把f展开为正弦级数

(2) 把f 展开为正弦级数. 奇延拓: g (x ) =⎪⎩⎪
⎨⎧=-∈--∈0
,0),0,[),(],,0(),(x l x x f l x x f a n = 0,
b n =⎰l
x f l 0)(2sin l x n πdx (n = 1, 2, …),
f (x ) ~ ∑∞=1n n b sin l x n π=⎩⎨⎧=.
,0,0l x
例1. f (x ) = x 2 (| x |≤1), 以2为周期. l = 1, 偶. b n = 0,
a n =2
21
033222221024)1()sin 2cos 2(2cos 2πππππππn x n n x n n x n x xdx n x n -=-+=⎰,
a 0 =23
2102=⎰dx x . x 2 = 31+∑∞
=-122cos )1(4n n n x n π (| x |≤1).
例2. f (x ) = x (0≤x ≤1), 展开为 1) 正弦级数, 2) 余弦级数.
解 l = 1. 1) b n = 2ππππππn x n n x n x n xdx n x n 2)1()cos sin (2sin 1102210+-=-=⎰, f (x ) ~ ⎩
⎨⎧=<<=-∑∞=+.1 ,0 ,0,10 ,sin )1(211x x x x n n n n ππ
2) a n = 2),1)1((2)sin cos (2cos 22102210--=+=⎰n n n x n x n x n xdx n x ππππππ a 0 = 2⎰10xdx = 1, x = -∑∞=--12
2)12()12cos(4n n x n ππ (0≤x ≤1).
例3(p.77.1(2)). f (x ) = x - [ x ], 周期为1, l = ½ . 在[0,1)上, f (x ) = x , a 0 = 1,
a n = 21
02210)42cos 22sin (22cos πππππn x n n x n x xdx n x +=⎰= 0,
b n = 2ππππππn n x n n x n x xdx n x 1)42sin 22cos (22sin 1
02
210-=+-=⎰,
f (x ) ~ 21-⎩
⎨⎧=<<-=∑∞=.
1,0,2/1,10],[2sin 11x x x x n x n n ππ
例4(p.78.8(1)). f 定义在[0, π / 2]上. 如何延拓为(-π, π)上的函数, 使其F 级数为
∑a 2n -1 cos (2n -1)x .
解b n = 0 ⇐ f (-x ) = f (x ),a 2n = 0 ⇐ 0 =⎰⎰⎰⎰+=+=2
/0
2/2
/0
02cos )(πππππ
nxdx x f
⎰2
/0
πf (π - t ) cos 2n (π - t ) dt =
⎰2
/0
(πf (x ) + f (π - t ))cos 2nx dx ⇐ f (π - x ) = - f (x ).
廿六. 收敛性定理的证明及F 级数的其它性质
Riemannn-Lebesgue 引理 若f 在[a , b ]上可积, 则
∞→λlim ⎰b a f (x ) sin λx dx =∞
→λlim ⎰b
a f (x ) cos λx dx = 0. 证 ∀ε >0 ∃ [a ,
b ]的分割{x 0 = a , x 1 , … , x n = b }使∑=n
k 1
(M k - m k ) ( x k - x k -1) < ½ ε , 其
中
M k , m k 是f 在[x k -1, x k ]上的上、下确界, 则λ >
∑=n
k k m 1
||4
时
|⎰b
a
f
(x )sin λx dx | = |∑⎰=-n
k x
x k k x f
11
)((- m k + m k )sin λx dx |
∑∑⎰∑⎰∑⎰=-===-+-≤
+-≤---n
k k k k n k x
x k k n
k x
x k n
k x
x k x x m dx m M xdx m dx m x f k k k k k k 1
1
1
11|
cos cos ||
|)(|
sin ||||)(|111λ
λλλ
≤∑=n k 1
(M k - m k ) ( x k - x k -1) +2
2||21εελ+<∑=n
k k m =ε .
推论 若f 在[-π , π]上可积, 则f 的F 系数a n , b n →0 (n →∞). 定理 若f 以2π为周期, 在[-π, π]上分段可微, 则
∑∞=+10(2n a a n cos nx + b n sin nx ) =2
)()(-++x f x f (x ∈[-π, π]). 证 设s n (x ) =20
a +∑=n k 1
(a k cos kx + b k sin kx ), 要证明n →∞时s n (x )
-
2
)
()(-++x f x f →.
