线性变换习题课ppt课件

的特征值.
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特征子空间 :V { V | ( ) }
基本性质：
(1) 维V 的重数. (2) 若的矩阵是A,则V同构于( E A)X 0 的解空间,且基础解系给出了V的基向量的坐标. (3) 若1 , 2 , , s是的互异的特征值,则
W V1 V2 Vs
是直和, 且是 的不变子空间.
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6. 对角化的条件及其方法 1) 对角化概念 可对角化: 在V的某组基下的矩阵是对角阵.
A可对角化 : 存在可逆矩阵T ,使T 1 AT为对角阵. 2) 对角化的条件
充要条件 (1) (或A)可对角化 (或A)有n个线性无关
的特征向量.
(i E A)X 0,
的一个基础解系;
(3) 如果对每个i ,其基础解系所含向量的个数 等于i的重数, 则可对角化, 否则不能对角化;
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(4) 将所有基础解系的解向量作列向量构成矩
阵T ,则T可逆,且T 1 AT 为对角阵, 的主对角线
上元素就是A的所有特征值.
(2) 可对角化 (i) 的特征多项式的根都在 P内. (ii) 对的每个特征值,维(V ) 的重数.
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(3) A可对角化 (i) A的特征多项式的根都在
P内. (ii) 对A的每个特征值, 秩( E A) n s, s为的重数.
充分条件
若 (或A)在P内有n个不同的特征值,则 (或A)
可对角化. 3) 对角化的方法
因 可对角化 A可对角化(其中A是 在某
组基下的矩阵).
因此 对角化问题可转化为A对角化问题.
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对角化步骤:
(1) 计算A的特征多项式 | E A |,求出A的全 部特征值1 , 2 , , s ;
(2) 如果存在i P,则A不能对角化.如果1 , 2 , , s P,则对每个特征值i ,求出齐次线性方程组
第七章 线性变换
习题课
基本内容 基本解题方法 例题选讲
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一、基本内容
1.线性变换及其矩阵
设V 是数域P上n维线性空间, 是V的线性变
换,取定V的一组基1 , 2 , , n ,因 (1 ), ( 2 ), ,
( n ) V ,设
(1 ) a111 a21 2
( 2
)
注:对角形矩阵中主对角线上的元 素(即特征值)的次序应与T的列向量的 次序相对应.
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7. 线性变换的值域与核
值域 : (V ) { ( ) | V }
核 : 1 (0) { | ( ) 0, V }
主要结论：
(1) 是满射 (V ) V
(2) 是单射 1 (0) {0}
( y1 , y2 , , yn ),则
y1 x1
y2
A
x2
yn
xn
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3. 线性变换与矩阵间的对应关系 在数域P上n维线性空间V中一组取定的基下,
对于V 的每一个线性变换, 都有P上唯一确定的n级 矩阵与之对应,这种对应保持运算.设L(V )是V的 全体线性变换组成的线性空间, 则
下的坐标. 特别, 数乘变换、单位(恒等)变换、零变换在
任意基下的矩阵分别是数量矩阵、单位矩阵、零
矩阵. 但一般线性变换在不同基下的矩阵一般是不
同的(彼此相似).
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2. 与 ( )的坐标关系式
设 在基1 ,2 , , n下的矩阵是A, 与 ( ) 在基1 , 2 , , n下的坐标分别是( x1 , x2 , , xn )和
L(V ) P nn 维(L(V )) n2 , n为V的维数.
这样就可以把线性变换用矩阵来表现, 于是
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在处理线性变换的问题时, 可以按“线性变换 矩阵 线性变换”的模式,把线性变换问题化为矩 阵问题来处理, 然后再把所得的结论化为线性变换 的结论.也可在处理矩阵问题时,按“矩阵 线性变 换 矩阵”模式.
矩阵A的特征多项式 | E A | 的根0称为A 的特征值,而相应的线性方程组(0 E A)X 0的 非零解 (向量) 称为A的属于这个特征值0的特征
向量.
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线性变换的特征值、特征向量和其对应矩阵 的特征值、特征向量之间的关系：
设 在V的基1 , 2 , , n下的矩阵是A,则 (1) A的在数域P中的特征值就是的特征值; (2) 若A的属于特征值的一个特征向量是
a12 1
a22 2
来自百度文库
an1 n , an2 n ,
,
( n ) a1n1 a2n 2 ann n .
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即
( (1 ), (2 ), , (n )) (1 ,2 , , n )A
A (aij )nn Pnn是 在基1 ,2 , ,n下的矩阵. 注 : A的第j列恰是向量 ( j )在基1 ,2 , ,n
如果 在V的基1 , 2 , , n下的矩阵是A. 则有
(3) (V ) L( (1 ), (2 ), , (n ))
(4) 维( (V )) 秩( A)
适用于有
(5) 维( (V )) 维( 1(0)) 维(V )
( x1 , x2 , , xn ) 则的属于特征值的一个特征向量就是
x11 x2 2 xn n
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一些主要结论 : 1) 一个特征向量只能属于一个特征值,而一
个特征值可以有多个特征向量. 2) 属于同一特征值的特征向量的一切非零线
性组合是属于此特征值的特征向量. 3) 属于不同特征值的特征向量线性无关. 4) 相似矩阵有相同的特征多项式,因而有相同
4. 相似矩阵 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
反之,两个相似矩阵可以看作同一线性变换在不 同基下的矩阵.
利用相似矩阵的性质可以简化矩阵的运算.
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5.特征值与特征向量
设V是P上线性空间, 是V的线性变换,若
( ) ， ( P, 0) 则 是 的特征值, 是 的属于的特征向量.