函数与方程

第九节函数与方程

[归纳·知识整合]

1．函数的零点

(1)定义：

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

[探究] 1.函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？

提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．

2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？

提示：不一定．由图(1)(2)可知．

3．函数零点具有哪些性质？

提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：

(1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；

(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ＞0Δ＝0Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx

＋c (a＞0)的图象

与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点

零点个数两个一个零个

3．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()

解析：选C由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解．

2．(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是()

A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点

B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点

C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点

D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点

解析：选C由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)内，故一定不在[2,16)内．

3．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为()

x －1012 3

e x0.371 2.727.3920.09

x＋21234 5

A.(－1,0)

C．(1,2) D．(2,3)

解析：选C令f(x)＝e x－x－2，则

f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，

f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，

f(3)＝20.09－5>0，

所以方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．

4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

解析：∵函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点为2和3，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

2＋3＝a ，2×3＝－b ，即a ＝5，b ＝－6. ∴g (x )＝bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1， 令g (x )＝0，得x ＝－12或－13.

答案：－12，－1

3

5．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上有零点， 且f (x )为一次函数，

∴f (－1)·f (1)<0，即(1－5a )(1＋a )<0. ∴a >1

5或a <－1.

答案：a >1

5

或a <－1

确定函数零点所在的区间

[例1] (1)(2013·唐山模拟)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)

D ．(2,3)

(2)(2013·朝阳模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围

是( )

A ．(1,3)

B ．(1,2)

C ．(0,3)

D ．(0,2)

[自主解答] (1)∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0，∴函数f (x )在R 上单调递增．对于A 项，f (－1)＝e －

1＋(－1)－4＝－5＋e －

1<0，f (0)＝－3<0，f (－1)f (0)>0，A 不正确，同理可验证B 、D 不正确．对于C 项，∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0.

(2)由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0

若方程x lg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )内，则k 为何值？