分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见题型及解法

关键词：分段函数、定义域、值域或最值、函数值、解析式、图象、奇偶性、单调性、方程、不等式、应用。

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同对应法则的函数，它是一个函数，它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集，由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题型做了一些思考，解析如下：

1、求分段函数的定义域和值域

例1、求函数x)=

22

[1,0]

1

(0.2)

2

[2.)

3

x

x

x x

x

+

⎧

∈-

⎪⎪

-∈

⎨

⎪∈+∞

⎪⎩

的定义域，值域。

解析：的定义域为[-1,0](0,2)[2,+)=[-1, +） X∈[-1,0] 2X+2 ∈[0,2]

X∈(0,2) —∈(-1,0)

的值域为（-1，0）[0,2]{3}=(-1,2]{3} 2、求分段函数的函数值.

例2、（2012福建），设f(x)= 10

0010

x x x >⎧⎪

=⎨⎪-<⎩

g(x)= 10x x ⎧⎨⎩为有理数为无理数

，则f(g(π))的值为（ ） A ． 1 B.0 C.-1 D. π 解析：

=0

=

=0 故选B

3、 求分段函数的最值。

例3、求函数f(x)= 43(0)3(01)5(1)x x x x x x +≤⎧⎪

+<<⎨⎪-+≥⎩

的最大值。

解析：作图：

利用“数形结合”易知， max

=4

4、 求分段函数的解析式

设X ≥0时，f(x)=2，X<0时f(x)=1，又规定：g(x)= 3(1)(2)2f x f x --- (x>0) ,试写出y=g(x) 的表达式。

解析：当 0

∴ g(x)= 31

2- =1

当1≤X<2时 X-1≥0 ， X-2<0, ∴ g(x)= 3212⨯-=52

当X

≥2时 X-1>0 ， X-2≥0, ∴ g(x)= 322

2

⨯-=2 g(x)= 1

(01)

5(12)2(2)2

x x x ⎧<<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩

5.作分段函数的图象。

例5.（2011天津）对实数a 和b ，定义运算“⊗”: a ⊗b=1

1a a b b a b -≤⎧⎨

->⎩

设函数f(x)=(x 2-2) ⊗(x-1) x ∈R 若函数y=f(x)-c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）

A (-1，1] ⋃(2，+∞)

B (-2,-1] ⋃(1,2]

C (-∞,-2) ⋃(1,2]

D [-2,-1]

解析：当（x 2-2）-(x-1) ≤1时，-1 ≤ x ≤2

∴ 2(12)

2()(12)

1x x f x x x x -≤≤⎧-=⎨

<->-⎩或 f(x)的图像如图所示

Y=f(x)-c 的图像与x 轴恰有两个公共点，即方程f(x)=c 恰有两个解，由图像可知当c (2,1](1.2]∈--时满足条件。故选B. 6.判断分段函数的奇偶性。

例6.f(x)= 22(0)

23(0)

23x x x x x x <⎧++⎨>-+-⎩判断f(x)的奇偶性。

解析：当x>0时，-x<0

f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x 2-2x+3 f(x)=-x 2+2x-3 ∴f(-x)=-f(x) 当x<0时，-x>0

f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x 2-2x-3 f(x)=x 2+2x+3 ∴f(-x)=-f(x)

∴f(x)是奇函数

点评：对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x 与-x 所满足的对应关系。 7．判断分段函数的单调性。 例7.已知函数f(x)= (32)61(1)

(1)x

a x a x a x -+-<⎧⎨≥⎩

在(,)-∞+∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）

A.(0，1)

B.(0，23

) C. 32(,)83

D. 3[,1)8

解析：由条件得1

3203201833261a a a a a a -<⎧

⎪

<<⇒≤<⎨

⎪-+-≥⎩

故选c 8.解分段函数的方程。

例8.（2011福建）已知函数f(x)= (0)

2(0)1x x x x >⎧⎨≤+⎩

若f(a)+f(1)=0 则实数a 的值

等于（ ）

A.-3

B.-1

C.1

D.3

解析：依题意知f(a)=-f(1)=-21=-2 2x >0 ∴a<0 ∴f(a)=a+1=-2 故a=-3 选A

9.解分段函数的不等式。

例9.（2009北京）若函数f(x)= 1(0)

1(0)

()3

x x x x ⎧⎪<⎪⎨

≥⎪⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为 解析：（1）由1

|()|3f x ≥0

3011||3x x x <⎧⎪⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩ （2）由1|()|3f x ≥ 00

011111|()|()333

3x x x x x ≥≥⎧⎧⎪

⎪⇒⇒⇒≤≤⎨⎨≥≥⎪⎪⎩⎩ ∴则不等式1

|()|3

f x ≥的解集为{x|-3 ≤x ≤1} 应填【-3，1】

10.解分段函数的应用问题。

例10.某市出租车收费标准如下：起步价为6元，起步里程为3Km(不超过3Km 按起步价付费)，超过3Km 但不超过10Km 时，超过部分按每千米1.8元收费，超过10Km 时，超过部分按每千米2.7元收费，现某人乘坐一次出租车付费32.1元，则此次出租车行驶了 Km

解析：设乘客每次乘坐需付费用为f(x)元，由题意可得

6(0,3]()6(3) 1.8(3,10]67 1.8(10) 2.7(10,)x f x x x x x ∈⎧

⎪=+-⨯∈⎨⎪+⨯+-⨯∈+∞⎩

令f(x)=32.1 解得x=15 故填15

点评：以上分段函数的性质的考查中，不难得到一钟解题的重要途径，若能画出其大致图像，定义域，值域，最值，单调性，奇偶性等问题就会迎刃而解，方程，不等式等可用数形结合思想，等价转化思想，分类讨论思想及函数思想来解。