中考数学常考知识点及公式
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中考数学常考知识点及公式
一．数与式：
1. 无理数，倒数，相反数，绝对值,算术平方根，平方根，立方根的定义及有理数的大小，加减乘除。
4643
9393
=±=±=如
2. 整式的加减实质：合并同类项（运用乘法分配律），注意符号问题，括号问题。
3. 科学记数法：89
106.7000000076.0106.77600000000-?=?=，
指数的求法：就是数7.6小数点向右前进了多少位到7600000000，或向左后退了多少位到了
0.000000076。向右9位即正9. 4.整式的乘法：
（1）幂的运算性质： ①a m
×a n
＝a
m+n
；②a m
÷
a n
＝a m-n
；③(a m )n
＝a mn
；④(ab)n
＝a n b n
；⑤(a b )n ＝n
n a b
； ⑥a -n
＝1n a 常考-1，-2次方，如422122
==??
? ??- ⑦a 0＝1(a ≠0)。
（2）乘法公式：
①(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； ②(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2 变形：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab. 5、因式分解：
（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+
（2）运用公式法：))((2
2b a b a b a -+=- 2
2
2
)(2b a b ab a ±=+±
十字相乘公式：))(()(2
q a p a pq a q p a ++=+++:
6.分式：分式的乘除实质是约分。先把分子分母因式分解，再约分。
分式的加减实质是通分。关键找最简公分母（取各分母的所有因式的最高次幂的积）， 多项式看成一个整体因式。
7.二次根式（实质是算术平方根）（加减：一化二合，实质是乘法分配律） ①(
)2
＝a (a≥0)；②
＝丨a 丨；③＝×；④＝(a ＞0，b≥0)。
二．方程与不等式（组） 8.一元二次方程
对于方程：ax 2＋bx ＋c ＝0（)0≠a
①求根公式为x ＝242b b ac
a
-±-，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式。
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。 ②根与系数关系（韦达定理）：a
c x ,x a b x x =+-
=+2121 ③若方程有两个实数根x 1和x 2，则二次三项式ax 2＋bx ＋c 可分解为a(x －x 1)(x －x 2)。 ④以a 和b 为根的一元二次方程是x 2－(a ＋b)x ＋ab ＝0。
9. 解分式方程要检验！！
10.解不等式（组）的步骤牢记：分别解，取公共部分，写解集。
两个一次不等式可用口诀确定解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。 三．函数
11.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线。平移口诀：上加下减k 不变 ①当k ＞0时，y 随x 的增大而增大(直线从左向右上升)； ②当k ＜0时，y 随x 的增大而减小(直线从左向右下降)；
③特别地：当b ＝0时，y ＝kx (k ≠0)又叫做正比例函数(y 与x 成正比例)，图象必过原点。 12. 反比例函数
（1）反比例函数x
k
y =
(k ≠0)的图象叫做双曲线。①当k ＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；②当k ＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)。
（2）几何意义：过反比例函数)0(≠=
k x
k
y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ?PN=xy x y =?。
k S k xy x
k
y ==∴=
,, 。可以利用等底同高有多种图形。如三角形，平行四边形等。 13.二次函数c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a 。
先确定图象抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。后确定二要素：最值，增减性。
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（2）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：a
b
ac a b x a c bx ax y 4422
2
2-+?
?? ??
+
=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a
b
x 2-=。
②配方法：运用配方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴可以表示为：12
2
x x x +=
（3）抛物线c bx ax y ++=2
图象与a ，b ，c 的关系：
1）a 决定开口方向及开口大小，与2
ax y =中的a 完全一样。 2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：
由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线a
b
x 2-=，故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；
②
0>a b
（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧 ③0 b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。 3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴交点的位置。当0=x 时，c y =， ∴抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴有且只有一个交点（0，c ） ①0=c ，抛物线过原点②0>c ，与y 轴交于正半轴；③0 （4）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ②顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 ③交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。 （5）直线与抛物线的交点 ①y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 交点为(0, c )。 ②抛物线与x 轴的交点：二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是 对应一元二次方程02 =++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点?0>?，有一个交点（顶点在x 轴上）?0=? ，没有交 点?0 ③一次函数()0≠+=k n kx y 的图象l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图象的交点，由方程组 ? ??++=+=c bx ax y n kx y 2 的解的数目来确定。 四、几何 14.n 边形内角和公式：(n －2)180o （n ≥3，n 是正整数） 外角和：360o (故一般求内角问题可先求外角)。 总对角线条数： 2 ) 3(-n n 15. 正n 边形指各边相等，各角相等的n 边形。（n ≥3，n 是正整数） 第 3 页 共 5 页 A B C D E C E A B D 16.角平分线的性质：角平分线的点到角两边的距离相等。 角平分线的判定：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 17.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 18. 平行四边形 19. （1）旋转角指对应边的夹角（或对应点与旋转中心连线的夹角。）旋转中心在对应点连线的中垂线上。 （2）中心对称图形：绕某一点旋转180°能和原来的图形重合。 （3）两个图形成中心对称：一个图形绕一点旋转180°能和另一个图形重合，对称中心是对应点连线的中点。 20. 相似 （1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：a ∥b ∥c ， 直线l 1与l 2分别与直线a 、b 、c 相交与点A 、B 、C 和D 、E 、F ，则有 ,,AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF === 。 （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段成比例。如图：△ABC 中，DE ∥BC ，则有： （3）相似的判定定理：先考虑平行得相似，依次“角角”，”边角边”，”边边边”。 21.直角三角形(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) （1）射影定理：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，CD ⊥AB 于D ， 则（1）2 CD AD BD =?2 AC AD AB =?（3）2 BC BD AB =? 另外由直角三角形面积公式可得：AB ˙CD=AC ˙BC （2）三角函数：①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ， 即c a sin =∠=斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ， 即c b cos =∠=斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ， 即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A C a c A B C D E F l 1 b l 2 平行四边形的判定 第 4 页 共 5 页 （3）特殊值 一般把解30度或45度的直角三角形的问题转化为三边比的问题：2:3:12:1:1或 22.圆的性质（常连半径，半径相等→等腰三角形） （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 （2）弧、弦、圆心角三者关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 （3）圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形对角互补。 （4）三角形的内心与外心：①三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．即三内角平分线的交点。 ②三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．即三边中垂线的交点． 常见结论：①Rt △ABC 的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径2 a b c r +-= ；②△ABC 的周长为l ，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则lr s 2 1= （5）点和圆的位置关系：设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： d （6）线与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d,那么： 直线l 与⊙O 相交?d ②切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 由（6），（7）知 有切点，切心连；无切点，作垂线！ （8）切线长定理（切线长：圆外一点和切点之间的线段的长叫做圆的切线长） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 （9）圆内接正n 边形（求面积可分割成n 个三角形的面积） ①正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 ②正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 ③正多边形的边心距:正多边形的中心到边的距离叫做这个正多边形的边心距。 ④中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫正多边形的中心角，为n 360等于外角。 （10）弧长和扇形面积 ①弧长公式：n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180 R n l π= ②扇形面积公式：lR R n S 2 13602== π扇 其中n 是扇形的圆心角数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。 ③圆锥的侧面积：rR r R S ππ=?= 22 1 （如右图） 其中R 是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面半径。 ④圆锥与展开扇形的联系公式： n r R 360= 补充：（此处为大纲要求外的知识，但对开发智力，改善数学思维模式有很大帮助） （11）相交弦定理 ⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交与点E ，则AE ?BE=CE ?DE （12）弦切角定理 弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。 即：∠BAC=∠ADC 三角函数 30° 45° 60° sin α 2 1 2 2 2 3 cos α 23 2 2 21 tan α 3 3 1 3 第 5 页 共 5 页 （13）切割线定理 PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线， 则PC PB PA ?=2 23.三视图位置：主视图、左视图 俯视图 注意：看不见的轮廓线画成虚线。 五、统计与概率 （1）三数两差 24.加权平均数：求n 个数的平均数时，如果x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，x k 出现f k 次， （n f f f f k =+++ 321），那么这n 个数的平均数n f x f x f x x k k +++= - 2211 25.中位数： ①一组数据先按大小顺序排列 ②如果数据的个数是奇数m 个，则中位数是第 2 1 +m 个； 如果数据的个数是偶数2n 个，则中位数是第n 个数和第n+1个数的平均数。 26.众数: ①看哪个数据出现次数最多 ②这个数据即是众数（不是次数！数据不一定数，是研究对象） 27.极差：一组数据中最大数据与最小数据的差。 28.方差：在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“2 s ”表示，即])()()[(1 222212 x x x x x x n s n -++-+-= 29.扇形统计图中某项所对应圆心角的度数=该项所占百分比? 360 六、其它 30.所有几何图形周长、面积公式 圆中公式： ①S 圆＝πR 2． l 圆周长＝2πR = πd ． 180R n l π= lR R n S 2 13602==π扇 rR S π=圆锥侧 n r R 360 = Rt △ABC 的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径2 a b c r +-=； △ABC 的周长为l ，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则lr s 2 1 =，正多边形也适用。 ②S 正△＝ ?4 3 (边长)2． ③S 平行四边形＝底×高． S 正方形 = S 菱形＝底×高＝ 2 1 ×(对角线的积) ④S 柱侧＝底面周长×高 ⑤ Sh V h S V 3 1 =?=圆锥柱体高底面积 31.中点公式：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 中点坐标为?? ? ??++2,22121y y x x 32.两点距离公式（可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2） 则AB 间的距离()()2 212 212y y x x AB -+-= 33.若两条直线11b x k y +=与22b x k y +=互相垂直，则121-=?k k A B