集成运放组成的运算电路习题解答

第7章 集成运放组成的运算电路
本章教学基本要求
本章介绍了集成运放的比例、加减、积分、微分、对数、指数和乘法等模拟运算电路及其应用电路以及集成运放在实际应用中的几个问题。

表为本章的教学基本要求。

表 第7章教学内容与要求
学完本章后应能运用虚短和虚断概念分析各种运算电路，掌握比例、求和、积分电路的工作原理和输出与输入的函数关系，理解微分电路、对数运算电路、模拟乘法器的工作原理和输出与输入的函数关系，并能根据需要合理选择上述有关电路。

本章主要知识点
1. 集成运放线性应用和非线性应用的特点
由于实际集成运放与理想集成运放比较接近，因此在分析、计算应用电路时，用理想集成运放代替实际集成运放所带来的误差并不严重，在一般工程计算中是允许的。

本章中凡未特别说明，均将集成运放视为理想集成运放。

集成运放的应用划分为两大类：线性应用和非线性应用。

(1) 线性应用及其特点
集成运放工作在线性区必须引入深度负反馈或是兼有正反馈而以负反馈为主，此时其输出量与净输入量成线性关系，但是整个应用电路的输出和输入也可能是非线性关系。

集成运放工作在线性区时，它的输出信号o U 和输入信号（同相输入端+U 和反相输入端-U 之差）满足式（7-1）
)(od o -+-=U U A U (7-1)
在理想情况下，集成运放工作于线性区满足虚短和虚断。

虚短：是指运放两个输入端之间的电压几乎等于零；虚断：是指运放两个输入端的电流几乎等于零。

即
虚短：0≈-+-U U 或 +-≈U U 虚断：0≈=+-I I
(2) 非线性应用及其特点
非线性应用中集成运放工作在非线性区，电路为开环或正反馈状态，集成运放的输出量与净输入量成非线性关系)(od o +--≠U U A U 。

输入端有很微小的变化量时，输出电压为正饱和电压或负饱和电压值（饱和电压接近正、负电源电压），+-=U U 为两种状态的转折点。

即
当+->U U 时，OL o U U = 当+-<U U 时，OH o U U =
非线性应用中，集成运放在理想情况下，满足虚断，即0≈=+-I I 。

2. 运算电路及其分析方法
基本运算电路的共同特点是集成运放接成负反馈形式，工作在线性放大状态，集成运放满足虚短和虚断。

比例电路是各种运算电路的基础。

反相输入比例运算电路（如图7-1）的特点是：引入电压并联负反馈，在深度负反馈和理想情况下，运放的同相输入端电位为零，运放的反相输入端为虚地点0≈-u ，它的输入电阻等于1R ，输
出电阻0of ≈R ，流过反馈电阻的电流F i 等于输入电流1i ，电压放大倍数1
F I O uf R R
u u A -==。

同相输入比例运算电路（如图7-2）的特点是：引入电压串联负反馈，在深度负反馈和理想情况下，运放两个输入端的对地电压等于输入电压i u ，输入电阻为无穷大，输出电阻0of ≈R ，电压放
大倍数是1
F I O uf 1R R
u u A +==。

图7-1 反相输入比例运算电路 图7-2 同相输入比例运算电路
求解运算电路输出与输入函数关系的一般方法是：
(1) 判断集成运放是否工作在线性放大状态。

通常检查是否存在足够强的负反馈以及运放输出是否处于极限状态。

(2) 除考虑运算电路的误差外，一般可将运算电路中的集成运放视为理想运放。

(3) 在运算电路具有深度负反馈的前提下，可运用虚短和虚断概念，求解运算电路输出与输入的函数关系。

(4) 对于积分器等含有电容的运算电路，必要时可运用拉氏变换，先求出运算电路的传递函数或输出电压的象函数，再进行拉氏反变换，得出输出与输入的函数关系。

(5) 对于多级运算电路，可抓住电路具有深度电压负反馈、输出电阻近似为零的特点，从而可不考虑后级输入电阻对前级的影响，分别列出各级输出与输入的函数关系，再联立求解，得出整个电路输出电压与各输入信号的函数关系。