0 (x ∈[-π , π ])
第一步 用积分表示F 级数的部分和:
∵ a k cos kx + b k sin kx =⎰-π
ππ
f 1(t ) (cos kt cos kx + sin kt sin kx ) dt
=
⎰
-π
ππ
f 1
(t ) cos (kt - kx ) dt ,
∴ s n (x ) =21⎰-πππf 1(t ) dt +⎰-ππ
πf 1(t )∑=n k 1
cos (kt - kx ) dt
=⎰-πππf 1(t ) (21+∑=n k 1cos (kt - kx )) dt ⎰---=-+=x x
u x t u x f πππ)(1(21+∑=n k 1cos ku ) du
=
⎰
-π
π
π
f 1
(x+t ) D n (t ) dt ,
其中D n (t ) =21+2
sin 2)21sin(cos 1
t
t
n kt n
k +=∑=, 称为Dirichlet 核. 第二步 用积分表示s n (x ) -2
)
()(-++x f x f :
∵ ⎰∑⎰⎰=-+==ππππππ0100)cos 21(1)(1)(1n k n D n dt kt dt t D dt t D n 偶=2
1, ∴ s n (x ) -
2
)()(-++x f x f =⎰⎰
+++-ππ
π
π0
)()(1
)()(1
dt t D t x f dt t D t x f n n - f (x -)
⎰⎰
+--π
π
π
π
0)(1
)()(1
dt t D x f dt t D n n
=
⎰
⎰-++-+00
(1
)())()((1
π
π
π
π
dt t D x f t x f n f (x + t ) - f (x -)) D n (t ) dt . (*)
第三步 应用R-L 引理, (*)中两个积分→0 (n →∞):
第一个积分的被积函数为g (t )
2
sin 2t t sin (n +
21)t , 其中g (t ) =t
x f t x f )()(+-+, 由R-L 引理, 只需证明g 在[0, π]上可积: 由分段可微条件2︒, t = 0不是奇点, 因而g 是至
多有有限个间断点的有界函数, 可积.
Bessel 不等式 若f 在[-π, π]上可积, 则∑∞=++12220
)(2n n
n b a a ≤⎰-ππ
πf 12, 其中a n , b n 为f 的F 系数.
证 设s n (x ) =20a +∑=n
k 1
(a k cos kx + b k sin kx ), 则
0≤⎰--ππdx x s x f n 2))()((=⎰-π
π2
f
-⎰-ππn s f 2+⎰-π
π2n
s , (**) ∑∑
⎰
⎰
⎰
⎰==----+=
++
=n
k k
n
k k k n a a kxdx x f b kxdx
x f a f a s f 1
220
1
(2
)sin )(cos )((2 ππππ
ππ
ππ
ππ
+2k
b ), ⎰
-ππ2
n
s =⎰∑∑∑-===++++π
π
n k k
n k k n k k k kx b kx a kx b kx a a a 1
221221020sin cos )sin cos ()2(( +2∑∑==++==n k k k n l k l k b a a dx lx kx b a 1
22201,)(2)sin cos ππ . 代入(**)且令n →∞得证. 注 对[0, 2π ],[-l , l ] ,[0, 2l ]有类似的不等式, 只需把⎰⎰-π
ππ20等换成. 由Bessel 不等
式,
∑2n a , ∑2n
b 总收敛. 最佳平均逼近定理(p.83总练习题2) 若f 在[-π, π ]上可积, T n (x ) =20A +∑=n
k 1
(A k cos kx +
B k sin kx ) (A k , B k ∈R ), a 0 , a k , b k (k = 1, 2, …, n )是f 的F 系数, 则当且仅当A 0 = a 0, A k = B k ,
B k =b k (k =1,…,n )时
⎰--π
π2)(n T f
取最小值, 即∀n , A 0, a k , B k ,
⎰--π
π2)(n s f
≤
⎰
--ππ
2)(n T f .
