高等数学级数教学ppt

的敛散性.
a (1 q n ) ， 当q 1时 2 n 1 解： Sn a aq aq aq 1 q . a na， 当q 1时 lim S ， 当q 1时， n n
故级数 aq
n 1

n 1
a 且和为 . 收敛， 1 q


n 1
则 lim S S ， 其中Sn为部分和. n n lim S2 n S， lim ( S2 n Sn ) S S 0. n n
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三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件： 设级数 un收敛， 则 lim un 0. n
n 1 n

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三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件： 设级数 un收敛， 则 lim un 0. n
证：设级数 un的部分和为Sn， 且 lim S S , n n


n 1
因为 un Sn Sn1， S lim S 所以lim un lim( Sn Sn1 ) lim n n 1 n n
n 1 n 1


设级数 un收敛， 则称 5、 余项：
n 1
rn S Sn un1 un 2
为级数 un的余项.
n 1

k n1
uk

这时用Sn代替和S产生的误差为rn ， 且
lim r lim ( S S ) S S 0 . n n n n

n 1
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三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件： 设级数 un收敛， 则 lim un 0. n
n 1

说明： 由lim un 0 级数 un收敛 . n
1 1 1 1 例如， 调和级数 1 , n 1 n 2 3 n 1 1 显然 lim un lim 0，但级数 发散. n n n n 1 n 1 事实上， 假设 收敛， 且其和为S， n 1 n
n 1 lim S ， 故级数 aq 发散. 当q 1时， n n
n 1 n 1
0, n 2k， 当q 1时, S n 1. a , n 2k 故级数 aqn1 发散. lim Sn 不存在，
n
因此当q 1时， 级数 aqn1 收敛； 当q 1时， 级数 aqn1 发散.
n 1 n 1
1 q
n 1 lim S ， 故级数 aq 发散. 当q 1时，n n n 1 S ， 故级数 aq 发散. 当q 1时，lim n n
Sn 不存在， 当q 1时, S n a , n 2k 1. lim n
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0, n 2k，
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例2、 讨论等比级数(几何级数)
n 1 2 n 1 aq a aq aq aq (a 0)的敛散性. n 1 a n 1 且和为 . 故级数 aq 收敛， 1 q n 1 n 1 lim S ， 故级数 aq 发散. 当q 1时，n n

n1 n1
n 1 n 1



n 1
vn .
n1

证： 设级数 un、 vn的部分和分别为Sn、 n，
则级数 ( un vn )的部分和为

n 1
n 1
n ( u1 v1 ) ( u2 v2 ) ( un vn )
( u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) Sn n， lim lim ( Sn n ) S . n n n
问题： 收敛级数与发散级数通 项和构成的级数一定发 散吗？
n 1 n 1 n 1
答案： 一定发散.
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二、 级数的基本性质 3、 去掉、增加或改变级数的有限项，不改变级数 的敛散性， 但在收敛时， 其和一般是改变的. 证： 设级数u1 u2 uk uk 1 uk n (1) 去掉前面k项得到级数uk 1 uk 2 uk n ( 2) 设级数(1)、 (2)的部分和分别为 Sn、 n，
n 1 n n 1 n


n
n 1
5、 余项： 设级数 un收敛， 则称
rn S Sn un1 un 2
n 1
为级数 un的余项.
n 1

k n1
uk
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说明：级数 un收敛 lim Sn 存在. n 级数 un发散 lim Sn 不存在. n
故收敛时， 其和一般会改变. 同理可证其他两种情况 成立.
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二、 级数的基本性质 3、 去掉、增加或改变级数的有限项，不改变级数 的敛散性， 但在收敛时， 其和一般是改变的. 4、 收敛级数加括弧后所得 级数仍收敛, 且其和不变.
证：设级数 un u1 u2 un
n
n 1
2、 推论： 设 lim un a 0， 则级数 un发散.
n
S S 0.
n