自测题
判断题
1. 反相求和电路中集成运放的反相输入端为虚地点，流过反馈电阻的电流等于各输入电流之代数和。

（ ）
2. 同相求和电路跟同相比例电路一样，各输入信号的电流几乎等于零。

（ ）
3. 由于比例或求和运算电路的电压负反馈很强，输出电阻几乎等于零，因此在计算双运放加减运算电路的前级输出电压时，一般可以不考虑后级输入电阻对前级的影响。

（ ）
【解】1.√ 2.× 3. √ 填空题
1. 理想运放的=od A ，=id r ，=o r
2. 当集成运放处于线性放大状态时，可运用 和 概念。

3. 比例运算电路中集成运放反相输入端为虚地，而 比例运算电路中集成运放两个输入端的电位等于输入电压。

4. 比例运算电路的输入电阻大，而 比例运算电路的输入电阻小。

5. 比例运算电路的输入电流等于零，而 比例运算电路的输入电流等于流过反馈电阻中的电流。

6. 比例运算电路的比例系数大于1，而 比例运算电路的比例系数小于零。

7. 运算电路可实现A u >1的放大器， 运算电路可实现A u <0的放大器。

8. 运算电路可将方波电压转换成三角波电压。

9. 运算电路可实现函数y ＝ax 1＋bx 2＋cx 3，a 、b 和c 均大于零。

运算电路可实现函数y ＝ax 1＋bx 2＋cx 3，a 、b 和c 均小于零。

运算电路可实现函数y ＝ax 2。

10. 同相比例运算放大电路输入阻抗通常比反相运算放大电路输入阻抗
11. 若将 电路中在集成运放反馈支路接上二极管，便可得 运算电路;而将 电路中在输入回路接上二极管，便可得到 运算电路。

12. ， 比例电路的电压放大倍数是1
f 1R R +。

13.欲实现A u ＝－100的放大电路，应选用
【解】1.∞，∞ ，0 2.虚短，虚短 3.反相，同相 4.同相，反相 5.同相，反相 6. 同相，反相 7. 同相，反相 8.积分 9. 同相加法，反相加法，比例 10. 大 11. 反相比例运算，对数；反相比例运算，指数 12. 反相，同相 13. 反相比例运算电路
运算电路如图所示，试分别求出各电路输出电压的大小。

(a) (b)
图T
【解】(a) V 8.16.01236O -=⨯-=u ；(b)V 52.0)1
24
1(O =⨯+=u
写出图所示各电路的名称，分别计算它们的电压放大倍数和输入电阻。

(a) (b) (c)
图T
【解】(a) 反相比例运算电路，201
20
I
O uf -=-==u u A ，0if ≈R ；
(b) 同相比例运算电路，211
201I
O uf =+==u u A ，∞≈if R ；
(c) 同相比例运算电路，也可认为是减法电路，I I I
O uf 2021
20)1201()1
201(u u u u u A =+=+==+，∞≈if R 。

运放应用电路如图所示，试分别求出各电路的输出电压。

-
(a) (b)
图T
【解】(a) V 5.01.05O1-=⨯-
=R R u ，V 5.255O1O1O2=-=⨯-=u u R
R
u ， V 3)5.0(5.2O1O2O =--=-=u u u ；
(b) V 2O1-=u ，V 422O1O11
1
O =-=⨯-
=
u u R R u 图所示的电路中，当V 1I =u 时，V 10O -=u ，试求电阻F R 的值。

图T
【解】I F O k Ω3u R u ⨯-
=，k Ω301
10
3k Ω3I O F =-⨯-=⨯-=u u R 反相加法电路如图（a ）所示，输入电压I1u 、I2u 的波形如图(b)所示，试画出输出电压O u 的波形（注明其电压变化范围）
u I1
-
u I2
4
u I1
-
u I2
4
u O
4
(a) (b)
图T 图解T 【解】I2
I1
O u
u
u-
-
=输出电压波形如图解。

图T 所示的积分与微分运算电路中，已知输入电压波形如图 (c)所示，且t=0时，0
C=
u，集成运放最大输出电压为V
15
±，试分别画出(a)、(b)电路的输出电压波形。

