：
L
11
例2 如图一通有电流 I、半径为 r的半圆形导线放在磁感应
强度为 B 的均匀磁场中，导线平面与磁感强度 B 垂直。求磁 场作用于导线的力。
解：
dFIdlB
dF
dFIBdl
d F x d F c o sIB d lc o s
dF ydFsinIB dlsin
4R
8 R
2R
4R
(C )0I,方 向 为 ； 0I， 方 向 为(D )0I,方 向 为 ； 0I， 方 向 为
4R
8 R
8 R
4R
答案: (A)
R
O
R
B 0I
O
2R 2
10
1. 在 xy 平面内,有一宽度为 L 的无限长载流薄金属板,
沿 x 方向单位长度上的电流（线电流密度）为 。
根据对称性分析：
y
C
Idl
r
d
B
o
B
dF
I
Ax
F x 0 F Fy j
FydFydFsin
12
FdFydFsin
dF
BdlIsin
因 dlrd
FBIr πsind 0 BI2r
yB
C
Idl
r
I
d
B
o
Ax
F B I2 rj B IA B j AB为缺口的长度
(A) 0I 2R
(C) 0I 0I 2R 2R
(B) 0I
4R
(D) 0I 0I 4R 4R
答案: (C)
R O
P
9
练习2. 将两条无限长的直导线分别从中间部分弯成 半径为R的半圆弧和1/4圆弧，如图所示，当通以电 流I时，圆心O处的磁感应强度为( )：
(A )0I,方 向 为 ； 0I， 方 向 为(B )0I,方 向 为 ； 0I， 方 向 为
13
3. 一半径为R的无限长导体圆柱，在离轴线d处挖去 半径为r0(r0<d)的无限长小圆柱，两圆柱的轴线互相 平行，余下部分沿轴向流过均匀的电流密度。求:
(1) 大圆柱轴线上的磁感应强度；
(2) 空圆柱轴线上的磁感应强度；
(3) 证明挖空部分为均匀磁场
解：采用填补法，将此空心圆 柱假想为电流密度为j、半径为 R的实心圆柱电流与电流密度 为-j的半径为r0的实心圆柱电流 的叠加
所以，空圆柱轴线上的磁感应强度
B'
B1'
0d
2
j
方向：垂直于纸面向里
16
(3) 如图所示，设P为空心圆柱内的
任一点，设OP=r1, O‘P=r2，-j电流 在P点产生的磁感应强度由安培环路
定理得
B2
0
2
j r2
j在P点产生的磁感应强度为
R
L
(L 包)围
有旋场;
4
三. 磁场力 1. 运动电荷受力: 2. 电流元受力:
F qvB
Байду номын сангаас
dFIldB FLIdl B
3. 载流线圈受磁力矩: M IS B P m B
磁矩: Pm IS
( N 匝 Pm N IS )
5
四. 磁介质
磁介质中的高斯定理: B d s (B 0 B )d s 0
B0 (r0) 3
通电螺线管: B1 20n(Ico2s co1s) ( 有限长轴线上 )
B0nI ( 无限长管内任一点 )
B
1 2
0nI
( 半限长面中心处 )
二.磁场的性质
1. 高斯:定 B ds 理 0,
无源场;
2. 安培 s 环 :B 路 dl定 0 I理
B 0I 2 r
( 无限长 )
B 0I
( 半限长 )
4 r
2
圆电流轴线上: B 0I sin3 ( 方向沿轴线方向 )
2R
B 0I
2R
( 圆电流中心 )
载流圆柱体:
B 0I （ 为圆心角） 2R 2
B20 RI2r,(rR)
B2 0I
1,(rR) r
B B0
0r02
2d
j
方向：垂直于纸面向外
15
(2) 同理，半径为R的载流圆柱体在O’O’轴上产生的磁感 应强度由安培环路定理得
B1 d l 0 I i
B1 2 d 0 d 2 j
B1
0d 2
j
方向：垂直于纸面向里
半径为r0的载流圆柱在O’O’轴上产生的磁感应强度B0’=0
O’ O j
14
半径为R的载流圆柱体在OO轴上产生的磁场B1=0；半径 为r0的载流圆柱在OO轴上产生的磁感应强度由安培环路 定理得
B 0 d l 0 I i
B 0 2 d 0 r0 2 j
B0
0 r0 2 2d
j
方向：垂直于纸面向外
即，大圆柱轴线上的磁感应强度
s
s
磁介质中的安培环路定理: Hdl I传 (L包围 )
磁场强度：
H B
6
电磁感应
1. 感应电动势
法拉第电磁感应定律 d dt
（掌握符号规则）
动生电动势
动ab
(b) (vB)
dl （搞清两个夹角）
(a)
感生电动势
感 ab
B
Ekdl
S
dS t
E k : 感生电场（非保守场）
7
2. 自感和互感
L
I
L
L
dI dt
Wm
1 2
LI 2
3. 磁场能量
m
1 2
B2
M 12 21
I2 I1
12 M
dI2 dt
21 M
d I1 dt
Wm
V
1 2
B2
dV
8
练习1. 一根无限长的直导线在P处弯成半径为R的细 圆环，如图所示，当通以电流I时，圆心O处的磁感 应强度的大小为( )：
——磁学部分
1
稳恒磁场与电磁相互作用
一. 磁感应强度 B 的计算
1)
叠加法或积分法
:
电流元的磁场分布 dB
0 4
Idl rˆ r2
2) 应用安培环路定理 : Bdl 0 Ii内
L
(L)
3) 典型磁场 : 长直导线的磁场:
B4 0Ir(cos1cos2) ( 有限长 )
试求: x 轴上 P 点的磁感应强度的大小和方向;
解：在x处取宽度为dx的无限载流窄长条；其电流
