二项式定理d的性质(一)

( a + b )6 … … … … 1 6 15 20 15 6 1
递推法
C r C r1 C r
n1
n
n
二项式系数的性质
性质1:对称性
C
m n
C nm n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2:增减性与最大值
11
先增后减
121
当n是偶数时， n
中间的一项 Cn2
当n是奇数时，
1 33 1
C10 C11
( a + b )2 … … … …
C
0 2
C
1 2
C 22
( a + b )3 … … …
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
( a + b )4 … … ( a + b )5 …
C
0 4
C 14
C
2 4
C 43
C
4 4
C05
C 15
C 52
C
3 5
C
4 5
C
5 5
递推法
C r C r1 C r
取得最大值 ；
1 4641
中间的两项
n 1
C2 n
和
C n1 2
相等，
n
1
5
10 10
5
1
且同时取得最大值.
1 6 15 20 15 6 1
二项式系数的性质
性质3:各二项式系数的和
二项式展开式：
令a=1，b=1
（a b）n Cn0anb0 Cn1an1b1 Cn2an2b2 Cnranrbr Cnna0bn
n1
n
n
二项式系数的性质
( a + b )1 … … … … … … … … …1 1
( a + b )2 … …C…nm … C…nn…m … 1
2
1
( a + b )3 … … … … … … 1 3 3 1
( a + b )4 … … … … … 1 4 6 4 1 ( a + b )5 … … … … … 1 5 10 10 5 1
数项,求 a : b 的取值范围. 重点题目
解：Tr1 C1r2 (ax m )12r (bx n )r C1r2a12r br x m(12r )nr
令m (12 – r )+ nr = 0,将 n =﹣2m 代入,
解得 r = 4,故T5 为常数项,且系数最大.
TT55的 的系 系数 数
T4的系数 T6的系数
课堂练习
一.P35ex1-3P36B1-3.(做在课本上) 二.同步作业（九）
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1020. 12.10Thursday, December 10, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。04:5 1:4904: 51:4904 :5112/ 10/2020 4:51:49 AM
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月10 日星期 四上午 4时51 分49秒0 4:51:49 20.12.1 0
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 4时51 分20.12. 1004:5 1December 10, 2020
？ C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n n
2n
11
121
赋值法
也就是说,
1 33 1
(a+b)n的展开式中的各
1 46 41 1 5 10 10 5 1
个二项式系数的和为2n
1 6 15 20 15 6 1
（a
b）n展开式的二项式系数是
C
n0，C
n1，C
n2，，C
n n
从函数的角度 :，
f（r）
C
r可看成是以
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 004:51: 4904:5 1Dec-20 10-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 04:51:4 904:51: 4904:5 1Thursday, December 10, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 020.12. 1004:5 1:4904: 51:49D ecembe r 10, 2020
确定第几项.
例题选讲
例1.证明:在(a＋b)n展开式中,奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和.
小结：求解二项式系数和时,灵活运用赋值
法可以使问题简单化.通常选取赋值 时取－1，1.
例2.证明5555 9能被8整除
提示: 5555 (56 1)55
证明: 5555 9 (56 1)55 9
C
0 55
56 55
C
1 55
5654
(1)
C
2 55
5653
(1)2
C 54 55
56
(1)54
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
55 55
(1)55
9
(C
0 55
5654
C 515
5653
(1)
C
2 55
5652
(1)2
C
54 55
(
1)54
)
56
8
56与8均能被8整除， 5555 9能被8整除
例3.已知a,b∈N,m,n ∈Z ,且2m + n = 0,如果二项式 ( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常
二项式系数的性质(一)
复习引入
1.什么叫二项式定理？通项公式？
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 Cnranrbr Cnnbn(n N )
Tr 1
C
r n
a
nr
b
r
,(r
0,1,2, , n)
2.什么叫二项式系数？项的系数？
它们之间有什么不同？
二项式系数的性质
( a + b )1 … …Cnm… C…nn…m
n为偶数
20
6
1
O nn 2
n1 22
10
r
O
n
2
n为奇数
n1 22
n
课堂练 习1.在(a＋b)10展开式中,与第三项的二项式
系数相同的项是( B ).
2.在(a＋b)10展开式中,二项式系数最大
的项是( A ).
A.第6项
B.第9项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再
即CC114422aa
8b4 8b4
C132a 9b3 C152a 7b5
解得 8 a 9 5b4
课堂小结
(1)二项式系数的三个性质
性质1:对称性 性质2:增减性与最大值 性质3:各二项式系数的和
(2)数学思想：函数思想
a.图象、图表； b.单调性； c.最值.
(3)数学方法:赋值法,通项公式法.
n
r为自变量的
20
函数f（r），其定义域是
15
0，1，2，，n，即f
(
r
)
C
r n
.
当n=6时,其图象 是7个孤立点
6
1
O3 6
r
f（r）
20 15
➢ Cn
当n是偶数时，中间的f（一r项） 取得最大值 ；
2
n
n1
➢ C 当n是奇数时，中间的两3项5
2 n
n1
C 和 2 相等，且同时30取得
最大值。n