u i
-
(a) (b) (c)
图T
【解】(a) 积分电路，输出电压波形如图解 T (a)
ms
1
~
=
t: V
3
i-
=
u，o
4
6
3
i
o10
1
dt
3
10
01
.0
10
30
1
dt
1
C
t
u
RC
u+
⨯
=
-
⨯
⨯
⨯
-
=
-
=⎰
⎰-，V0
o=
C
t=0ms时，0
C
o=
-
=u
u；t=1ms时, V
10
o=
u；
ms
3
~
1
=
t: V
3
i=
u，1
4
6
3
i
o10
1
dt
3
10
01
.0
10
30
1
dt
1
C
t
u
RC
u+
⨯
-
=
⨯
⨯
⨯
-
=
-
=⎰
⎰-，V
10
1=
C t=3ms时，V
10
o-
=
u；
ms
5
~
3
=
t：V
3
i-
=
u，2
4
6
3
i
o10
1
dt
3
10
01
.0
10
30
1
dt
1
C
t
u
RC
u+
⨯
=
-
⨯
⨯
⨯
-
=
-
=⎰
⎰-，V
10
2-
=
C t=5ms时, V
10
o=
u；
(b) 微分电路，输出电压波形如图解T (b)
dt
d
10
3
dt
d
10
01
.0
10
30
dt
d i
4
i
6
3
i
o
u
u
u
RC
u-
-⨯
-
=
⨯
⨯
⨯
-
=
-
=
t=0ms时, V
3
~
i-
=
u，-∞
=
dt
d i u
，V
15
o=
u；
t=1ms时, V
3
~
3
i+
-
=
u，+∞
=
dt
d i u
，V
15
o-
=
u；
t=3ms时, V
3
~
3
i-
+
=
u，-∞
=
dt
d i u
，V
15
o=
u；
t =5ms 时, V 3~3i +-=u ，
+∞=dt
d i
u ，V 15o -=u ；
(a) (b)
图解T
图所示电路中，当t = 0时，0C =u ，试写出o u 与i1u 、i2u 之间的关系式。

图T
【解】2
i21i1R u R u i +=，dt
d o f u C i -
=，f i i =，dt 1
dt 1
i22i11o ⎰
⎰-
-
=u C R u C
R u 电路如图所示，求输出电压O u 的表达式，并说明对输入电压1u 、2u 有什么要求？
(a) (b)
图T
【解】要求图T 中输入电压02>u ，从而I u 、O u 同极性，保证电路为负反馈（电压串联负反馈）。

(a) 1u u u =≈+-，O2212u R R R u +=
-，2O O2u ku u =，∴2
121O )1(1u u
R R k u +=，
(b) 1u u u =≈+-，2O u ku u =-，2
1
O 1u u k u ⋅=
电路如图所示，已知模拟乘法器的增益系数1V 1.0-=k ，当V 2I =u 时，求?O =u 当V 2I -=u 时，?O =u
图T 图T
【解】根据虚短有：0=≈+-u u ，虚断有：2
1O 1
I R u R u -=，2
O O1ku u =
，
I I I 12O 2010
20
1.011u u u R R k u -=⋅-=-
=，因0O1>u ，为保证电路为负反馈（电压并联负反馈），要求0I <u 电路才能正常稳定的工作。

7.12 正电压开方运算电路如图所示，试证明0I >u 时输出电压等于I 12
O u KR R u =。

【解】2
2O 1
I R u R u -=，O1O2u u -=，2
O O1ku u =，∴当0I >u 时，I 1
2
O u KR R u =。

因0O1>u ，0O2<u ，只有0I >u 时，电路为电压并联负反馈，电路才能正常工作。

习 题
设计一个比例运算电路， 要求输入电阻R i ＝20k Ω，比例系数A uf =-100。

【解】反相输入的比例运算电路如图解所示。

图解P
设计一个加减法运算电路，实现I4I3I2I1O 5432u u u u u --+=功能。

【解】(a) 加减法运算电路如图解(a)所示。

假设：P N R R =，即//R //R R //R //R R 21F 43=。

当电路只有同相输入端输入时，输出电压为
)(
2I2
1I1F O1R u R u R u +=； 当电路只有反相输入端输入时，输出电压为
)(
4
I4
3I3F 2O R u R u R u +-=； 利用叠加原理得
)(
4
I4
3I32I21I1F O R u R u R u R u R u --+=。

取电阻k Ω60F =R ，k Ω301=R ，k Ω202=R ，k Ω153=R ，k Ω124=R ，k Ω12=R ，得
I4I3I2I1O 5432u u u u u --+=
(b) 两级反相输入加法运算电路组成减法电路, 如图解(b)所示。

