经济数学课件 3.2导数的四则运算法则和基本导数公式

x 5 ,求 y 。
x
y
(x2
1
2x 2
5 x 1 )
2x
3
x2
5x2
例11
已知
y 2xex
s in2
x cos 2
x
sin x cos x
,求 y 。
解： y (( 2e) x tan x cot x)
(2e) x ln 2e sec2 x csc2 x
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[u( x) v( x)] u( x) v( x)
也就是说：两个可导函数代数和的导数等于各个函数导数的代数和。
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定理3.1.2
设函数 u u( x) 与 v v( x)在 x 点处可导，则它们的积 函数 u( x) v( x) 在 x处也可导，且
[u( x)v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x) 推论
2
(x)ln xsin x x(ln x)sin x x ln x(sin x)
ln xsin x sin x xln xcos x
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例3 解：
已知 y x 1 x 1
,求 y。
y ( x 1) x 1
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
(x 1)2
(x 1) (x 1) (x 1)2
解： y (x2
1 x
5 cos x log3
x ln 4)
(x2 ) (
1 x
)
5(cos
x)
(log3
x)
(ln
4)
2x 1 5sin x 1
2 x3
x ln 3
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例2 解：
已知 y x ln x sin x sin ,求 y 。
2
y (x ln x sin x sin )
课堂练习
在下列空格处填上适当的函数使等式成立：
1） (e 2 ) _0___
3） ( x 2 ) _2_x_
5）(sin 3
)
__0__
2
7） (
1 x2
)
__x_3_
2） x __1__
1
4） ( x ) _2__x_
6）
(
1
)
1
__x_2_
x
8） (3 x ) 3_x_ln_3_
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x
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例5 解：
已知 y secx ,求 y。
y (se cx)
1
cos x
(cos x ) cos2 x
( sin x) cos2 x tan x sec x
即
(secx) sec x tan x
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例10 解：
已知
x3 2 y
课堂练习：
求下列函数的导数
1） y x3 ln x 2） y 2 x cot x
+ 3） y x 3 cos x ln x
4）
y sin x x
1 x2
5） y 1 x 2
6）
y
( x 2)( x 3) x
7）
y
1 sin x cos
x
ex 2x
y 3x2 ln x x2
y 2 x ln 2 cot x 2 x csc2 x
复习提问
什么叫导数？它可以用哪一个极限式子说明？
根据导数的定义求函数的导数有哪几步？
导函数与函数在某点导数之间有什么关系？
可导与连续的关系是什么？
?
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1 导数的四则运算法则
定理3.2.1 设函数u u( x) 与 v v( x) 在 x 点处可导，则它们的和
（差）函数 u( x) v( x) 在x 处也可导，即：
(x
2 1)2
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例4
已知 y tan x ,求 y。
解：
y
sin
x
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x) cos2 x
cos x cos x sin x sin x cos2 x
百度文库
1 cos2
x
s e c2
x
即
(tan x)
1 cos2
x
s e c2
1．三个可导函数积的导数等于各个函数导数的积。即： [u( x)v( x)w( x)] u( x)v( x)w( x) u( x)v( x)w( x) u( x)v( x)w( x)
2．(Cu( x)) Cu。( x) （ C 为常数）。
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定理3.2.3
设函数 u u( x) 与 v v( x) 在 x点处可导，且 v( x) 0 ，则
它们的商函数 u( x) 在 x 处也可导，且 v( x)
推论
u( v(
x) x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v 2 ( x)
函数倒数的求导公式
[
1 ] v( x)
v( x) [v( x)]2
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例1
已知
y x2
1 x
5cos
x
log3
x
ln
4
，求
y' 。
1 cos2
x
s e c2
x
(cot x)
1 s in2
x
csc2
x
(secx) secx tan x
(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(arctan x)
1 1 x2
(arc
cot
x )
1 1 x2
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y 3 x 2 cos x ln x x 3 sin x ln x x 2 cos x
y
x cos x sin x x2
y
(1
4x x2
)2
y 3x2 x 6 2x x
y
cos 2 x sin2 x cos2
x
e x (1 ln 2x
2)
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2.基本导数公式
C 0 （ C 为任意常数) ( x ) x 1 ( 为实数）
(a x ) a x ln a (a 0, a 1)
特别： (e x ) e x
(loga
x)
1 x ln a
(a 0, a 1)
特别： (ln x)
1 x
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x)