回顾与思考

第二章一元二次方程

回顾与思考

本节课是一元二次方程的复习课，对于本章的基础知识，学生已大致掌握.本节课以梳理、巩固基础知识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点；实际应用是方程建模思想的具体体现，学生往往感到有一定的难度，本节课以此为重点，从简单的实际问题入手，逐步加深对建模思想的理解.为此，设置本节课的教学目标如下：

1、知识与技能：

①经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

②能够利用一元二次方程解决有关实际问题，帮助学生认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；

③了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；

2、过程与方法：

①通过让学生经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

②通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展学生多角度思考问题的方法.

情感与态度：

①通过对方程的认识、一题多解的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质；

②在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.

第一环节：课前准备----构建知识结构

教师展示一下本章的框架，指出本节课的重点是：利用一元二次方程解决实际问题.

㈡本章的重点：一元二次方程的解法和应用.

㈢本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.

本章的知识体系包括三大部分：

（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2

+bx+c=0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.在这里应注意的问题是：⑴只含有一个未知数；⑵未知数的最高指数必须是2；(3)二次项系数不为0）

（二）一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有：⑴ 直接开平方法；⑵ 配方法；⑶ 公式法；⑷ 分解因式法.（注意：在运用配方法解一元二次方程时，一般先将二次项系数化为1；在运用公式法解一元二次方程时，必须先将方程化为ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的形式，同时判断b 2-4ac 是否≥0，如果b 2

-4ac ≥0，才可用公式a ac b b x 242-±-=求解） （三）一元二次方程的应用：花边、道路宽度（P 42 引例）；梯子滑动（P 43 引例）；养鸡场问题（P 56 2）；古算题（P 65 1）；简单动点问题（P 66 2）；利润问题（P 66 例2）（其关键是能找出题目中的等量关系，列出方程）

本章的重点和难点是：一元二次方程的解法和应用.

第二环节：基础知识重现

1、当m 时，关于x 的方程(m －1)12+m x

+5+mx=0是一元二次方程. 2、方程(m 2－1)x 2+(m －1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.

3、将一元二次方程x 2-2x-2=0化成(x+a)2

=b 的形式是 ；此方程的根是 . ㈠ 问题情景---- —元二次方程

1、定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数,a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ⑴ 直接开平方法 ⑵ 配方法 ⑶ 公式法 ax 2+bx+c=0 (a ≠0，b 2-4ac ≥0)的解为： a ac b b x 242-±-= ⑷ 分解因式法

2、解法：

3、应用 ：其关键是能根据题意找出等量关系.

4、用配方法解方程x 2

+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )

A.(x+4)2=7

B.(x+4)2=－9

C.(x+4)2=25

D.(x+4)2=－7

5、解下列一元二次方程

(1) 4x 2－16x+15=0 (用配方法解)

(2) 9－x 2=2x 2－6x(用分解因式法解)

(3) (x ＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)

第三环节：情境中合作学习

其中的1、3小题作为例题，2、4小题作为小组合作学习的题目，仿照例题的分析方式小组合作完成，第5题作为师生互动的题目.选择第1题作为例题规范板书，其余题目只需分析、列方程即可.

对于第1题，可以从以下几个方面提出问题，帮助学生分析问题、解决问题：

（1）成本为多少？（2）“如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支”在本题中的作用是什么？（3）“售价每上涨1元就少卖10支”的作用？（4）利润的表达形式有哪几种？（5）本题中的等量关系是什么？

在用一种方法解决完本题之后，可以让学生尝试其它的思路，进行一题多解.

对于第3题，可以从以下几个方面入手分析：

（1）题目中的等量关系是什么？（2）点P 、Q 移动的过程中，哪个量是相同的？（3）如何求出△PCQ 的面积？（4）如何求出Rt △ACB 面积？

对于第5题，着重于第（4）（5）两个小问题，需要借助于一定的经验加以解决.同时，此题是典型的二次函数最值问题，放在此处，给学生一个直观的感受.

1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？

2、新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？

3、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BC=6m ，AC=8m ，点P 、Q 同时由A 、B 两 A B

C P Q