dIdx
其在 P 点的磁感应强度为：
d B 0 d / 2 I ( L d x )方向：
y
dx
整个载流金属板在 P 点的磁场
BdB0L2(L0ddxx)
oP dx
0lndL, 2 d
方向：
L
11
例2 如图一通有电流 I、半径为 r的半圆形导线放在磁感应
强度为 B 的均匀磁场中，导线平面与磁感强度 B 垂直。求磁 场作用于导线的力。
解：
dFIdlB
dF
dFIBdl
d F x d F c o sIB d lc o s
dF ydFsinIB dlsin
4R
8 R
2R
4R
(C )0I,方 向 为 ； 0I， 方 向 为(D )0I,方 向 为 ； 0I， 方 向 为
4R
8 R
8 R
4R
答案: (A)
R
O
R
B 0I
O
2R 2
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1. 在 xy 平面内,有一宽度为 L 的无限长载流薄金属板,
沿 x 方向单位长度上的电流（线电流密度）为 。
根据对称性分析：
y
C
Idl
r
d
B
o
B
dF
I
Ax
F x 0 F Fy j
FydFydFsin
12
FdFydFsin
dF
BdlIsin
因 dlrd
FBIr πsind 0 BI2r
yB
C
Idl
r
I
d
B
o
Ax
F B I2 rj B IA B j AB为缺口的长度
(A) 0I 2R
(C) 0I 0I 2R 2R
(B) 0I
4R
(D) 0I 0I 4R 4R
答案: (C)
R O
P
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练习2. 将两条无限长的直导线分别从中间部分弯成 半径为R的半圆弧和1/4圆弧，如图所示，当通以电 流I时，圆心O处的磁感应强度为( )：
(A )0I,方 向 为 ； 0I， 方 向 为(B )0I,方 向 为 ； 0I， 方 向 为
13
3. 一半径为R的无限长导体圆柱，在离轴线d处挖去 半径为r0(r0<d)的无限长小圆柱，两圆柱的轴线互相 平行，余下部分沿轴向流过均匀的电流密度。求:
(1) 大圆柱轴线上的磁感应强度；
(2) 空圆柱轴线上的磁感应强度；
(3) 证明挖空部分为均匀磁场
解：采用填补法，将此空心圆 柱假想为电流密度为j、半径为 R的实心圆柱电流与电流密度 为-j的半径为r0的实心圆柱电流 的叠加
所以，空圆柱轴线上的磁感应强度
B'
B1'
0d
2
j
方向：垂直于纸面向里
16
(3) 如图所示，设P为空心圆柱内的
任一点，设OP=r1, O‘P=r2，-j电流 在P点产生的磁感应强度由安培环路
定理得
B2
0
2
j r2
j在P点产生的磁感应强度为
R
L
(L 包)围
有旋场;
4
三. 磁场力 1. 运动电荷受力: 2. 电流元受力:
F qvB
Байду номын сангаас
dFIldB FLIdl B
3. 载流线圈受磁力矩: M IS B P m B
磁矩: Pm IS
( N 匝 Pm N IS )
5
四. 磁介质
磁介质中的高斯定理: B d s (B 0 B )d s 0
B0 (r0) 3
通电螺线管: B1 20n(Ico2s co1s) ( 有限长轴线上 )
B0nI ( 无限长管内任一点 )
B
1 2
0nI
( 半限长面中心处 )
二.磁场的性质
1. 高斯:定 B ds 理 0,
无源场;
2. 安培 s 环 :B 路 dl定 0 I理
B 0I 2 r
( 无限长 )
B 0I
( 半限长 )
4 r
2
圆电流轴线上: B 0I sin3 ( 方向沿轴线方向 )
2R
B 0I
2R
( 圆电流中心 )
载流圆柱体:
B 0I （ 为圆心角） 2R 2
B20 RI2r,(rR)
B2 0I
1,(rR) r
B B0
0r02
2d
j
方向：垂直于纸面向外
15
(2) 同理，半径为R的载流圆柱体在O’O’轴上产生的磁感 应强度由安培环路定理得
B1 d l 0 I i
B1 2 d 0 d 2 j
B1
0d 2
j
方向：垂直于纸面向里
半径为r0的载流圆柱在O’O’轴上产生的磁感应强度B0’=0
O’ O j
14
半径为R的载流圆柱体在OO轴上产生的磁场B1=0；半径 为r0的载流圆柱在OO轴上产生的磁感应强度由安培环路 定理得
B 0 d l 0 I i
B 0 2 d 0 r0 2 j
B0
0 r0 2 2d
j
方向：垂直于纸面向外
即，大圆柱轴线上的磁感应强度
s
s
磁介质中的安培环路定理: Hdl I传 (L包围 )
磁场强度：
H B
6
电磁感应
1. 感应电动势
法拉第电磁感应定律 d dt
（掌握符号规则）
动生电动势
动ab
(b) (vB)
dl （搞清两个夹角）
(a)
感生电动势
感 ab
B
Ekdl
S
dS t
E k : 感生电场（非保守场）
7
2. 自感和互感
L
I
L
L
dI dt
Wm
1 2
LI 2
3. 磁场能量
m
1 2
B2
M 12 21
I2 I1
12 M
dI2 dt
21 M
d I1 dt
Wm
V
1 2
B2
dV
8
练习1. 一根无限长的直导线在P处弯成半径为R的细 圆环，如图所示，当通以电流I时，圆心O处的磁感 应强度的大小为( )：