存在性问题专题

存在性问题专题
一、概述
1.概述：存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

2.分类：存在性问题按定性可分为：(1)肯定性存在问题
(2)否定性存在问题
(3)讨论性存在问题
二、例题分析
例1. 若关于的一元二次方程有两个实数根，x x m x m m 22319200-++-+=()
又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且，a b c ABC A B C C B ==9035cos
b a m Rt -=3，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于
△的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明ABC c m
理由。

分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先
抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。

解：
在△中，∠°，∵Rt ABC C B ==903
5cos ∴设a=3k ，c=5k ，则由勾股定理有b=4k ，
33343==-=-k k k a b ∴，∴，
∵ ∴，，a b c ===91215
设一元二次方程的两个实数根为，x m x m m x x 2212319200-++-+=()
则有：，x x m x x m m 1212231920+=+=-+() ∴x x x x x x m m m 122212212222312920+=+-=+--+()[()]()
=+-736312m m
由，x x c c 1222215+==
有，即73631225736256022m m m m +-=+-=
∴，m m 124647==- ∵不是整数，应舍去，m =-647
当时，m =>40∆
∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边c 的平方。

例2.
如图：已知在同一坐标系中，直线与轴交于点，抛物y kx k y P =+-22 线与轴交于，，，两点，是抛物线的顶点y x k x k x A x B x C =-++21221400()()()
（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）
（2）若点A 在点B 的左侧，且x1·x2<0
①当k 取何值时，直线通过点B ；
②是否存在实数k ，使S △ABP=S △ABC ？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

分析：本题存在探究性体现在第（2）问的后半部分。

认真观察图形，要使S △ABP=S △ABC ，由于AB=AB ，因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以。

OP 显然是△ABP 的高线，而△ABC 的高线，需由C 作AB 的垂线段，在两个高的长中含有字母k ，就不难找到满足条件的k 值。

解：()()()11044414122∵，∴³最小值a y k k k =>=-+=--
()()()()2214222由，得：y x k x k y x x k =-++=-- ①当时，，y x x k ===02212 ∵点A 在点B 左侧，
∴，又∵，∴，x x x x x x 121212000<<<> ∴A （2k ，0），B （2，0），
将，代入直线B y kx k ()2022=+- 得：，∴222043k k k +-==- ∴当时，直线过点k B =-43
（2）过点C 作CD ⊥AB 于点D
则CD k k =--=-|()|()1122
∵直线交轴于，，y kx k y P k =+--22022() ∴OP k =-22 若，则²²△△S S AB OP AB CD ABP ABC ==1212 ∴OP=CD ∴2212-=-k k ()
解得：，k k 12122=-=
由图象知，，∴取k k <=-012 ∴当时，△△k S S ABP ABC =-=12
此时，抛物线解析式为：y x x =--22
例3. 如图，在平面直角坐标系O —XY 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A 和B ，且12a+5c=0。

（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P 由点A 沿AB 边以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以1cm/秒的速度向点C 移动，那么：
①移动开始后第t 秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； ②当S 取最小值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）根据题意，A （0，－2），B （2，－2）
根据题意：∴-=-=+++=⎧⎨⎪⎩⎪==-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪2242125056532c a b c a c a b c ∴抛物线的解析式为：y x x =--565322 （2）①移动开始后第t 秒时，AP=2t ，BQ=t
∴P （2t ，－2），Q （2，t －2）
∵，∴S PQ S t t ==-+--+2222222()()即S t t t =-+<≤584012()
②当取得最小值时，S t =4
5
∴，，，P Q ()()852265-- 假设在抛物线上存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形，
若以PR 为一条对角线，使四边形PBRQ 为平行四边形
∴BP QR =-
==28525
∴，∴，，22512512565+=-R () 经检验，在抛物线上，R (
)12565-
若为PB 为一条对角线，使四边形PRBQ 为平行四边形
∵BQ t PR ==
=45 ∴245145+=
∴，，经检验，不在抛物线上R R ()()8514585145--
综上所述，当最小时，抛物线上存在点，，使得以、、、S R P B Q R ()12565-
为顶点的四边形是平行四边形。

例5.
如图：二次函数的图象与轴相交于、两点，点在原y x bx c x A B A =++2 点左边，点在原点右边，点，在抛物线上，，∠B P m AB PAO ()tan 122
5==
（1）求m 的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在x 轴下方的抛物线上有一动点D ，是否存在点D ，使△DAO 的面积等于△PAO 的面积？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由。

解：（1）作PH ⊥x 轴于H ，在Rt △PAH 中
∵∠tan PAO PH AH ==25 ∵，∴PH m AH m ==52 ∵P （1，m ）在抛物线上，m=1+b+c ， 设，，，，∵A x B x AB ()()12002=
∴||x x 212-=
∴()x x x x 1221242+-= 令，得：y x bx c =++=002
∴，，∴x x b x x c b c 1212242+=-=-=
∵±±x b b c b =--=-24222 且，∴，x x x b x b 12122222<=--=-+ ∵OH=1，∴AH －AO=1
∵，AH m AO x b ==-=+52221 ∴52221m b -+= 由：得：m b c m b b c m b c =++-+=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪===-⎧⎨⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪1522214224254521252 b =-4()舍去
∴m =2425 ()24521252y x x =+
- （3）假设在x 轴下方的抛物线上存在点D （x0，y0），
使，则有：△△S S DAO PAO =
S AO y S AO PH DAO PAO △△²，²==12120||||||||
∴，||||y PH m 02425===
∴，代入，得：y y x x 00020242545215=-=-- x x x x 020124521524253515--=-=-=-，解得：，
∴满足条件的点有两个：
D D ()()----352425152425，或，
三、专题总结
我们了解了怎样去解答存在性问题，即假设其存在，再根据具体的条件去证明，如果和假设相符合则成立，不符合就不成立。

在具体的选择填空时，我们可以假设其成立和不成立两种情况，用学过的公式定理去将其推翻或符合，需要拥有具体问题具体分析其假设的状态。