把f展开为正弦级数

(2) 把f 展开为正弦级数. 奇延拓: g (x ) =⎪⎩⎪

⎨⎧=-∈--∈0

,0),0,[),(],,0(),(x l x x f l x x f a n = 0,

b n =⎰l

x f l 0)(2sin l x n πdx (n = 1, 2, …),

f (x ) ~ ∑∞=1n n b sin l x n π=⎩⎨⎧=.

,0,0l x

例1. f (x ) = x 2 (| x |≤1), 以2为周期. l = 1, 偶. b n = 0,

a n =2

21

033222221024)1()sin 2cos 2(2cos 2πππππππn x n n x n n x n x xdx n x n -=-+=⎰,

a 0 =23

2102=⎰dx x . x 2 = 31+∑∞

=-122cos )1(4n n n x n π (| x |≤1).

例2. f (x ) = x (0≤x ≤1), 展开为 1) 正弦级数, 2) 余弦级数.

解 l = 1. 1) b n = 2ππππππn x n n x n x n xdx n x n 2)1()cos sin (2sin 1102210+-=-=⎰, f (x ) ~ ⎩

⎨⎧=<<=-∑∞=+.1 ,0 ,0,10 ,sin )1(211x x x x n n n n ππ

2) a n = 2),1)1((2)sin cos (2cos 22102210--=+=⎰n n n x n x n x n xdx n x ππππππ a 0 = 2⎰10xdx = 1, x = -∑∞=--12

2)12()12cos(4n n x n ππ (0≤x ≤1).

例3(p.77.1(2)). f (x ) = x - [ x ], 周期为1, l = ½ . 在[0,1)上, f (x ) = x , a 0 = 1,

a n = 21

02210)42cos 22sin (22cos πππππn x n n x n x xdx n x +=⎰= 0,

b n = 2ππππππn n x n n x n x xdx n x 1)42sin 22cos (22sin 1

02

210-=+-=⎰,

f (x ) ~ 21-⎩

⎨⎧=<<-=∑∞=.

1,0,2/1,10],[2sin 11x x x x n x n n ππ

例4(p.78.8(1)). f 定义在[0, π / 2]上. 如何延拓为(-π, π)上的函数, 使其F 级数为

∑a 2n -1 cos (2n -1)x .

解b n = 0 ⇐ f (-x ) = f (x ),a 2n = 0 ⇐ 0 =⎰⎰⎰⎰+=+=2

/0

2/2

/0

02cos )(πππππ

nxdx x f

⎰2

/0

πf (π - t ) cos 2n (π - t ) dt =

⎰2

/0

(πf (x ) + f (π - t ))cos 2nx dx ⇐ f (π - x ) = - f (x ).

廿六. 收敛性定理的证明及F 级数的其它性质

Riemannn-Lebesgue 引理 若f 在[a , b ]上可积, 则

∞→λlim ⎰b a f (x ) sin λx dx =∞

→λlim ⎰b

a f (x ) cos λx dx = 0. 证 ∀ε >0 ∃ [a ,

b ]的分割{x 0 = a , x 1 , … , x n = b }使∑=n

k 1

(M k - m k ) ( x k - x k -1) < ½ ε , 其

中

M k , m k 是f 在[x k -1, x k ]上的上、下确界, 则λ >

∑=n

k k m 1

||4

时

|⎰b

a

f

(x )sin λx dx | = |∑⎰=-n

k x

x k k x f

11

)((- m k + m k )sin λx dx |

∑∑⎰∑⎰∑⎰=-===-+-≤

+-≤---n

k k k k n k x

x k k n

k x

x k n

k x

x k x x m dx m M xdx m dx m x f k k k k k k 1

1

1

11|

cos cos ||

|)(|

sin ||||)(|111λ

λλλ

≤∑=n k 1

(M k - m k ) ( x k - x k -1) +2

2||21εελ+<∑=n

k k m =ε .

推论 若f 在[-π , π]上可积, 则f 的F 系数a n , b n →0 (n →∞). 定理 若f 以2π为周期, 在[-π, π]上分段可微, 则

∑∞=+10(2n a a n cos nx + b n sin nx ) =2

)()(-++x f x f (x ∈[-π, π]). 证 设s n (x ) =20

a +∑=n k 1

(a k cos kx + b k sin kx ), 要证明n →∞时s n (x )

-

2

)

()(-++x f x f →.

0 (x ∈[-π , π ])

第一步 用积分表示F 级数的部分和:

∵ a k cos kx + b k sin kx =⎰-π

ππ

f 1(t ) (cos kt cos kx + sin kt sin kx ) dt

=

⎰

-π

ππ

f 1

(t ) cos (kt - kx ) dt ,

∴ s n (x ) =21⎰-πππf 1(t ) dt +⎰-ππ

πf 1(t )∑=n k 1

cos (kt - kx ) dt

=⎰-πππf 1(t ) (21+∑=n k 1cos (kt - kx )) dt ⎰---=-+=x x

u x t u x f πππ)(1(21+∑=n k 1cos ku ) du

=

⎰

-π

π

π

f 1

(x+t ) D n (t ) dt ,

其中D n (t ) =21+2

sin 2)21sin(cos 1

t

t

n kt n

k +=∑=, 称为Dirichlet 核. 第二步 用积分表示s n (x ) -2

)

()(-++x f x f :

∵ ⎰∑⎰⎰=-+==ππππππ0100)cos 21(1)(1)(1n k n D n dt kt dt t D dt t D n 偶=2

1, ∴ s n (x ) -

2

)()(-++x f x f =⎰⎰

+++-ππ

π

π0

)()(1

)()(1

dt t D t x f dt t D t x f n n - f (x -)

⎰⎰

+--π

π

π

π

0)(1

)()(1

dt t D x f dt t D n n

=

⎰

⎰-++-+00

(1

)())()((1

π

π

π

π

dt t D x f t x f n f (x + t ) - f (x -)) D n (t ) dt . (*)

第三步 应用R-L 引理, (*)中两个积分→0 (n →∞):

第一个积分的被积函数为g (t )

2

sin 2t t sin (n +

21)t , 其中g (t ) =t

x f t x f )()(+-+, 由R-L 引理, 只需证明g 在[0, π]上可积: 由分段可微条件2︒, t = 0不是奇点, 因而g 是至

多有有限个间断点的有界函数, 可积.

Bessel 不等式 若f 在[-π, π]上可积, 则∑∞=++12220

)(2n n

n b a a ≤⎰-ππ

πf 12, 其中a n , b n 为f 的F 系数.

证 设s n (x ) =20a +∑=n

k 1

(a k cos kx + b k sin kx ), 则