)(I22
F I11F O1u R R
u R R u +-= )(
O1F F I44F I33F O u R R
u R R u R R u ++-= )(
4
I4
3I32I21I1F O R u R u R u R u R u --+= 取电阻k Ω60F =R ，k Ω301=R ，k Ω202=R ，k Ω153=R ，k Ω124=R ，k Ω101='R ，k Ω6.52='R ，其中，F 211
////R R R R ='，F F 432//////R R R R R ='
I4I3I2I1O 5432u u u u u --+=
(a) (b)
图解P
电路如图所示，试求：(1) 输入电阻；(2) 比例系数。

图P
【解】根据“虚地”的概念，有
4
23O
//3R R R u i R +=
14
24
423O 4
24
//3
2i R R R R R R u R R R i i R R -=++=
+=
4
24
423O 1I //R R R R R R u R u ++-
= 比例系数，即电压增益： 1041
F 1
4434232I
O uf -=-=++-==R R
R R R R R R R R u u A
5.2M Ωk Ω52004
4
34232F ==++=
R R R R R R R R
可见，若用一个反馈电阻F R 代替T 形电阻网络，F R 的阻值远大于T 形电阻网络中的元件阻值。

同相输入端的补偿电阻
)//(//43215R R
R R R +=
输入电阻k Ω501if ==R R 。

试求图所示各电路输出电压与输入电压的运算关系式。

(a) (b)
(c) (d)
图P
【解】(a) 解法1∵加减法运算电路P N R R =，即3F 21R //R //R R =，∴
I3I2I1I3I2I13I32I21I1F O 522)20
5050100()(u u u u u
u R u R u R u R u +--=+--=+--
=； 解法2：图(a)加减法运算电路，也可利用叠加原理来解。

当电路只有同相输入端输入时，输出电压为
I3I3I321F O15)50
//50100
1()//1(u u u R R R u =+=+
=
当电路只有反相输入端输入时，输出电压为
I2I1I2I12I21I1F 2O 22)50
50(100)(
u u u u R u R u R u --=+-=+-= 利用叠加原理得
I3I2I1O 522u u u u +--=
(b) ∵P N R R =，即32F 1//R R //R R =，
I1I3I2I1I3I21I13I32I2F O 1010)10
10010100()(
u u u u
u u R u R u R u R u -+=-+=-+= (c) ∵减法电路P N R R =， )8()(25
200
)(I1I2I1I2I1I21F O u u u u u u R R u -=-=-=
(d) ∵加减法运算电路P N R R =，即43F 21//R R //R //R R =，
I2I1I4I3I2I1I4I32I21I14I43I3F O 202040)10
102005200()(
u u u u u
u u u R u R u R u R u R u --+=--+=--+=
电路如图所示。

(1) 写出u O 与u I1、u I2的运算关系式；
(2) 当R W 的滑动端在最上端时，若u I1＝10mV ，u I2＝20mV ，则u O ＝？
(3) 若u O 的最大幅值为±14V，输入电压最大值 u I1max ＝10mV ，u I2max ＝20mV ，最小值均为0V ，则为了保证集成运放工作在线性区，R 2的最大值为多少？
图P
【解】(1) I2F F u R R R u +=
+，)(O1I1F
F
O1u u R R R u u -++=-，∵-+≈u u ，得 )(I1I2F O1u u R R u -=，
O W
1O1u R R u =
，)(1
100)(1010010)(I1I21I1I21I1I2F 1W O u u R u u R u u R R R R u -=-⋅=
-= (2) 当R W 的滑动端在最上端时，若u I1＝10mV ，u I2＝20mV ，则u O ＝100mV (3) )(1100
I1I21O u u R u -=，)1020(1
100141
-=R ，k Ω0174.01m in =R ，k Ω9826.92m ax =R
分别求图所示各电路的运算关系。

6
(a) (b)
(c) 图P
【解】(a) 设R 3、R 4、R 5的节点为M ，则
))(( )(
2
I2
1I15434344M O 5
M
2I21I15342
I2
1I13M R u R u R R R R R R i u u R u R u R u i i i R u R u R u R R R R ++
+-=-=-+=
-=+-=
(b) 设I2I1I u u u -=，I1u 为A 1的同相输入端电压，I2u 为A 2的同相输入端电压， A 1、A 2本级均为电压串联负反馈，前级的输出电压不受后级输入电阻的影响。

