2.3 距离空间的可分性与完备性(课堂PPT)

注: 1) B在A中稠密 xA, > 0, S(x, )内含有B中的点
xA, 有xB 或xB′AB
2) B在X中稠密 xX, >0, S(x, )内含有B中的点
xX, 有xB或xB′ XB B =X
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例1 有理数集在R中处处稠密. 例2 Rn中的有理点集在Rn中稠密可数. 例3 多项式集合P在C[a,b]Lp[a,b]中处处稠密. (魏尔斯特拉斯一致逼近定理: x(t)C[a,b], {pn(t)}P,使 pn(t)x(t)(n), 即pn(t)按C[a,b]中的距离收敛于x(t).)
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2. 距离空间的可分性 定义2 (可分距离空间) 设X是距离空间. X是可分距离空间, 若X中存在一 个处处稠密且可数的子集. 注: 1) AX是可分集存在稠密点列{xn}A X是可分距离空间存在稠密点列{xn}X 2) X不可分X中没有任何处处稠密的可数子集。 例1 R是可分的. (有理数集在R中处处稠密、可数) 例2 Rn是可分的. ( Rn中的有理点集在Rn中稠密可数) 例3 多项式集合P是可分的.（有理系数多项式集合P0在多项式集合P中可数 稠密）
中稠密即可. x(t)B[a,b], x(t)K. >0, =(/2K)p, y(t)C[a,b]使得
m(E(x(t)y(t)))< (由鲁金定理) 不妨设y(t) K, E0=E(x(t) y(t))
(x,y)< C[a,b]在B[a,b]Lp[a,b]中稠密.
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例8 有界序列空间m都是不可分的. 证： 1）首先证明m中存在不可数集. 设A={x=(1,2…,n,…)|i=0 or 1} m
x=(1,…,n,…)A, y=(1,…,n,… )A, (x y) (x,y) =sup|i-i|=1, [0,1]={x=0.1,2,…n…|i=0 or 1}~AAm不可数
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例4 C[a,b] 是可分的.（多项式集合P在C[ a,b]中处处稠密, 因而有理系数多项式集合P0在PC[ a,b]中处处稠密可数）
证：1) 设x(t)C[a,b], 由魏尔斯特拉斯一致逼近定理,
>0, p(t)P C[a,b],使 (x,p)=max|x(t)-p(t)|</2
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一、距离空间的可分性 1.距离空间中的稠密子集 定义1（稠密性) 设X是距离空间，AX, BX.
(1) B在A中稠密, 若对于xA, {xn} B, 使xnx (n) (2) B在X中处处稠密 (或B是X的一个稠密子集), 若对于
xX, {xn} B, 使xnx (n).
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例4 [a,b]上的有界可测函数集合B[a,b]在Lp[a,b](p1)中处处稠密. 证: x(t)Lp[a,b], 定义函数列 xn(t) (n=1,2,…)是[a,b]上的有界可测函数, 且有
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x(t)Lp[a,b] x(t)pL1[a,b]>0, >0, 使当E0E=[a,b], m(E0)<时, 有 (L积分的绝对连续性)
多项式集合P在C[a,b]上稠密; 有理系数多项式集合P0在多项式集合P中稠密
>0, p0(t)P0 P, 使 (p,p0)=Biblioteka Baiduax|p(t)-p0(t)|</2
> 0, p0(t)P0 P C[a,b], 使
(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|
max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)| < p0(t)S(x,)P0按C[a,b]中距离在C[a,b]中稠密; 而P0C[a,b]是可数集，因而C[a,b] 可分的。
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第三节 距离空间的可分性与完备性 • 距离空间的可分性
有理数在实数集中的稠密性
• 距离空间的完备性
实数的完备性
•一般距离空间的完备化
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已知：在实直线上， 存在一个处处稠密的可数子集Q, 且成立完备性定理（即柯西收敛原理)。
问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密 的可数子集？完备性定理是否总成立？
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例5 Lp[a,b]是可分的.（多项式集合P在C[a,b]Lp[a,b]中稠密有 理系数多项式集合P0在Lp[a,b]中稠密可数）
证 设x(t)C[a,b], 由上例有>0, 有理系数多项式
p0(t)P0，使 C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|< /(b-a)1/p
p0(t)S(x,)P0 按Lp[a,b]中距离在Lp[a,b]中稠密; 而P0是可数集，因而Lp[a,b] 可分的。
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例6 l p(p1)与c 都是可分的. （有理点集A={x=(x1,…,xn,0,…)|xiQ}在lp (p1)和c中都处处稠密）
例7 设X是离散距离空间, 证明X 可分X是可数集 证：在离散距离空间中设有稠密真子集，所以X中唯一的稠密子 集只有X自身。 故X 可分X可数。 注：可见并非所有的距离空间都是可分的。
2）证明m中没有可数稠密子集(反证法) . 设m可分 A0={x=(1,2,…,n,…)||i|K}m可数, 且在m中稠密 A0={xk}, xk=(1(k),2(k),…, n(k))A0 ，且
AmS(xk,1/3） (k=1,2,…) A0可数, A不可x,yA, x y, 并x0A0, 使S(x0,1/3) x,y
1= (x,y) (x,x0)+ (x0,y)<1/3+1/3=2/3, 矛盾, 故m不可分. 注：定义在任何一个势为(即不可数)非空集合上的离散距离空间一定是不
N,当n>N时, m(E(x>n))<
xnx(n) B[a,b]在Lp[a,b]中稠密
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第6页 例5 [a,b]上的连续函数集合C[a,b]按Lp[a,b]中的距离在Lp[a,b]中处处稠密. 证: 由上例知B[a,b]在Lp[a,b]中稠密, 只要证明按Lp[a,b]中的距离C[a,b]在B[a,b]