信息光学 1、常用函数

信息光学

信息光学（傅立叶光学）是综合性大学、工科院校和高等师范院校近代光学、信息光学、激光、光电子等专业研究生和大学高年级的必修课，它是从事光学和光电子领域科学研究和产品开发人员必须的理论基础。其主要内容一般包括傅立叶光学、标量衍射理论、透镜的性质、部分相干光理论、光学全息及光信息处理等。限于本课程的课时限制，我们准备主要讲授傅立叶光学、透镜性质、标量衍射理论、部分相干光理论的内容本课程的主要内容讲授拟分八章。

第一章：数学预备知识；

第二章：二维傅立叶分析；

第三章：衍射理论基础；

第四章：菲涅耳衍射、夫琅和费衍射；

第五章：透镜的傅立叶变换特性与成象性质；

第六章：成象光学系统的传递函数；

第七章：部分相干光理论；

主要参考书

①黄婉云，傅立叶光学教程，北师大出版社，1984

②羊国光，宋菲君，高等物理光学，中国科大出版社，1991

③J. W. Goodman, 詹达三译，傅立叶光学导论，科学出版社，1976

④朱自强等，现代光学教程，四川大学出版社，1990

⑤卞松玲等，傅立叶光学，兵器工业出版社，

⑥蒋秀明等，高等光学，上海交大出版社

⑦M. 波恩，E. 沃耳夫，光学原理，科学出版社，1978

⑧吕乃光等，傅立叶光学基本概念和习题

⑨谢建平等，近代光学基础，中国科技大学出版社，1990

第一章：数学预备知识

为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。

§1-1 几个常用函数

一、 矩形函数（rectangle function ）

1、一维矩形函数

表达式为：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>-≤-=-2

1||0

21

||

1)(rect 000a x x a x x a x x

其函数图形为：

当x 0=0，a =1时，矩形函数为：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

>

≤=2

1||021

||1)(rect x x x [此时rect(x )=rect(-x )]

其图形为

2、二维矩形函数

表达式为：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧>->-≤-≤-=-⋅-2

1||,21||0

21

||,21||

1)()(000000b y y a x x b y y a x x b y y rect a x x rect

其函数图形为：

二维矩形函数可以用来描述屏上矩形孔的透过系数。对于单缝，则单缝的透过率函数可以写为

)(

rect ).(0

a

x x y x f -=， 其中x=x 0是单缝的中心，单缝宽度为a 。

矩形函数是一个十分有用的函数，它可以用来以任意幅度和任意宽度截取某个函数的任一段。例如x x rect πsin )1(-，其截取的是sin πx 的[1/2，3/2]间的一段，其图形为

二、 sinc 函数 sinc 函数的定义是

b

x x )b x x sin()b

x x (

sinc 00

-π

-π

=- 其函数图形为

-15

-10

-5

5

10

15

20

-0.4

-0.20.00.20.40.6

0.81.01.2s i n c (x )

X

单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数就是sinc(x)函数。单缝夫琅和费衍射的光强分布

函数则为sinc 2(x)，函数在x=x 0 有一极大值1，零点在x-x 0=±nb ，图形为

-10

-5

5

10

15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

s i n c 2

(x )

X

二维sinc 函数的定义为

a

y y )a y y sin(b x x )b x x

sin()a

y y (sinc )b x x (

sinc 00

000

0-π

-π⋅-π-π

=-- 其函数图形为(矩孔夫琅和费衍射空间振幅分布)

f

单矩孔衍射空间光强分布

f

三、 符号函数

符号函数定义为

⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x

四、 阶跃函数

阶跃函数的定义为

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧<=>=0

x ,00x ,210x ,1)x (step

作用相当于一个“开关” 五、 三角函数

三角函数的定义为

⎪⎩⎪⎨⎧≤-

=Λother ,

0a |x |,a

|

x |1)a x (（或用tri(x)表示三角函数）

a>0,函数以原点为中心，底边宽为2a,高为1的等腰三角形。 三角函数可表示为光瞳为矩形的非相关成像系统的光学传递函数。

六、 圆域函数

圆域函数的定义是

⎪⎩⎪⎨

⎧>+≤+=+=0

2

2

0220

2200

1

)(circ )(circ r y x r y x r y x r r

可表示圆孔的透射率。

七、 高斯函数（Gaussian Function ）

])a

x x (exp[)a x x (

Gaus 2

00-π-=- 其函数图形为