证 仿Bessel 不等式的证明,
⎰--π
π2)(n T f
=⎰⎰⎰---+-πππππ
π22
2n n T fT f
=⎰-π
π2
f
- 2
(2πa 0A 0 + π∑=n k 1(A k a k + B k b k )) +∑=++n k k k B A A 12220)(2
ππ=⎰-ππ2f +2π((A 0 - a 0)2-20a ) +π∑=n k 1((a k - A k )2 -2k a ) + π∑=n k 1(((b k - B k )2 -2k b ), 当且仅当A 0 = a 0, A k = B k , B k = b k 时取最小
值⎰-π
π2
f - π (
2120a +∑=n k 1(2k a +2k
b )) =⎰--ππ
2)(n s f .
Parseval 等式 π1⎰-ππ2f =2021a +∑∞=1(
n 2k a +2k
b ). 条件(p.83.2): 在[-π, π]上f 可积,
其F
级数一致收敛.
证
∑∞=+10(2n a a n cos nx + b n sin nx ) = f (x )一致, f 有界, 故f (x )∑∞=+1
(2n a a n f (x )cos nx +
b n f (x ) sin nx ) = f 2 (x )一致, 可逐项积分.
注 可以证明, 只要f 可积(当然以2π为周期), Parseval 等式就成立.
若f , g 可积, ⎰b
a f g = 0, 则称f 在[a ,
b ]上正交. 若函数列ϕ0, ϕ1, ϕ2, …中任两函数正交,
则称之为正交函数系. 三角函数系1, cos x , sin x ,…, cos nx , sin nx , … 是[-π, π]或[0, 2π]上
的正交函数系; 1, cos l x π, sin
l x π, cos 2l x π, sin 2l
x π, … 是[-l , l ]或[0, 2l ]是的正交函数
系.
完全性定理 三角函数系是完全的, 即若[-π, π]上的连续函数f 与三角函数系的每
个函数正交, 则f = 0.
证 由条件知F 系数a n = b n = 0. 由Parseval 等式(见上述注), ⎰
-ππ
2
f
=0, 故f = 0.
廿七. n 维欧氏空间 (=定义了内积的n 维线性空间)
设A , B 是集, A 与B 的积 (集)A ×B d
={(a , b )|a ∈A , b ∈B }, 其中(a , b )是序偶. [a , b ]×[c , d ] = …. R n = R ×…×R = {x | x = (x 1, …, x n ), x k ∈R , k = 1, 2, …, n }. 对x = (x 1, …, x n ), y = (y 1, …, y n )∈R n , 定义x = y d
⇔x k = y k (k = 1, 2, …, n ), x + y d
= …, cx d = …, 这样, R n 是线性空间, 它有基e k d = …. 内积 (x , y )d
= …. 这样的R n 称为n 维欧氏空间. 点. 模 | x | d
=),(x x . x 与y 的距离 d (x , y ) d
=| x - y |.
△内积有以下性质: 1) 正定 (x , x )≥0, 非退化(x , x ) = 0 ⇔ x =0; 2) 对称; 3) 双线性.
△距离有以下性质: 1) d (x , y )≥0, d (x , y ) = 0⇔x = y ; 2) 对称; 3) 三角不等式. △Cauchy-Schwarz 不等式 | (x , y )|≤| x | | y |, 等式⇔ x , y 线性相关.
证 若x , y 线性相关, 即∃λ≠0使x = λy (或y = λx ), 则| (x , y )| = | λ | | y | 2 = | x | | y |. 若x , y 线性无关, 即∀λ∈R , λy - x ≠0, 则0 < (λy - x , λy - x ) = λ 2 | y | 2 - 2λ (x , y ) + | x | 2, 故判别式|(x , y )| - | x | | y | < 0.
线性变换.
△ f : R n →R 线性⇔∃1 a ∈R n ∀x ∈R n 使 f (x ) = (a , x ).
证 ⇐ 由内积关于第二变元线性. ⇒ 设{e 1, … , e n }是R n 的基, x = x 1 e 1 + … + x n
e n . 由
f 线性得f (x ) = x 1 f (e 1) + … + x n f (e n ), 取a = { f (e 1), …, f (e n )}得证.
唯一性: ∀x (a , x ) = (b , x ) ⇒∀x (a - b , x ) = 0 (取x = a - b )⇒|| a - b || = 0 ⇒ a - b = 0.
