节定积分及应用习题课

（B）1；
（C）1 ； 3
（D） .
4.、定积分
1
e
x dx的值是（ D
）
0
（A）e ；
（B）1 ； 2
1
（C）e 2；
（D）2 .
5.下 列 式 子 中 正 确 的 是 ( B )
5、下列积d分中x，使用变换正确的是（ ）
( A)
（A）dx
adxf
(t )dt ,令
f (t) x arctan t
2 1 5 1 2 5 2
例3.比较
2
ln xdx
与
2 (1 x)dx 的大小
1
1
解一 令f(x)=1+x-lnx, 因为 f ( x) 1 1 x 1
∴当1<x<2时, f ( x)>0.
xx
又因为f(x)在[1,2]上连续,∴f(x)在[1,2]上单增.
则, 当x>1时,f(x)>f(1)=2, 即 1+x>ln x
（A） 1 x 2dx； 1
（C） 1 dx； 1
(B） 2 x 3dx； 1
（D） 1 x 2 sin xdx . 1
7、 已知 f (0) 1 , f (2) 3 , f ' (2) 5,则 2 xf '' ( x)dx （B） 0
（A）12；
（B）8；
（C）7；
（D）6.
8、设
(B) 2
(C ) 发 散
(D) 1 2
2、 d x ln(t 2 1) dt =（ A ）
dx 0
（A）ln( x 2 1)；
（B）ln(t 2 1)；
（C）2x ln( x 2 1)； （D）2t ln(t 2 1) .
x sin t 2dt
3、lim 0 x0
x3
=( C )
（A） 0 ；
的,求: (1)平面图形D的面积
(2)平面图形D绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 (1)平面图形D的图形如图所示
y
ye
S
1
(e
0
e
x
)dx
(ex
e
x
)
|10
1
y ex
(2)
Vy
e
x 2dy
1
e
(ln
y)2
dy
1
o
x
令t ln y
1 t 2e t dt e 2
0
e
另解(1)平面图形 A ln ydy 1
se cu tan udu ecu sec2 u 1
3
du
4
u
3
4
3
4
12
解法二
令x
1 u
, 则dx
1 u2
du,
1
x 22
u
11 22
原式=
1
2 1
2
u2 du 1 ( 1 )2 1
1
2 1
2
du 1 u2
1
arccos
u
2 1
2
12
uu
解法三 令 x2 1 u,则x2 u2 1 (以下同学们自已完成).
a2
xf ( x)dx
0
20
证 令x2 t( x 0), 则x
t
, dx
1
1
t 2dt
x
0
a
2
a x3 f ( x2 )dx
a2 3
1 1
t 2 f (t) t 2dt
0
0
2
t
0 a2
1 a2
1 a2
2 0 tf (t)dt 2 0 xf ( x)dx
例5 证明
b
b
f ( x)dx f (a b x)dx
2
2
故 1 ln xdx < 1 (1 x)dx
解二
因为
2
ln xdx
1
x ln
x |12
2
dx
1
2ln 2
x
|12
2ln 2 1
2
(1 x)2 2 9
5
(1 x)dx
2
1
2
22
1
2
2
故 1 ln xdx < 1 (1 x)dx
例4. 证明
a x3 f ( x2 )dx 1
a
a
证 令a b x t, 则x a b t, dx dt
x a t b, x b t a,
b
a
a f (a b x)dx b f (t)(dt),
b
b
a f (t)dt a f ( x)dx,
证毕
例6. 求 d a x sin t 2dt.
dx ln x
解 原式= c sint 2dt a x sint 2dt
例8. 设非负函数
曲线
与直线
及坐标轴所围图形
面积为 2 , (1) 求函数
(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体
体积最小 ?
解: (1)
由方程得
即
故得
又
(2) 旋转体体积
又 为唯一极小点, 因此
y
o
1x
时 V 取最小值 .
训练题
11
1. 1 x 2 dx ( C )
( A) 2
ln x
c
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ln c
x
sint
2dt
x
ax sint 2dt
c
x
ln x sint 2dt
c
ln x
ln x
x
ax sint 2dt
c
ax
ax
x
sin(lnx)2 1 sina2x a x lna x
例7. 平面图形D是由曲线 y e x 及直线y = e 所围成
f (x)
1 1
1 ,
x 1 ex
x0 ，则定积分
,x0
2 0
f ( x 1)dx=（A）
（A）1 ln(1 1)； e
（B）2 ln(1 e 2 ) ln 3；
；
d0 1 xsin3 x
(（BB)）dx3 x3a1 fx(2td)xd，t令 fx(xsi)n t ； 0
(（CC)）ddx21
x
lbn(f1 a1
(tx)2d) tdx，令f (1x) x2
x
2
u；
( D （D)）ddx11
x2
1a
xf2 d(xt，)d令t x
1
tf3
(.x
2
)
6、下列积分中，值为零的是（ D）
一.本章提要
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分
广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
定积分的应用
计 算 法
定 积 分 的
二.本章解题类型
1.利用牛-莱直接积分 2.利用换元积分法积分.注意:换元必换限;不换元 不换限 3.比较两个定积分的大小
例2.计算定积分
2
x dx
1 1 x2
0
解 原式=
x
2
dx
x
dx
1 1 x2
0 1 x2
注:被积函数 中含绝对值 符号的定积 分方法
1 d(1 x2 )
1 d (1 x2 )
0
2
1
1 x2
22 0 1 x2
1
2
1
1
1 (1 x2 )2 1 (1 x2 )2
21
21
20
20
4.证明定积分恒等式(可作为结论掌握,如被积函 数为奇偶时的积分等.) 5.变上限积分的导数 6.求平面几何图形的面积,求旋转体的体积
7.两类广义积分求解题
例1.计算定积分 2 1 dx
2 x x2 1
x 22
解法一 令x=secu,则 dx=secu tanu du. u
43
原式=
3
4
s