：
对A 1：I11
3O1)1(u R R
u +=，
对A 2：
I 4
5I1I245
I15445I245I11345I245O14
5I245O )1())(1()1()1()1()1()1(u R R u u R R u R R
R R u R R u R R
R R u R R u R R
u R R u +
-=-+
=+-+=+-+=-+= (c) 解法1∵加法运算电路N P R R =，即432111////////R R R R R R =，∴
)(10)(33
330)(I3I2I1I3I2I1I3I2I112o u u u u u u u u u R R u ++=++=++=
解法2：
)
(10)())(//////(//1)()////////)(())(////////)(1()1(I3I2I1I3I2I11
2
I3I2I121114314I3I2I111121121134344I3I2I11
2112
11343
4
o u u u u u u R R u u u R R R R R R R R u u u R R R R R R R R R R R R R R u u u R R R R R R R R R u R R u ++=++=
++⋅⋅=++++=++++=+=+
试分别求图所示各电路的运算关系。

(a) (b)
(c) (d)
图P
【解】(a) 1
i
1R u i =
，t i C R i u d 1121o ⎰-⋅-=
⎰⎰⎰--=⨯-⋅-=-⋅-
=-t u u t u u t R u C R R u u d 1000d 2010
05.012020d 1I I i
6i 1i 21i o
(b) t u C i d d i 1
1=，t i C Ri u d 1
121o ⎰
--=
(c) ⎰=t u u d 10I 3
o ；，t
u C i R
u u d d C i ++==-，t
u u C i R
u d )(d o C ---==，且-+≈u u ，整理得RC
u t
u i o d d =，
⎰⎰⎰=⨯⨯⨯==
-t u t u t u RC u d 1000d 10
1.010101
d 1i i 63i o (d) 2
i21
i1R u R u i C +=，t u u t u u t R u R u C t i C u d )5.0(100)d 10
201010(101)d (1d 1i2i13i2
3i162i21i1C o +-=⨯+⨯-=+-=-
=⎰⎰⎰⎰-
在图所示电路中，已知R 1＝R ＝R '＝100kΩ，R 2＝R F ＝100kΩ，C ＝1μF。

(1) 试求出u o 与 u i 的运算关系。

(2) 设t ＝0时u o ＝0，且u i 由零跃变为－1V ，试求输出电压由零上升到＋6V 所需要的时间。

图P
【解】(1) R u u t u C
C o1C d d -=，o C u u =，R R R u u R u u u u ''
+=≈-+=+-2o
i o1i ，整理的： ⎰⎰-==
t u t u C
R
R u d 10d i i 2
F
o (2) t )1(106-⨯-=，s 6.01=t
试求出图所示电路的运算关系。

图P
【解】0≈-u ，o o 3
2
C 2)1(u u R R u =+
=，1i C d d R u t u C -=，
⎰⎰⎰-=⨯⨯⨯⨯-=-
=-t u t u t u C R u d d 10
10105021
d 21i i 63i 1o
画出利用对数运算电路、指数运算电路和加减运算电路实现除法运算的原理图。

【解】
略
求出图所示电路的运算关系。

'
(a) (b)
图P
【解】(a) 0≈-u ，3
O 2
I21
I1R u R u
R u '-=+，O I3O 1.0u u u ='，)(102
I21
I1I3
3O R u R u u R u +-=；
(b) 3I 23
42I 2
4I 1
42O 3
41O 2
4I 1
4o u k R R ku R R u R R
u R R
u R R u R
R u ---=---=
电路如图所示，试求出o u 与i1u 和2i u 的函数关系。

图P
【解】t R u u C t i C u u )d (1d 1o C i1⎰⎰-==
---，t R
u C t i C u u )d (1d 1C i2⎰⎰+
+==-，-+≈u u ，整理得： ⎰=
-t u RC u u d 1
o I1I2，)(d d I1I2o u u t
RC u -= 电路如所示，求(1) ?I
1O 1u ==u u A (2) ?I
2O 2u ==u u
A
A 1
图P
【解】(1)
1
I 2423421O 1////R u
R R R R R R u -=⋅⋅+，
2.540
5040606080408041433242I 1O 1u -=⨯⨯+⨯+⨯-=++-==
R R R R R R R R u u A (2) 1I 2A R u
R u -=，I 4152I 1245A 452O )(u R R R R u R R R
R u R R u =--=-=，440
50100804
152I 2O 2u =⨯⨯===R R R R u u A
利用图所示方框图的思路，分别设计5次方运算电路和5次方根运算电路。

图P
【解】略
7.15 用理想运放和模拟乘法器为基本单元设计一个能实现2Y
2X O u u K u +=的电路，并验证之。

【解】略。