设x m = (x m 1, …, x mn )∈R n , a = (a 1 , …, a n )∈R n . 收敛点列lim x m = a d
⇔lim | x m - a | =
0 ⇔ x mk →a k (k = 1, …, n , m →∞) (收敛⇔按坐标收敛) [⇒ |x mk - a k |≤| x m - a |; ⇐ |x m - a |≤|x m 1 - a 1 | + … + | x mn - a n |.]
极限的唯一性, 有界性. 保持和、 数乘、内积. R n 中的点列无次序, 因而如上、 下确界, 保序性, 保号性等不能引入.
Cauchy 列. Cauchy 准则 [⇐ {x m }是Cauchy 列⇒∀k {x mk }是Cauchy 列⇒∃a k = lim x mk ⇒ x m →a = (a 1 , … , a n )]
以a , b ∈R n 为端点的线段: {x ∈R n | x = ta + ( 1 - t ) b , 0≤t ≤1}. 过a , b 的直线: {x ∈R n | x = ta + ( 1 - t ) b , t ∈R }. 以a ∈R n 为心, δ >0为半径的(n 维)开球 = a 的δ 球邻域B (a , δ )d
={x | ||x - a || < δ },
闭球B (a , δ )d =…, 球面S (a , δ )d
=… . n =2时分别为开圆, 闭圆, 圆周.
n 维闭区间[a 1, b 1]×…×[a n , b n ], n 维开区间, n 维方区间(方体). n =2时分别为开矩形, 闭矩形, 正方形. 特别地, a = (a 1, …, a n )时{x | x = (x 1, …, x n ), | x k - a k |<δ, k = 1, …, n }称为a 的方邻域. 由于方邻域和球邻域互相包含, 故可统称为a 的δ 邻域. 去心邻域. 注意方去心邻域是{x | | x k -a k |<δ, k = 1, …, n , x ≠a }, 不是{x | 0 < | x k - a k |<δ , k = 1, …, n }, 因为前者表明∃k 使x k ≠a k , 而后者则表明∀k x k ≠a k . 例如n =2时, 前者的图示为开矩形去掉中心, 后者为矩形去掉两条线段. 记号U (a , δ ), U' (a , δ ), U a .
E ⊂ R n 的内点, 外点, (边)界点, 内部 (int E , E ︒), 外部(ext E ), 边界(∂E , bd E ), 闭包(E =E ∪∂E = E ︒∪∂E ). R n =E ︒∪∂E ∪ext E . 聚点, 导集(E' ), 孤立点.
△孤立点⇒界点⇒聚点或孤立点, 内点⇒聚点⇒内点或界点.
例 E = (0, 1)⊂R ; E = [0, 1]⊂ R ; E = (0, 1)∪{2}⊂ R ; E = {(x , y )∈R 2 | xy = 0}; E = {(x , y )∈R 2 | 1< x 2 + y 2 ≤4}.
E ⊂ R n 开d
⇔E ︒ = E ⇔E 的每个点是内点⇔∀x ∈E ∃邻域U x ⊂ E .
E ⊂ R n 闭d
⇔①R n \ E 开⇔②(x n ∈E , x n →x ⇒x ∈E )⇔③E =E ⇔④E ⊃ E' ⇔⑤E ⊃∂E .
证 ①⇒② x ∉E ⇒x ∈R n \ E ⇒ ∃B (x , δ )⊂ R n \E ⇒ B (x , δ)∩E = ∅. 但x n ∈E 且x n
→x ⇒ x n ∈E 且n 充分大时x n ∈B (x , δ )⇒n 充分大时 x n ∈B (x , δ )∩E , 矛盾.
②⇒③ ∃x ∈E \ E ⇒ ∃x ∈∂E \ E ⇒∀n ∃x n ∈B (x ,n
1)∩E ⇒ x n →x ⇒(由②)x ∈E , 矛盾.
∴E ⊂ E .
③⇒④ E ⊃ E' .
④⇒① R n \ E 不开⇒ ∃ x ∈R n \ E ∀δ B (x , δ )∩E ≠∅ ⇒x ∈∂E \ E ⇒ x ∈E' ⊂ E , 与x ∉E 矛盾.
③⇒⑤ E ⊃∂E . ⑤⇒③ 由E ︒ ⊂ E 及⑤得E ⊂E ⊂E , 即E =E .
例 R n 与∅既开又闭. 一维开区间是一维开集, 但在R n (n >1)中既不开又不闭(开、闭。