一维电测深正反演程序

一、电阻率测深法原理

电阻率法是通过观测地表的电场来了解地下介质电性分布的，要探测一定深度的地层的存在，必须使其明显的影响到地表的电场分布，也就是要求其对观测点处的电场有明显的扰动，而要做到这一点，就要求流入相应深度的电流份额足够多。因为在电阻率法中都是使用点电流源，因此需要考察距离点电流源不同距离的时透入某一给定深度以下供电电流所占比例的变化规律。在相距2L的两个异性点电流源AB之间的中垂面上任意一点上的电流密度为：

J=IL

π

1

(L2+y2+z2)32⁄

式中，y为观测点距AB连线的水平距离；z为深度；I为供电电流强度。透入给定深度z以下的相对电流强度为：

I z I⁄=L

π∫∫dydz

(L2+y2+z2)32⁄

=1−2

π

arctan z

L

∞

z

∞

−∞

（1-1）

下图所示为透入深度z以下空间的电流Iz/I随L/z变化的情况。从图中可以看出，当L/z值比较小时，透入深度z以下空间的电流Iz/I比例也小，只能探测到近地表的情况；增大电测深的供电电极距L时，透入某一给定深度z以下的供电电流比例将随之增大。当L/z较大时，就可以探测到较深的部位。

在研究地下介质电阻率的垂向变化时，希望尽量减小横向电阻率变化的影响。如前所述，移动测量电极MN对地下介质电阻率的横向变化反映非常明显，而移动供电电极AB对地下介质电阻率的横向变化反映则远没有那么明显。为了减少横向电阻率变化的影响，应该采用一种测量电极MN基本保持不动，主要移动供电电极AB的装置。在实际工作中，一般采用对称四极测深装置，在施工条件限制时，也可采用三极测深装置，其他装置则很少使用。

二、对称四极测深装置简介

对称四极测深装置野外工作布置如下图所示，供电电极AB和测量电极MN都以测点O为中心对称布置在一条直线上。最初的供电电极距仅数米，逐步取一系列的递增值，每个数量级距离供电极距改变约5—6次，各供电极距AB/2在对数轴上应均匀分布（大致按照相同的倍数增大）。每一个供电极距与前一个供电极距的比值大约为1.2—1.5左右。选择供电极距时，要求最小的极

距应能反映地表浅层电阻率，最大的极距则能满足勘探深度要求，并保证测深曲线尾支的完整，不妨碍解释最后一个电性层。从勘探深度方面考虑，供电电极距AB/2应从最小勘探深度的一半到最大勘探深度的5倍左右。测量电极MN 开始是固定的，例如取0.5m；直到（随着供电电极距的加大）电压过小时，才去另一增大值，例如3m，以此类推，一般MN的大小大约为AB的1/3—1/30 。在改变MN时一般要求有2个供电极距以2组MN极距观测。因为增大测量电极距MN会降低勘探深度，因此增大测量电极距时，ρs曲线通常会出现脱节现象。另外还有一种特殊的对称四极装置，它是始终保持MN=AB/3，称为Wenner 装置，西方国家用的较多，这种装置的ρs曲线是光滑的，没有脱节问题。三、多层水平地层上视电阻率表达式

1）水平地层上地面点电流源的电场

如下图所示，假定地面水平,在地下有n层水平层状地层，各层的电阻率分别为ρ1，ρ2，……ρn；厚度分别为h1,h2,……hn，其中hn→∞；每层地面到地面的距离为H1，H2，……Hn,其中Hn→∞。在A点有一电流源供电，电流强度为I。

用柱坐标系，将原点设在A点，z轴垂直向下。由于问题的解具有轴对称性，与ψ无关,因此电位分布满足以下形式的拉普拉斯方程

∂2U ∂r2+1

r

∂U

∂r

+∂2U

∂z2

=0（3-1）

以及如下边界条件

（1）电源点附近，趋于地面点电流源的正常电位，即

U1

R=√r2+z2→0→Iρ1

2πR

（3-2）

（2）在地面处电流密度法向分量为零，即

[1ρ1∂U1

∂z

](z=0)=0 （3-3）

（3）除场源点外，电位处处有限，且无穷远处电位为零，即

U n

z→∞

→0

（4）在岩层分界面处电位连续，即

U i

z=H i =U i+1

z=H i

i=1，2，……，n−1 （3-4）

（5）在岩层分界面处电流密度法向分量连续，即

1ρi ∂U i

∂z z=H

i

=1

ρi+1

∂U i+1

∂z z=H

i

i=1，2，……n−1（3-5）

式（3-1）可用分离变量法求解，设

U=R(r)Z(z)（3-6）经分离变量后得到两个二阶常微分方程

∂2R ∂r2+1

r

∂R

∂r

+m2R=0 （3-7）

∂2Z

∂z2

−m2Z=0（3-8）

其中，式（3-7）的解为第一类和第二类零阶贝塞尔函数J0(mr)和Y0(mr)。第二类零阶贝塞尔函数Y0(mr)在r=0的Z轴上趋于无穷，这种特征不符合点场源特征，因此应舍去，这样式（3-7）的解为第一类零阶贝塞尔函数J0(mr)。式（3-8）的解为

Z(z)=Ae−mz+Be mz（3-9）由此可写出各层电位积分形式的通解

U i(r,z)=I

2π∫[A i(m)e−mz+B i(m)e mz]J0(mr)dm

∞

（3-10）

式中，A i(m)和B i(m)为待定函数；i=1,2，……，n。

在第一层介质中的电位，还应附加电源点电位，即

U1(r,z)=Iρ1

2πR +I

2π

∫[A1(m)e−mz+B1(m)e mz]J0(mr)dm

∞

（3-11）

由

∂U1(r,z)

∂z =

Iρ1z

2π(r2+z2)32⁄

+

I

2π

∫[−A1(m)e−mz+B1(m)e mz]mJ0(mr)dm

∞

据边界条件式（3-3），可得

A1(m)=B1(m)