无线信道各种表征以及关系

时间色散信道中的一些公式推导

1、系统函数之间关系推导

1.1系统函数

系统函数如下：

输入延迟扩展函数 ),(τt h

时变传输函数 ),(f t H

延迟多普勒扩展函数 ),(τνs

输出多普勒扩展函数 ),(f v B

1.2 系统函数之间的关系

首先我们用延迟扩展函数写出输入和输出信号之间的关系

⎰+∞

∞--=

τττd t h t x t y ),()()( （1）

将输入延迟扩展函数 ),(τt h 对延迟变量τ做傅里叶变换，可以得到时变传递

函数),(f t H ： ()d τe t,τh f t H πfτj 2),(-+∞∞-⎰= （2） 当对输入延迟扩展函数 ),(τt h 的t 做傅立叶变换，就可以得到延迟多普勒扩 展函数(简称扩展函数) ),(τνs ：

()()dt e t h v s vt j πττ2,,-+∞

∞-⎰= （3） 最后，将传递函数),(f t H 对绝对时间t 做傅立叶变换，得到输出多普勒扩展 函数：

（4） 由上式可知，输入延迟扩展函数(,)h t τ与时变传输函数(,)H t f 、延迟多普勒 扩展函数(,)s v τ与输出多普勒扩展函数(,)B v f 分别是关于时间变量τ的一对傅立叶变换函数。

2(,)(,)j vt B v f H t f e dt π+∞--∞

=⎰

输入延迟扩展函数(,)h t τ与延迟多普勒扩展函数(,)s v τ、时变传输函数 (,)H t f 与输出多普勒扩展函数(,)B v f 分别是关于绝对时间t 的一对傅立叶变换函数。

2、相关函数

2.1 系统函数与相关函数之间的关系

首先定义对应四个系统函数的相关函数分别为：

*(,){(,)(,)}s R v v E s v s v ττττ';,'=' (5) *(,){(,)(,)}h R t t E h t h t ττττ';,'='' (6) *(,;,){(,)(,)}H R t t f f E H t f H t f ''='' (7) *(,,,){(,)(,)}B R v v f f E B v f B v f ''='' (8)

2.1.1广义平稳非相关散射(WSSUS)假设

在实际应用中，为使问题简化，提出了广义平稳非相关散射(WSSUS)假设。 首先解释广义平稳(Wide-Sense Stationary, WSS)。从数学上说，如果自相关 函数与时间,t t '无关，而只和它们的差t t t ∆=-'有关，则该信道是广义平稳的。 在数学上，平稳性应该是在一个无限长的时间上都是满足的；但在实际中，我们通常认为在几十倍的多普勒频率倒数（相关时间）上满足平稳性就是平稳的。在广义平稳假设下，有：

(,;,)(,,)h h R t t R t ττττ''=∆' （9） 所谓非相关散射(US)，是指不同延迟的散射体的分布是不相关的，这也意味着：

(,;,)(,,)()h h R t t R t t τττδττ''='-' （10）

从物理上解释，US 假设就是指一个回波对另一个延迟不同的回波不能提供任何信息。对传递函数，US 假设意味着：

()()f f f t t R f f t t R H H ∆+=,,,,;,''' （11）

所以，与绝对频率无关，只与频率差有关。

2.1.2 公式推导

将式（3）代入延迟多普勒扩展函数 ),(τνs 的相关函数，在广义平稳非相关散射(WSSUS)假设条件下，可得：

()()()'2'''''',;,,;,dtdt e t t R v v R t v vt j h s -+∞∞-+∞∞-⎰

⎰=πττττ ()()'2'''''',;,dtdt e t t R t v t v t v vt j h -+-+∞∞-+∞∞-⎰⎰=

πττ ()()

t d e t R dt e t jv h v v jt ∆∆=∆-+∞∞-+∞

∞--⎰⎰''2'2,;ππττ（wss 条件下） ()()'

',,~v v v P s -=δττ ()()()

'',ττδδτ--=v v v P s （US 条件下） （12） 同理有：

()()()

''',,;,v v f v P f f v v R B B -∆=δ （13） ()()f t R f f t t R H H ∆∆=,,;,'' （14）

()()()''',,;,ττδτττ-∆=t P t t R h

h （15） 式（12）~ （15）即为在广义平稳非相关散射(WSSUS)假设条件下系统函数与相关函数之间的关系。在右边的函数中只有两个变量，这使公式和计算都得到了简化。它们在实际中都有重要的用途，分别命名为：

(,)s P v τ 散射函数

(,)h P t τ∆ 延迟互功率谱密度

(,)H R t f ∆∆ 时频相关函数

(,)B P v f ∆ 多普勒互功率谱密度

2.2相关函数之间的关系

由于四个系统函数(,)s v τ、(,)h t τ、(,)H t f 、(,)B v f 存在一定的傅立叶变换 关系，所以相应的四个系统函数的相关函数(,;,),(,;,),(,;,),(,;,)s h H B R v v R t t R t t f f R v v f f ττττ''''''''也存在傅立叶变换关系。

例如，输入延迟扩展函数(,)h t τ与时变传输函数(,)H t f 、延迟多普勒扩展函 数(,)s v τ与输出多普勒扩展函数(,)B v f 分别是关于时间变量τ的一对傅立叶变换函数。相应的，(,;,),(,;,),(,),(,;,)h H s B R t t R t t f f R v v R v v f f ττττ''''';,'''分布是也关于时间变量τ的一对傅立叶变换函数。输入延迟扩展函数(,)h t τ与延迟多普勒扩展函数(,)s v τ、时变传输函数(,)H t f 与输出多普勒扩展函数(,)B v f 分别是关于绝对时间t 的一对傅立叶变换函数。相应的(,;,),(,;,),(,),(,;,)h H s B R t t R t t f f R v v R v v f f ττττ''''';,'''分别是关于绝对时间差t ∆的一对傅立叶变换函数。

同理，延迟互功率谱密度(,)h P t τ∆和时频相关函数(,)H R t f ∆∆、散射函数