行波法和达朗贝尔公式

第二章数学物理方程的解

§2.1 行波法 达朗贝尔公式

读者已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式

试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式

即

（7-4-1）

（1）通解

方程（7-4-1）的形式提示我们作代换

（7-4-2）

因为在这个代换下，

方程（7-4-1）就成为。

但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2）

修改为

,0 2

2

222=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂u x a t .

0 =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂

u x a t x a t , ),(ηξηξ-=+=t a x , x a t x x t t ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ξξξ, ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂x a t

x x t t ηηη0) /(2=∂∂∂u ηξ

即

在此代换下，方程（7-4-1）化为

（7-4-3）

就很容易求解了。 先对积分，得

（7-4-4）

其中是任意函数。再对积分，就得到通解

（7-4-5）

其中

和都是任意函数。

式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。 通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以

而论，改用以速度沿正方

向移动的坐标轴，则新旧坐标和时间之间的关系为

而

与时间T 无关。这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动坐标系以速度沿正方向移动的行波。同理，是以速度沿负方向

移动的行波。

这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度向两方向传播的行波。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=+=),(21),(21ηξηξa t x ⎩⎨

⎧-=+=.,

at x at x ηξ,0 2=∂∂∂ηξu

η

)( ξξf u

=∂∂f ξ),

()( )()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+=⎰ηξηξξ1f 2f )(2at x f -a x X ⎩⎨

⎧=-=,

,t T at x X ),()(22X f at x f =-a x )(1at x f +a x a

（2）函数

与 的确定

通解（7-4-5）中的函数

与可用定解条件确定。

我们假定所研究的弦、杆、传输线是“无限长的”（此词的真正含义见§7.2（二）末），这就不存在边界条件，设初始条件是

（7-4-6）

以一般解（7-4-5）代入初始条件，得

即

由此解得

以此代回（7-4-5）即得满足初始条件（7-4-6）的特解

（7-4-7）

这叫作达朗贝尔公式

作为第一个例子，设初速为零即，而初始位移只在区间上不为零，于

处达到最大值，如图7-14a 所示。

1f 2f 1f 2f )

( ).( ),(0

0∞<<-∞====x x u x u t t

t ψϕ⎩⎨⎧=-=+);

()()(),

()()('2'121x x af x af x x f x f ψϕ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=+⎰.)()()( 1)()(),()()( 020121210

x x

x f x f d a x f x f x x f x f ξξψϕ[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

---=-++=⎰⎰.)()(21)( 21)(21)(,)()(21)( 21)(21)( 02012 020110

0x x x x x f x f d a x x f x f x f d a x x f ξξψϕξξψϕ[].)( 21)()(21) ,( ⎰+-+-++=at

x at

x d a at x at x t x u ξξψϕϕ0)(=x ψ)(x ϕ)

,(21x x 2/)(21x x x +=0u ⎪

⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧

><≤≤+--+≤≤--=212211220

2111210 .02 ,22 ,2)(x x x x x x x x x x x x u x x x x x x x x u x 或ϕ

达朗贝尔公式（7-4-7）给出

，即初始位移

（图7-14b 最下一图的粗线所描画）分为两半（该图细线），分别向左右两方以速度移动（图7-14b 由下而

上各图的细线所描画），这两个行波的和（图7-14b 由下而上的粗线所描画）给出各个时刻的波形。

作为第二个例子，设初始位移为零即，而且初速也只在区间

上不为零，

达朗贝尔公式（7-4-7）给出

这里指的是（图7-15）

于是，作出和两个图形，让它们以速度分别向左右两方移动（图7-16由下

+

+=)(21

) ,(at x t x u ϕ)(21

at x -ϕa 0)(=x ϕ)(x ψ) ,(21x x ⎩⎨

⎧=).) ,( ( 0 ),

) ,( ( )(21210上不在上在常数x x x x x x x ψψ),()( )( 21)( 21) ,( at x at x d a

d a t x u at

x at x -ψ-+ψ=-=⎰⎰-∞

-+∞-ξξψξξψψ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

≤-≤≤-≤==ψ⎰+-).( )(21

),

( )(21

),( 0 )( 21)(201221011 x x x x a x x x x x a x x d a x at x at

x ψψξξψ)(x ψ+)(x ψ-

a