说明： 上述推论给出了一个判断级数发散的方法.
n 1 2 n 例3、 判断级数 的敛散性. 2 3 n1 n1 n 1 n n 解： lim un lim 级数 发散. 1 0 ， n n n 1 n 1 n 1
n 1 n 1



n 1
说明： 收敛级数可逐项相加与逐项相减.
n1
n1
vn .
n1

问题： 两个发散级数通项和构成的级数一定发散吗？ 答案： 不一定发散. n 1 例如、 等比级数 ( 1) 、 ( 1)n都发散，
但级数[( 1)n1 ( 1)n ] 收敛.
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1 1 1 1 例1、 判断 n 1 n( n 1) 1 2 2 3 n ( n 1) 的敛散性， 若收敛求其和. 1 1 1 解： Sn 1 2 2 3 n ( n 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 3 n n1 1 1 ， n1
n1 n1
n 1 n 1
n 1


n1
n1
n 1
n 1



n 1
vn .
n1

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二、 级数的基本性质
n 1

1、 设级数 un收敛于S， 则级数 kun收敛， 且和为kS .
n 1

2、 设级数 un、 vn收敛且和为S、，则级数 ( un vn ) 也收敛，且其和为S , 即 ( un vn ) un

即
n 1
则称级数 un收敛， 且极限S称为该级数的和， 记为
lim Sn S， n
n 1
un u1 u2 un S .
n 1

则称级数 un发散. 4、 级数发散： 若极限 lim Sn 不存在，
说明：级数 un收敛 lim Sn 存在. 级数 un发散 lim Sn 不存在.
n 1 n 1

n1
故级数 kun收敛， 且和为kS . 即 kun k un .



说明： 当k 0时，级数 un与 kun的敛散性相同.
2、 设级数 un、 vn收敛且和为S、，则级数 ( un vn ) 也收敛，且其和为S , 即 ( un vn ) un
即其和不变. 级数( 2)收敛， 且其和为S，
说明： 收敛级数去括弧后所得 级数未必收敛.
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二、 级数的基本性质 4、 收敛级数加括弧后所得 级数仍收敛, 且其和不变. 说明： 收敛级数去括弧后所得 级数未必收敛.
例如、 (1 1) (1 1) (1 1) 收敛
n 1

但 1 1 1 1 ( 1)n1
n 1

发散
推论： 设级数加括弧后所得的 级数发散， 则原级数发散. 证：设原级数收敛，
则按照已知条件的方式 加括弧得到一级数， 由性质 4得该级数收敛， 与已知矛盾 . 故原级数发散 . 三、 级数收敛的必要条件
设级数 un收敛， 则 lim un 0.
显然， 给定级数 un， 对应一个部分和数列 { Sn }, 即：
n 1

n 1
n 1
n
S1 u1 , S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 , , Sn u1 u2 un ,
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3、 级数收敛： 若级数 un的部分和数列 { Sn }存在极限S，
故 ( un vn )收敛且和为S . 即 ( un vn ) un
n1
n1
n1



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n1
vn .
n1

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二、 级数的基本性质
n 1

Hale Waihona Puke 1、 设级数 un收敛于S， 则级数 kun收敛， 且和为kS .
n 1

2、 设级数 un、 vn收敛且和为S、，则级数 ( un vn ) 也收敛，且其和为S , 即 ( un vn ) un

1 lim Sn lim(1 ) 1. n n n1
1 故 收敛，且和 S 1. n 1 n( n 1)

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例2、 讨论等比级数(几何级数)
n 1 2 n 1 aq a aq aq aq (a 0) n 1
第十一章 级数
第一节 无穷级数的概念及性质
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一、 无穷级数的收敛与发散 1、 无穷级数： 设{un }是一给定的数列， 则称和 u1 u2 u3 un
为无穷级数. 记为 un， 而un称为级数的一般项或通 项.

即 un u1 u2 u3 un 2、 部分和：Sn u1 u2 un uk k 1 称为无穷级数的部分和 .
n 1

(1)
进行如下加括弧： ( u1 u2 ) ( u3 u4 ) ( u5 u6 ) ( 2)
设级数(1)、 (2)的部分和分别为 Sn、 n，
则 1 S2 , 2 S4 , 3 S6 , , n S2 n ,
S. 故 lim lim S n 2n n n
故当n 时， 数列{ Sk n }与{ n }同时收敛或同时发散 . 即去掉级数的有限项， 不改变级数的敛散性. 记 lim n ，lim sk n S，则 S Sk .
n n
则 n uk 1 uk 2 uk n Sk n Sk ，
n 1 n 1

n 1
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二、 级数的基本性质 1、 设级数 un收敛且和为S，则级数 kun收敛，
且和为kS，即 kun k un .

n1
n1


n 1
证： 设级数 un、 kun的部分和分别为Sn、 n，
则 n ku1 ku2 kun k ( u1 u2 un ) kSn , kS . lim lim ( kS ) k lim S n n n n n n